1、2017-2018学年河南省洛阳市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若象限角满足sin|sin|+cos|cos|1，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2（5分）下列说法正确的个数为（）若，是两个单位向量，则；若，则；与任何一向量平行，则；（）A1B2C3D43（5分）若向量，满足|，则（）A0BmCmD4（5分）函数f（x）tanx2x在区间（）上的图象大致是（）ABCD5（5分）下列四个结论中，正确的是（）A函数ytan（x）是奇函数B函数y|sin（2x+）|的最小
2、正周期是C函数ytanx在（，+）上是增函数D函数ycosx在区间2k（kZ）上是增函数6（5分）若将函数ysin（2x）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的一个对称中心为（）A（）B（）C（）D（）7（5分）已知非零向量与满足（）0，且，则ABC为（）A等腰非直角三角形B直角非等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形8（5分）函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）Ay2sin（2x+）+2By2sin（2x）+2Cy2sin（x+）2Dy2sin（x）+29（5分）已知O是ABC内部一点，
3、且3，则OBC的面积与ABC的面积之比为（）AB1CD210（5分）已知函数f（x），若实数a，b，c互不相等，且满足f（a）f（b）f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（6，12）B（3，30）C（6，30）D（12，36）11（5分）定义函数maxf（x），g（x），已知函数f（x）maxsinx，cosx（xR），关于函数f（x）的性质给出下面四个判断：函数f（x）是周期函数，最小正周期为2；函数f（x）的值域为1，1；函数f（x）在区间+2k，2k（kZ）上单调递增；函数f（x）的图象存在对称中心其中判断正确的个数是（）A3B2C1D012（5分）在直角ABC中，BCA90，CAC
4、B1，P为AB边上的点且，若，则的取值范围是（）A，1B，1C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）sin20cos10cos200sin（190） 14（5分）在ABC中，tanA，tanB是关于x的方程x2p（x1）+10的两个实根，则C 15（5分）已知向量（2，1），（1，m），若与夹角为钝角，则m的取值范围是 （用区间表示）16（5分）已知边长为2的正方形ABCD，以A为圆心做与对角线BD相切的圆，点P在圆周上且在正方形ABCD内部（包括边界），若m（M，NR），则m+n的取值范围为 （用区间表示）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤。17（10分）已知（sin+cos，2），（sincos，1），且（1）求tan的值；（2）求+tan2的值18（12分）已知平面上三个向量，其中（1，）（1）若|1，且，求的坐标；（2）若|，且（2）（），求与的夹角19（12分）已知（，cosx），（，2sin（x），f（x）（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x，求函数f（x）的最值及对应的x的值20（12分）已知函数f（x）6cos2sinx3（0），在一个周期内的函数图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为函数图象与x轴的两个交点，且ABC为等边三角形（1）求的值；（2）求不等式f（x）的解集21
6、（12分）如图，扇形OAB周长为6，AOB1，PQ过AOB的重心G，设，m，n（m0，n0）（1）求扇形OAB的面积；（2）试探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由22（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），且x0，A，B，C三点满足（1）求证：A，B，C三点共线；（2）若函数f（x）+（2m+）|+m2的最小值为，求实数m的值2017-2018学年河南省洛阳市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若象限角满足s
7、in|sin|+cos|cos|1，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【分析】根据同角的三角函数关系得出sin0且cos0，由此判断是第几象限角【解答】解：象限角满足sin|sin|+cos|cos|1，sin2cos21，是第三象限角故选：C【点评】本题考查了同角的三角函数关系应用与三角函数值符号的判断问题，是基础题2（5分）下列说法正确的个数为（）若，是两个单位向量，则；若，则；与任何一向量平行，则；（）A1B2C3D4【分析】利用单位向量、向量平行、向量的数量积公式直接求解【解答】解：在中，若，是两个单位向量，则|，故错误；在中，若，则当0时，不一定成立，故错误；在
8、中，与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得，故正确；在中，由向量的数量积不满足结合律，得（）不成立，故错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查单位向量、向量平行、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）若向量，满足|，则（）A0BmCmD【分析】推导出|2|2，由此能求出0【解答】解：向量，满足|，|2|2，0故选：A【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题4（5分）函数f（x）tanx2x在区间（）上的图象大致是（）ABCD【分析】求得函数为奇函数
9、，图象关于原点对称，排除A，C；再当x时，f（）tan10，故排除D，即可得到正确结论【解答】解：函数f（x）tanx2x，定义域为（）关于原点对称，且f（x）tan（x）+2xtanx+2xf（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当x时，f（）tan10，故排除D，故选：B【点评】本题考查函数的图象的画法，注意运用函数的奇偶性和图象的对称性，以及特殊点，考查数形结合思想方法，属于中档题5（5分）下列四个结论中，正确的是（）A函数ytan（x）是奇函数B函数y|sin（2x+）|的最小正周期是C函数ytanx在（，+）上是增函数D函数ycosx在区间2k（kZ）上是增函数【
