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2018-2019学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)已知全集U1,2,3,4,5,UA1,3,5,则A()A1,2,3,4,5B1,3,5C2,4D2(3分)以下运算正确的是()Alg2lg3lg6B(lg2)2lg4Clg2+lg3lg5Dlg4lg2lg23(3分)已知xR,则下列等式恒成立的是()Asin(x)sinxBsin(x)sinxCsin(+x)sinxDsin(2x)sinx4(3分)函数f(x)的定义域是()Ax|x2Bx|x1Cx|x2Dx|x15(3分)

2、已知costan0,那么角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角6(3分)若a20.5,blog32,clog2sin1,则()AabcBacbCbacDbca7(3分)函数f(x)x2sinx的图象大致为()ABCD8(3分)如图,有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是O的直径,上底CD的端点在圆周上,为研究这个梯形周长的变化情况,有以下两种方案:方案一:设腰长ADx,周长为L(x);方案二:设BAD,周长为L(),当x,在定义域内增大时()AL(x)先增大后减小,L()先减小后增大BL(x)先增大后减小,L()先增大后减小

3、CL(x)先减小后增大,L()先增大后减小DL(x)先减小后增大,L()先减小后增大9(3分)设函数f(x)的定义域为D,若对任意aD,存在唯一的实数bD满足f2(a)2f(b)+f(a),则f(x)可以是()AsinxBx+ClnxDex10(3分)设函数f(x)ax3+bx2+cx+d(a0),若02f(2)3f(3)4f(4)1,则f(1)+f(5)的取值范围是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11(3分)cos   12(3分)已知幂函数yx的图象过点,则实数的值是   13(3分)已知角的顶点与坐

4、标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,P(,)为角终边上一点,角的终边与单位圆的交点为P(x,y),则xy   14(3分)已知函数f(x)sin(x+)(0,0)的部分图象如图所示,则f(x)   15(3分)若函数f(x)恰有三个零点,则实数的取值范围是   16(3分)设函数f(x)x2+mx+m+3,g(x)mxm,若存在整数x0满足,则实数m的取值范围是   三、解答题(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分)已知tan,(0,)()求tan(+)的值;()求的值18(10分)已知函数f(x)sin(2x

5、+)()求f(x)的最小正周期和单调递增区间;()把函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求g(x)的解析式19(10分)已知集合Ax|x22x0,Bx|x2(3m1)x+2m2m0,Cy|y2+b()若AB1,2,求实数m的值;()若AC,求实数b的取值范围20(10分)已知函数f(x)lg()设a,b(1,1),证明:f(a)+f(b)f();()当x0,)时,函数yf(sin2x)+f(mcosx+2m)有零点,求实数m的取值范围21(12分)已知函数f(x)x2ax,aR()记f(x)在x1,2上的最大值为M,最小值为m(i)若Mf(2),求a的取值范围;

6、(ii)证明:Mm;()若2f(f(x)2在1,2上恒成立,求a的最大值2018-2019学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)已知全集U1,2,3,4,5,UA1,3,5,则A()A1,2,3,4,5B1,3,5C2,4D【分析】利用补集定义直接求解【解答】解:全集U1,2,3,4,5,UA1,3,5,A(2,4故选:C【点评】本题考查集合的求法,考查补集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(3分)以下运算正确的是()Alg2lg3lg6B(lg2)2l

7、g4Clg2+lg3lg5Dlg4lg2lg2【分析】根据对数的运算,lg2+lg3lg6从而判断A,C都错误,lg2+lg2lg4,从而判断B错误,lg4lg2,从而判断D正确【解答】解:lg2+lg36,lg2+lg2lg4,lg4lg2lg2;D正确故选:D【点评】考查对数的运算性质,对数函数的单调性3(3分)已知xR,则下列等式恒成立的是()Asin(x)sinxBsin(x)sinxCsin(+x)sinxDsin(2x)sinx【分析】利用诱导公式,判断各个选项中的式子是否成立,从而得出结论【解答】解:sin(x)sinx,故A不成立;sin(x)sinx,故B成立;sin(+x)

