1、2018-2019学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知全集U1，2，3，4，5，UA1，3，5，则A（）A1，2，3，4，5B1，3，5C2，4D2（3分）以下运算正确的是（）Alg2lg3lg6B（lg2）2lg4Clg2+lg3lg5Dlg4lg2lg23（3分）已知xR，则下列等式恒成立的是（）Asin（x）sinxBsin（x）sinxCsin（+x）sinxDsin（2x）sinx4（3分）函数f（x）的定义域是（）Ax|x2Bx|x1Cx|x2Dx|x15（3分）
2、已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角6（3分）若a20.5，blog32，clog2sin1，则（）AabcBacbCbacDbca7（3分）函数f（x）x2sinx的图象大致为（）ABCD8（3分）如图，有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案：方案一：设腰长ADx，周长为L（x）；方案二：设BAD，周长为L（），当x，在定义域内增大时（）AL（x）先增大后减小，L（）先减小后增大BL（x）先增大后减小，L（）先增大后减小
3、CL（x）先减小后增大，L（）先增大后减小DL（x）先减小后增大，L（）先减小后增大9（3分）设函数f（x）的定义域为D，若对任意aD，存在唯一的实数bD满足f2（a）2f（b）+f（a），则f（x）可以是（）AsinxBx+ClnxDex10（3分）设函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0），若02f（2）3f（3）4f（4）1，则f（1）+f（5）的取值范围是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）cos 12（3分）已知幂函数yx的图象过点，则实数的值是 13（3分）已知角的顶点与坐
4、标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P（，）为角终边上一点，角的终边与单位圆的交点为P（x，y），则xy 14（3分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则f（x） 15（3分）若函数f（x）恰有三个零点，则实数的取值范围是 16（3分）设函数f（x）x2+mx+m+3，g（x）mxm，若存在整数x0满足，则实数m的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（10分）已知tan，（0，）（）求tan（+）的值；（）求的值18（10分）已知函数f（x）sin（2x
5、+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）把函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式19（10分）已知集合Ax|x22x0，Bx|x2（3m1）x+2m2m0，Cy|y2+b（）若AB1，2，求实数m的值；（）若AC，求实数b的取值范围20（10分）已知函数f（x）lg（）设a，b（1，1），证明：f（a）+f（b）f（）；（）当x0，）时，函数yf（sin2x）+f（mcosx+2m）有零点，求实数m的取值范围21（12分）已知函数f（x）x2ax，aR（）记f（x）在x1，2上的最大值为M，最小值为m（i）若Mf（2），求a的取值范围；
6、（ii）证明：Mm；（）若2f（f（x）2在1，2上恒成立，求a的最大值2018-2019学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知全集U1，2，3，4，5，UA1，3，5，则A（）A1，2，3，4，5B1，3，5C2，4D【分析】利用补集定义直接求解【解答】解：全集U1，2，3，4，5，UA1，3，5，A（2，4故选：C【点评】本题考查集合的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（3分）以下运算正确的是（）Alg2lg3lg6B（lg2）2l
7、g4Clg2+lg3lg5Dlg4lg2lg2【分析】根据对数的运算，lg2+lg3lg6从而判断A，C都错误，lg2+lg2lg4，从而判断B错误，lg4lg2，从而判断D正确【解答】解：lg2+lg36，lg2+lg2lg4，lg4lg2lg2；D正确故选：D【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性3（3分）已知xR，则下列等式恒成立的是（）Asin（x）sinxBsin（x）sinxCsin（+x）sinxDsin（2x）sinx【分析】利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论【解答】解：sin（x）sinx，故A不成立；sin（x）sinx，故B成立；sin（+x）
8、sinx，故C不成立；sin（2x）sinx，故D不成立，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题4（3分）函数f（x）的定义域是（）Ax|x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得x的取值集合即可得到答案【解答】解：要使原函数有意义，则log2（x1）0，x11，解得：x2函数的定义域为x|x2故选：C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础的计算题5（3分）已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角【分析】根据costan0和“一全
9、正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角所在的象限【解答】解：costansin0，角是第三或第四象限角，故选：C【点评】本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断6（3分）若a20.5，blog32，clog2sin1，则（）AabcBacbCbacDbca【分析】可以看出，20.51，0log321，log2sin10，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：20.5201，0log32log331，log2sin1log210；abc故选：A【点评】考查指数函数、对数函数的单