10、分析】根据三角函数的性质依次判断即可；【解答】解：对于A：由定义域：x，即x，不关于原点对称，A不对；对于B，根据ysin（2x）的图象把下部份翻折后，可得函数y|sin（2x+）|的是周期函数，且周期变为原来的一半，最小正周期是，B不对；对于C：函数ytanx的定义域为：x|x，函数ytanx在（，+）上是增函数不对；对于D：根据函数ycosx的性质可得在区间2k（kZ）上是增函数；D对；故选：D【点评】本题考查了三角函数的基本性质的应用和判断，属于基础题6（5分）若将函数ysin（2x）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的一个对称中心为（
11、）A（）B（）C（）D（）【分析】根据三角函数图象平移变换法则，得出变换后的函数解析式，再求出函数图象的一个对称中心【解答】解：将函数ysin（2x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得ysin（x）的图象，再向右平移个单位，得ysin（x）sin（x）的图象；令xk，kZ，得xk+，kZ；k0时，得函数y图象的一个对称中心为（，0）故选：A【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换问题，也考查了图象变换问题，是基础题7（5分）已知非零向量与满足（）0，且，则ABC为（）A等腰非直角三角形B直角非等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】推导出ABAC，BAC90，从而AB
12、C是等腰直角三角形【解答】解：、分别是、方向的单位向量，在BAC的平分线上，非零向量与满足（）0，ABAC，cos，BAC90，ABC是等腰直角三角形故选：C【点评】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题8（5分）函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）Ay2sin（2x+）+2By2sin（2x）+2Cy2sin（x+）2Dy2sin（x）+2【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数f（x）Asin（x+）+
13、B（A0，0，|）的部分图象，可得B2，T4（），2再根据五点法作图可得2+，故f（x）2sin（2x）+2，故选：B【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题9（5分）已知O是ABC内部一点，且3，则OBC的面积与ABC的面积之比为（）AB1CD2【分析】由向量式可得O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），从而可得两三角形面积和ABC的关系，可从而得答案【解答】解：3，2（如图E，F分别是对应边的中点，由平行四边形法则知：2，O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），O到CB的距离是
14、三角形ABC高的一半，则OBC的面积与ABC的面积之比为1：2故选：A【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形的面积之比，考查了作图的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题10（5分）已知函数f（x），若实数a，b，c互不相等，且满足f（a）f（b）f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（6，12）B（3，30）C（6，30）D（12，36）【分析】求得f（x）在（0，3）递减，在（3，6）递增；在（6，+）递减，画出f（x）的图象，可得a+b6，6c30，即可得到所求范围【解答】解：当0x6时，f（x）cosx在（0，3）递减，在（3，6）递增；x6时，f（x）2log3（x3）递
15、减，且f（3）f（30）1，作出函数f（x）的图象，设abc，则a+b6，6c30，则a+b+c的范围是（12，36）故选：D【点评】本题考查分段函数的运用，注意运用转化思想和函数的对称性和单调性，考查运算能力，属于中档题11（5分）定义函数maxf（x），g（x），已知函数f（x）maxsinx，cosx（xR），关于函数f（x）的性质给出下面四个判断：函数f（x）是周期函数，最小正周期为2；函数f（x）的值域为1，1；函数f（x）在区间+2k，2k（kZ）上单调递增；函数f（x）的图象存在对称中心其中判断正确的个数是（）A3B2C1D0【分析】分别画出函数ysinx和ycosx的图象，运用
16、分段函数写出f（x），结合图象分析周期性、单调性和值域、对称性，即可得到所求结论【解答】解：分别作出函数ysinx和ycosx的图象，可得函数f（x）maxsinx，cosx，可得f（x）为周期函数，最小正周期为2；f（x）的值域为，1；f（x）在2k，2k递减，在（2k，2k）递增；f（x）关于直线xk+，kZ对称，无对称中心即B，C，D均错，A正确故选：C【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查新定义的理解和运用，注意运用数形结合思想方法，考查判断能力，属于中档题12（5分）在直角ABC中，BCA90，CACB1，P为AB边上的点且，若，则的取值范围是（）A，1B，1C，D，【分析】把三
17、角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出的取值范围【解答】解：直角ABC中，BCA90，CACB1，以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），0，1，1+2+2224+10，解得：，0，1，1故选：B【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）sin20cos10cos200sin（190）【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正弦化简求值【解答】解：sin20cos10cos200sin（19
18、0）sin20cos10cos（180+20）sin（18010）sin20cos10+cos20sin10sin30故答案为：【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用及三角函数的诱导公式，是基础题14（5分）在ABC中，tanA，tanB是关于x的方程x2p（x1）+10的两个实根，则C45【分析】先由韦达定理求出tanA+tanB，tanAtanB，再由两角和的正切公式即可计算出C值【解答】解：tanA，tanB是关于x的方程x2p（x1）+10 即x2px+p+10的两个实根tanA+tanBp tanAtanBp+1tan（A+B）1A+B135C18013545故答案为：45【点评】本