8、sinx,故C不成立;sin(2x)sinx,故D不成立,故选:B【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题4(3分)函数f(x)的定义域是()Ax|x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0,然后求解对数不等式得x的取值集合即可得到答案【解答】解:要使原函数有意义,则log2(x1)0,x11,解得:x2函数的定义域为x|x2故选:C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了对数不等式的解法,是基础的计算题5(3分)已知costan0,那么角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角【分析】根据costan0和“一全

9、正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角所在的象限【解答】解:costansin0,角是第三或第四象限角,故选:C【点评】本题的考点是三角函数值的符号判断,本题化简后能比较直接得出答案,一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断6(3分)若a20.5,blog32,clog2sin1,则()AabcBacbCbacDbca【分析】可以看出,20.51,0log321,log2sin10,从而得出a,b,c的大小关系【解答】解:20.5201,0log32log331,log2sin1log210;abc故选:A【点评】考查指数函数、对数函数的单

10、调性,以及增函数的定义7(3分)函数f(x)x2sinx的图象大致为()ABCD【分析】根据函数f(x)x2sinx是奇函数,且函数过点,0,从而得出结论【解答】解:由于函数f(x)x2sinx是奇函数,故它的图象关于原点轴对称,可以排除B和D;又函数过点(,0),可以排除A,所以只有C符合故选:C【点评】本题主要考查奇函数的图象和性质,正弦函数与x轴的交点,属于基础题8(3分)如图,有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是O的直径,上底CD的端点在圆周上,为研究这个梯形周长的变化情况,有以下两种方案:方案一:设腰长ADx,周长为L(x);方案二:设BAD,周长为L(

11、),当x,在定义域内增大时()AL(x)先增大后减小,L()先减小后增大BL(x)先增大后减小,L()先增大后减小CL(x)先减小后增大,L()先增大后减小DL(x)先减小后增大,L()先减小后增大【分析】方案一:如图所示,连接OD,OC,OCODOAOBR,在OAD中,设AOD,ADx,由余弦定理,得cos,(0,90),x在OCD中,COD1802,同理可得DC进而得出周长与单调性方案二:连接BD,可得ADB90,ADBC2Rcos作DEAB于E,CMAB于M,利用直角三角形的边角关系、三角函数的单调性二次函数的单调性即可得出【解答】解:方案一:如图所示,连接OD,OC,则OCODOAOB

12、R在OAD中,设AOD,ADx,由余弦定理,得x22R22R2cos,(0,90),cos;x在OCD中,COD1802,同理DC22R22R2cos(1802)2R2(1+cos2)2R22cos24R2cos2,DC2Rcos2R2R;所以梯形的周长:y2R+2x+(2R)+2x+4R+5R;则函数y在x(0,R)上单调递增在(R,R)上单调递减方案二:连接BD,则ADB90ADBC2Rcos作DEAB于E,CMAB于M,得AEBMADcos2Rcos2,DCAB2AE2R4Rcos2,ABC的周长L()AB+2AD+DC2R+4Rcos+2R4Rcos24R(cos2+cos+1)2R+

13、可得L()在内单调递减,在内单调递增故选:A【点评】本题考查了圆的性质、等腰梯形的性质、直角三角形的边角关系、三角函数的单调性二次函数的单调性,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于难题9(3分)设函数f(x)的定义域为D,若对任意aD,存在唯一的实数bD满足f2(a)2f(b)+f(a),则f(x)可以是()AsinxBx+ClnxDex【分析】f(x)sinx,a0排除A;f(x)x+,a1排除B;f(x)ex,a0排除D,即可得到结论【解答】解:若f(x)sinx,则sin2a2sinb+sina,令a0,则sinb0有无数个b,不符合题意,排除A;若f(x)x+,则(a+)22(