10、调性，以及增函数的定义7（3分）函数f（x）x2sinx的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数f（x）x2sinx是奇函数，且函数过点，0，从而得出结论【解答】解：由于函数f（x）x2sinx是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；又函数过点（，0），可以排除A，所以只有C符合故选：C【点评】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题8（3分）如图，有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案：方案一：设腰长ADx，周长为L（x）；方案二：设BAD，周长为L（
11、），当x，在定义域内增大时（）AL（x）先增大后减小，L（）先减小后增大BL（x）先增大后减小，L（）先增大后减小CL（x）先减小后增大，L（）先增大后减小DL（x）先减小后增大，L（）先减小后增大【分析】方案一：如图所示，连接OD，OC，OCODOAOBR，在OAD中，设AOD，ADx，由余弦定理，得cos，（0，90），x在OCD中，COD1802，同理可得DC进而得出周长与单调性方案二：连接BD，可得ADB90，ADBC2Rcos作DEAB于E，CMAB于M，利用直角三角形的边角关系、三角函数的单调性二次函数的单调性即可得出【解答】解：方案一：如图所示，连接OD，OC，则OCODOAOB
12、R在OAD中，设AOD，ADx，由余弦定理，得x22R22R2cos，（0，90），cos；x在OCD中，COD1802，同理DC22R22R2cos（1802）2R2（1+cos2）2R22cos24R2cos2，DC2Rcos2R2R；所以梯形的周长：y2R+2x+（2R）+2x+4R+5R；则函数y在x（0，R）上单调递增在（R，R）上单调递减方案二：连接BD，则ADB90ADBC2Rcos作DEAB于E，CMAB于M，得AEBMADcos2Rcos2，DCAB2AE2R4Rcos2，ABC的周长L（）AB+2AD+DC2R+4Rcos+2R4Rcos24R（cos2+cos+1）2R+
13、可得L（）在内单调递减，在内单调递增故选：A【点评】本题考查了圆的性质、等腰梯形的性质、直角三角形的边角关系、三角函数的单调性二次函数的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题9（3分）设函数f（x）的定义域为D，若对任意aD，存在唯一的实数bD满足f2（a）2f（b）+f（a），则f（x）可以是（）AsinxBx+ClnxDex【分析】f（x）sinx，a0排除A；f（x）x+，a1排除B；f（x）ex，a0排除D，即可得到结论【解答】解：若f（x）sinx，则sin2a2sinb+sina，令a0，则sinb0有无数个b，不符合题意，排除A；若f（x）x+，则（a+）22（
14、b+）+（a+），令a1，则b+1无解，不符合题意，排除B；若f（x）ex，则（ea）22eb+ea，令a0，则eb0无解，不符合题意，排除D故选：C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，排除法，属基础题10（3分）设函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0），若02f（2）3f（3）4f（4）1，则f（1）+f（5）的取值范围是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定f（1）+f（5）的取值范围即可【解答】解：令xf（x）ta（x2）（x3）（x4）（xm），其中0t1，取x0可得t24ma取x1可得f（1）t6（1m）a
15、取x5可得5f（5）t6（5m）a由可得：5f（1）+f（5）6t30（1m）a+6（5m）a，将代入可得：f（1）+f（5）t（0，1）故选：A【点评】本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的试题二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）cos【分析】应用诱导公式化简三角函数式，可得结果【解答】解：coscos（）cos，故答案为：【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题12（3分）已知幂函数yx的图象过点，则实数的值是【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得的值【解答】解：幂函数y
16、x的图象过点，则2，故答案为：【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题13（3分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P（，）为角终边上一点，角的终边与单位圆的交点为P（x，y），则xy【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得x、y的值，可得xy的值【解答】解：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P（，）为角终边上一点，则cos，sin，角的终边与单位圆的交点为P（x，y），则xcos（）cos，ysin（）sin，xy，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题14（3分）已知函数f（x）sin（x+）
17、（0，0）的部分图象如图所示，则f（x）sin（x+）【分析】根据图象求出函数的周期，然后求出，结合函数的最值求出即可得到结论【解答】解：由图象知312，即周期T8，则8，则，此时f（x）（x+），f（1）（+）1，+，则+，即，则f（x）sin（x+），故答案为：sin（x+）【点评】本题主要考查三角函数的解析式，根据图象求出周期和是解决本题的关键15（3分）若函数f（x）恰有三个零点，则实数的取值范围是1，3）【分析】画出函数的图象，利用分段函数的零点判断的范围即可【解答】解：函数f（x）的图象如图：函数f（x）恰有三个零点，可得1，3）故答案为：1，3）【点评】本题考查分段函数的应用，考