19、题综合考查了一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式，解题时要牢记公式，认真计算15（5分）已知向量（2，1），（1，m），若与夹角为钝角，则m的取值范围是（）（）（用区间表示）【分析】根据平面向量与夹角为钝角知，由此求出m的取值范围【解答】解：向量（2，1），（1，m），若与夹角为钝角，则，解得m2且m，m的取值范围是（，）（，2）故答案为：（，）（，2）【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题，是基础题16（5分）已知边长为2的正方形ABCD，以A为圆心做与对角线BD相切的圆，点P在圆周上且在正方形ABCD内部（包括边界），若m（M，NR），则m+n的取值范围为（用区间表
20、示）【分析】建立直角坐标系，根据题意写出P的两种坐标表示，由此能求出m+n的最值【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴则P点根据题意可表示为P在以A为原点，为半径的圆上，则P（m，n）P（cos，） （0，），m+nsin+cossin（+），+，sin（+）1，即m+n1，故答案为：，1【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知（sin+cos，2），（sincos，1），且（1）求tan的值；（2）求+tan2的值【分析】（
21、1）由向量的坐标运算列式，再由同角三角函数基本关系式化简求得tan的值；（2）把要求值的式子化为含有tan的代数式求解【解答】解：（1）（sin+cos，2），（sincos，1），由，得sin+cos2（sincos），即sin3cos，得tan3；（2）+tan2【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，考查向量的坐标运算，是基础题18（12分）已知平面上三个向量，其中（1，）（1）若|1，且，求的坐标；（2）若|，且（2）（），求与的夹角【分析】（1）设（），由|1，求出，由此能求出（2）设与的夹角为，由|，且（2）（），求出2，从而cos，由此能求
22、出与的夹角【解答】解：（1）平面上三个向量，（1，），设（），|1，1，解得，（）或（）（2）设与的夹角为，|，且（2）（），（2）（）0，4，2，2，cos，与的夹角为【点评】本题考查向量的坐标的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）已知（，cosx），（，2sin（x），f（x）（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x，求函数f（x）的最值及对应的x的值【分析】（1）求出f（x）sin（2x），由此能求出f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由x，得，从而sin（2x）1，由此能求出函数f（
23、x）的最值及对应的x的值【解答】解：（1）（，cosx），（，2sin（x），f（x）sin（2x），f（x）的最小正周期T，令2k2k，kZ，解得k，kZ，f（x）的单调递增区间为k，k，（kZ）（2）x，sin（2x）1，当2x，即x时，函数f（x）取最大值，当2x，即x时，函数f（x）取最小值1【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间及最值的求法，考查向量和数量积公式、三角函数的图象、性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）已知函数f（x）6cos2sinx3（0），在一个周期内的函数图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为函数图象与x轴的两
24、个交点，且ABC为等边三角形（1）求的值；（2）求不等式f（x）的解集【分析】（1）降幂后利用辅助角公式化积，求出函数最大值，得到等边三角形底边上的高，求得边长，得到周期，由周期公式求得；（2）由（1）可得函数解析式，然后求解三角不等式得答案【解答】解：（1）f（x）6cos2sinx33（cosx+1）+sinx3函数f（x）的最大值为ABC为等边三角形，BC边上的高为，BC4函数f（x）的最小正周期为8，得；（2）由（1）可知，f（x）由f（x），得即，kZ即8kx8k+2，kZ不等式f（x）的解集为x|8kx8k+2，kZ【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数形结合的解题思想方
25、法，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，是中档题21（12分）如图，扇形OAB周长为6，AOB1，PQ过AOB的重心G，设，m，n（m0，n0）（1）求扇形OAB的面积；（2）试探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）利用已知求得弧长和半径，即可得面积，（2）由三角形的重心的性质可得，由P，G，Q三点共线可得为定值【解答】解：（1）设弧长为l，半径为r由，解得，扇形OAB的面积S（2）：由三角形的重心的性质可得，P，G，Q三点共线，为定值3【点评】本题考查本题考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义，考查了扇形的面积计算，属于中档题22（12分）在平面直角
26、坐标系中，O为坐标原点，A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），且x0，A，B，C三点满足（1）求证：A，B，C三点共线；（2）若函数f（x）+（2m+）|+m2的最小值为，求实数m的值【分析】（1）推导出（），从而，有公共点A，由此能证明A，B，C三点共线（2）由（1，cosx），（1+sinx，cosx），x0，（1+sinxcosx），从而1+，|sinx，进而函数f（x）1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2sinx（m+）2+2m2+，由此能求出m的值【解答】证明：（1）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），且x0，
27、A，B，C三点满足（），又，有公共点A，A，B，C三点共线解：（2）（1，cosx），（1+sinx，cosx），x0，+（1+sinx，cosx）（1+sinx+cos2x）+m21+sinx+cos2x+（2m+）|+m2（1+sinxcosx），1+，|sinx，函数f（x）+（2m+）|+m21+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2，即f（x）1+（2m+）sinx+cos2x+m2sin2x+（2m+）sinx+2+m2sinx（m+）2+2m2+，x0，sinx（0，1，当m+，即m时，当sinx1时，f（x）min1+2m+，解得m3或m1，又m时，m3当m+，即m时，当sinx0时，f（x）min2+m2解得m，又m，m，综上所述，m的值为m1或m【点评】本题考查三点共线的证明，考查实数值的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