14、b+)+(a+),令a1,则b+1无解,不符合题意,排除B;若f(x)ex,则(ea)22eb+ea,令a0,则eb0无解,不符合题意,排除D故选:C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,排除法,属基础题10(3分)设函数f(x)ax3+bx2+cx+d(a0),若02f(2)3f(3)4f(4)1,则f(1)+f(5)的取值范围是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【分析】由题意构造新函数,结合所给条件和函数的性质确定f(1)+f(5)的取值范围即可【解答】解:令xf(x)ta(x2)(x3)(x4)(xm),其中0t1,取x0可得t24ma取x1可得f(1)t6(1m)a

15、取x5可得5f(5)t6(5m)a由可得:5f(1)+f(5)6t30(1m)a+6(5m)a,将代入可得:f(1)+f(5)t(0,1)故选:A【点评】本题主要考查构造函数解题的方法,整体代换的数学思想等知识,属于比较困难的试题二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11(3分)cos【分析】应用诱导公式化简三角函数式,可得结果【解答】解:coscos()cos,故答案为:【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错点,属于基础题12(3分)已知幂函数yx的图象过点,则实数的值是【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得的值【解答】解:幂函数y

16、x的图象过点,则2,故答案为:【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,是基础题13(3分)已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,P(,)为角终边上一点,角的终边与单位圆的交点为P(x,y),则xy【分析】利用任意角的三角函数的定义,诱导公式,求得x、y的值,可得xy的值【解答】解:角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,P(,)为角终边上一点,则cos,sin,角的终边与单位圆的交点为P(x,y),则xcos()cos,ysin()sin,xy,故答案为:【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,属于基础题14(3分)已知函数f(x)sin(x+)

17、(0,0)的部分图象如图所示,则f(x)sin(x+)【分析】根据图象求出函数的周期,然后求出,结合函数的最值求出即可得到结论【解答】解:由图象知312,即周期T8,则8,则,此时f(x)(x+),f(1)(+)1,+,则+,即,则f(x)sin(x+),故答案为:sin(x+)【点评】本题主要考查三角函数的解析式,根据图象求出周期和是解决本题的关键15(3分)若函数f(x)恰有三个零点,则实数的取值范围是1,3)【分析】画出函数的图象,利用分段函数的零点判断的范围即可【解答】解:函数f(x)的图象如图:函数f(x)恰有三个零点,可得1,3)故答案为:1,3)【点评】本题考查分段函数的应用,考

18、查转化思想以及计算能力16(3分)设函数f(x)x2+mx+m+3,g(x)mxm,若存在整数x0满足,则实数m的取值范围是(,)(6,+)【分析】通过讨论二次函数的判别式是否大于0,结合二次函数的图象和一次函数的图象,得到m的范围【解答】解:g(x)mxm恒过(1,0),由f(x)x2+mx+m+3,m24(m+3)0,解得2m6,可得f(x)的图象上不存在函数值为负值的点,当m6时,f(x)上存在f(3)0,直线g(x)在R上递增;当m2,且f(x)过(2,0),可得07+3m,即m,由g(x)在R上递减,f(x)图象上存在f(2)0,综上可得m的范围是(,)(6,+)故答案为:(,)(6

19、,+)【点评】本题考查分段函数的单调性,考查二次函数、一次函数的图象和性质,注意运用分类讨论思想,是一道中档题三、解答题(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分)已知tan,(0,)()求tan(+)的值;()求的值【分析】()直接利用三角函数的诱导公式求得tan;()由同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解:()tan,tan(+)tan;()由tan,得【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查三角函数的诱导公式的应用,是基础题18(10分)已知函数f(x)sin(2x+)()求f(x)的最小正周期和单调递增区间;()把函数f(x)图象上的所有点

20、向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求g(x)的解析式【分析】()直接利用函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出结果()利用函数的图象的平移变换的应用求出结果【解答】解:()函数f(x)sin(2x+)所以函数的最小正周期为:T,令:(kZ),解得:(kZ),故函数的单调递增区间为:(kZ)()函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数:g(x)f(x)sin(2x+),所以函数的解析式为:g(x)sin(2x+)【点评】本题考查的知识要点:正弦型函数的性质的应用,函数的图象的平移变换的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型19(10分)已知集合Ax|x22x0