18、查转化思想以及计算能力16（3分）设函数f（x）x2+mx+m+3，g（x）mxm，若存在整数x0满足，则实数m的取值范围是（，）（6，+）【分析】通过讨论二次函数的判别式是否大于0，结合二次函数的图象和一次函数的图象，得到m的范围【解答】解：g（x）mxm恒过（1，0），由f（x）x2+mx+m+3，m24（m+3）0，解得2m6，可得f（x）的图象上不存在函数值为负值的点，当m6时，f（x）上存在f（3）0，直线g（x）在R上递增；当m2，且f（x）过（2，0），可得07+3m，即m，由g（x）在R上递减，f（x）图象上存在f（2）0，综上可得m的范围是（，）（6，+）故答案为：（，）（6
19、，+）【点评】本题考查分段函数的单调性，考查二次函数、一次函数的图象和性质，注意运用分类讨论思想，是一道中档题三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（10分）已知tan，（0，）（）求tan（+）的值；（）求的值【分析】（）直接利用三角函数的诱导公式求得tan；（）由同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解：（）tan，tan（+）tan；（）由tan，得【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题18（10分）已知函数f（x）sin（2x+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）把函数f（x）图象上的所有点
20、向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式【分析】（）直接利用函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出结果（）利用函数的图象的平移变换的应用求出结果【解答】解：（）函数f（x）sin（2x+）所以函数的最小正周期为：T，令：（kZ），解得：（kZ），故函数的单调递增区间为：（kZ）（）函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数：g（x）f（x）sin（2x+），所以函数的解析式为：g（x）sin（2x+）【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（10分）已知集合Ax|x22x0
21、，Bx|x2（3m1）x+2m2m0，Cy|y2+b（）若AB1，2，求实数m的值；（）若AC，求实数b的取值范围【分析】（）求出集合Ax|0x2，由Bx|x2（3m1）x+2m2m0，AB1，2，得1B，由此能求出实数m的值（）由Ax|0x2，Cy|y2+b，AC，推导出b或b2，由此能求出实数b的取值范围【解答】解：（）集合Ax|x22x0x|0x2，Bx|x2（3m1）x+2m2m0，AB1，2，1B，1+3m1+2m2m0，即2m2+2m0，解得1m0，（3m1）24（2m2m）0，解得m1，实数m的值为1，0（）Ax|0x2，Cy|y2+b，AC，y或y，b或b2，02，20，实数b
22、的取值范围（，22，+）【点评】本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（10分）已知函数f（x）lg（）设a，b（1，1），证明：f（a）+f（b）f（）；（）当x0，）时，函数yf（sin2x）+f（mcosx+2m）有零点，求实数m的取值范围【分析】（）利用对数的运算法则进行证明即可（）判断函数的奇偶性，利用函数零点定义转化为方程关系，利用参数分离法进行求解即可【解答】解：（）f（a）+f（b）lg+lglg（）lgf（）lglglg，则f（a）+f（b）f（）成立；（）由0得1x1，则f（x）lglg（1x）lg（1
23、+x），则f（x）lg（1+x）lg（1x）f（x），即函数f（x）是奇函数，若当x0，）时，函数yf（sin2x）+f（mcosx+2m）有零点，即当x0，）时，函数yf（sin2x）+f（mcosx+2m）0，即f（sin2x）f（mcosx+2m）f（sin2x），则mcosx+2msin2x有解，得m（2+cosx）sin2x，则m，设t2+cosx，x0，），0cosx1，则2t3，则cosxt2，则mt+4，则设函数h（t）t+4在2t3上为增函数，则h（2），h（3）0，即h（t）0，则要使mh（t）有零点，则m0【点评】本题主要考查对数的运算，以及函数零点的应用，利用参数分离法
24、，结合对勾函数的性质进行求解是解决本题的关键21（12分）已知函数f（x）x2ax，aR（）记f（x）在x1，2上的最大值为M，最小值为m（i）若Mf（2），求a的取值范围；（ii）证明：Mm；（）若2f（f（x）2在1，2上恒成立，求a的最大值【分析】（）（i）讨论对称轴与区间1，2的关系，可得最大值，即可得到a的范围；（ii）讨论对称轴与区间的关系，求得最值，作差，求得最小值，即可得证；（）代入x1，2的值得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（）（i）函数f（x）x2ax，其对称轴为x，且开口向上，f（1）1a，f（2）42a，Mf（1），f（2）max，当1a42a时，即a3时，M
25、f（1）1a，当1a42a时，即a3时，Mf（2）42a，Mf（2），a的取值范围为（，3；（ii）证明：当2时，即a4时，f（x）在1，2上单调递减，Mf（1）1a，mf（2）42a，Mm1a4+2aa31，当1时，即a2时，f（x）在1，2上单调递增，Mf（2）42a，mf（2）1a，Mm42a1+a3a1，当2a3时，Mf（2）42a，mf（）a2，Mm42a+a2（a4）2，y42a+a2在2，3上为减函数，ymin，Mm；当3a4时，Mf（1）1a，mf（）a2，Mm1a+a2（a2）2，y1a+a2在3，4上为增函数，ymin，综上所述Mm；（）|f（f（x）|2在1，2上恒成立，|f（f（1）|2，即|f（1a）|2，故|2a23a+1|2，解得a，同理，|f（f（2）|2，解得：1a，故1a，当a时，设tf（x），此时1，x1，2，tf（x）在1，2递增，故t1a，42a，此时（42a）a40，故yf（t）在1a，42a递减，故|f（t）|2在1a，42a上恒成立，只需，故amax【点评】本题考查了二次函数的性质，考查解绝对值不等式问题，注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想，是一道综合题