21、,Bx|x2(3m1)x+2m2m0,Cy|y2+b()若AB1,2,求实数m的值;()若AC,求实数b的取值范围【分析】()求出集合Ax|0x2,由Bx|x2(3m1)x+2m2m0,AB1,2,得1B,由此能求出实数m的值()由Ax|0x2,Cy|y2+b,AC,推导出b或b2,由此能求出实数b的取值范围【解答】解:()集合Ax|x22x0x|0x2,Bx|x2(3m1)x+2m2m0,AB1,2,1B,1+3m1+2m2m0,即2m2+2m0,解得1m0,(3m1)24(2m2m)0,解得m1,实数m的值为1,0()Ax|0x2,Cy|y2+b,AC,y或y,b或b2,02,20,实数b

22、的取值范围(,22,+)【点评】本题考查实数值、实数的取值范围的求法,考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题20(10分)已知函数f(x)lg()设a,b(1,1),证明:f(a)+f(b)f();()当x0,)时,函数yf(sin2x)+f(mcosx+2m)有零点,求实数m的取值范围【分析】()利用对数的运算法则进行证明即可()判断函数的奇偶性,利用函数零点定义转化为方程关系,利用参数分离法进行求解即可【解答】解:()f(a)+f(b)lg+lglg()lgf()lglglg,则f(a)+f(b)f()成立;()由0得1x1,则f(x)lglg(1x)lg(1

23、+x),则f(x)lg(1+x)lg(1x)f(x),即函数f(x)是奇函数,若当x0,)时,函数yf(sin2x)+f(mcosx+2m)有零点,即当x0,)时,函数yf(sin2x)+f(mcosx+2m)0,即f(sin2x)f(mcosx+2m)f(sin2x),则mcosx+2msin2x有解,得m(2+cosx)sin2x,则m,设t2+cosx,x0,),0cosx1,则2t3,则cosxt2,则mt+4,则设函数h(t)t+4在2t3上为增函数,则h(2),h(3)0,即h(t)0,则要使mh(t)有零点,则m0【点评】本题主要考查对数的运算,以及函数零点的应用,利用参数分离法

24、,结合对勾函数的性质进行求解是解决本题的关键21(12分)已知函数f(x)x2ax,aR()记f(x)在x1,2上的最大值为M,最小值为m(i)若Mf(2),求a的取值范围;(ii)证明:Mm;()若2f(f(x)2在1,2上恒成立,求a的最大值【分析】()(i)讨论对称轴与区间1,2的关系,可得最大值,即可得到a的范围;(ii)讨论对称轴与区间的关系,求得最值,作差,求得最小值,即可得证;()代入x1,2的值得到关于a的不等式组,解出即可【解答】解:()(i)函数f(x)x2ax,其对称轴为x,且开口向上,f(1)1a,f(2)42a,Mf(1),f(2)max,当1a42a时,即a3时,M

25、f(1)1a,当1a42a时,即a3时,Mf(2)42a,Mf(2),a的取值范围为(,3;(ii)证明:当2时,即a4时,f(x)在1,2上单调递减,Mf(1)1a,mf(2)42a,Mm1a4+2aa31,当1时,即a2时,f(x)在1,2上单调递增,Mf(2)42a,mf(2)1a,Mm42a1+a3a1,当2a3时,Mf(2)42a,mf()a2,Mm42a+a2(a4)2,y42a+a2在2,3上为减函数,ymin,Mm;当3a4时,Mf(1)1a,mf()a2,Mm1a+a2(a2)2,y1a+a2在3,4上为增函数,ymin,综上所述Mm;()|f(f(x)|2在1,2上恒成立,|f(f(1)|2,即|f(1a)|2,故|2a23a+1|2,解得a,同理,|f(f(2)|2,解得:1a,故1a,当a时,设tf(x),此时1,x1,2,tf(x)在1,2递增,故t1a,42a,此时(42a)a40,故yf(t)在1a,42a递减,故|f(t)|2在1a,42a上恒成立,只需,故amax【点评】本题考查了二次函数的性质,考查解绝对值不等式问题,注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想,是一道综合题