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2018-2019学年江苏省南京市玄武区高一(上)期中数学试卷(a卷)含详细解答

1、2018-2019学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷(A卷)一、填空题1(3分)已知集合A1,2,3,6,Bx|2x3,则AB2(3分)幂函数y的图象是(填序号)3(3分)把函数y(x2)2+2的图象向左平移1个单位,再向上平移一个单位,所得图象对应的函数解析式是   4(3分)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f(3)3,则f(1)   5(3分)集合UR,A(1,2),Bx|yln (1x),则图中阴影部分所代表的集合为   (结果用区间的形式表示)6(3分)若函数f(x)|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a   7(3分)已

2、知函数f(x)ax,(a0,a1),如果以P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)f(x2)   8(3分)函数f(x)3x7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则n   9(3分)若关于x的方程x24x2a0在区间 (1,4)内有解,则实数a的取值范围是   10(3分)若函数是奇函数,则使成立的x的取值范围为   11(3分)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位:元)与销售时间t(单位:天)的函数关系为,tN,且该商品的日销售量Q(单位:件)与销售时间t(单位:天)的函数关系为Qt+40

3、(0t30,tN),则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第   天12(3分)已知函数且关于x的方程f(x)+x+a0有且只有一个实根,且实数a的取值范围是   13(3分)已知满足对任意x1x2,都有0成立,那么a的取值范围是   14(3分)已知函数f(x)x2+bx,若函数yf(f(x)的最小值与函数yf(x)的最小值相等,则实数b的取值范围是   二、解答题(本大题共6小题,共计58分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15(8分)已知幂函数f(x)(mN*)的图象经过点 (2,8)(1)试确定

4、m的值;(2)求满足条件f (2a)f(a1)的实数a的取值范围16已知f(x)|x24x+3|(1)作出函数f(x)的图象;(2)求函数f(x)的单调区间,并指出单调性;(3)求集合Mm|使方程f(x)mx有四个不相等的实根17设全集UR,集合,By|ylg(x2+a)0,+)(1)求UAB;(2)求实数a的值18已知函数f(x)loga(4ax),其中常数a1(1)当x1,2,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上的最大值为1?如果存在,试求出a的值,如果不存在,请说明理由19已知函数f(x)exex(xR,且e为自然对数的底数

5、)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(xt)+f(x2t2)0对一切xR都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由20已知函数f(x)x2+2ex+m1,g(x)x+(x0)(1)若yg(x)m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)f(x)0有两个相异实根2018-2019学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷(A卷)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题3分,共42分请把答案写在答卷纸相应位置上)1(3分)已知集合A1,2,3,6,Bx|2x3,则AB1,2【分析】根据已知中集合A1,2,3,6,Bx|2x

6、3,结合集合交集的定义可得答案【解答】解:集合A1,2,3,6,Bx|2x3,AB1,2,故答案为:1,2【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题2(3分)幂函数y的图象是(填序号)【分析】根据常见幂函数的图象判断即可【解答】解:根据幂函数的解析式,显然符合题意,故答案为:【点评】本题考查了幂函数的图象,是一道基础题3(3分)把函数y(x2)2+2的图象向左平移1个单位,再向上平移一个单位,所得图象对应的函数解析式是y(x1)2+3【分析】根据“左加右减,上加下减”即可求解;【解答】解:将函数y(x2)2+2的图象向左平移1个单位,可得y(x1)2+2再向上平移一个单

7、位,可得y(x1)2+3;所得图象对应的函数解析式为y(x1)2+3;故答案为:y(x1)2+3;【点评】本题考查了函数图象变换,是基础题4(3分)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f(3)3,则f(1)3【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质,得到f(x+4)f(x),即可得到结论【解答】解:法1:因为偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,所以f(2+x)f(2x)f(x2),即f(x+4)f(x),则f(1)f(1+4)f(3)3,法2:因为函数yf(x)的图象关于直线x2对称,所以f(1)f(3)3,因为f(x)是偶函数,所以f(1)f(1)3,故答案为:3【点评】本题主要考查函数

8、值的计算,利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f(x+4)f(x)是解决本题的关键,比较基础5(3分)集合UR,A(1,2),Bx|yln (1x),则图中阴影部分所代表的集合为1,2)(结果用区间的形式表示)【分析】求出集合B,求出AB的范围,从而求出A(AB)即可【解答】解:A(1,2),Bx|yln (1x)x|x1,故AB(1,1),故A(AB)1,2),故答案为:1,2)【点评】本题考查了集合的运算,考查对数函数的性质,是一道基础题6(3分)若函数f(x)|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a6【分析】根据函数f(x)|2x+a|关于直线对称,单调递增区间是3,+),可建立方程

9、,即可求得a的值【解答】解:函数f(x)|2x+a|关于直线对称,单调递增区间是3,+),a6故答案为:6【点评】本题考查绝对值函数,考查函数的单调性,解题的关键是确定函数的对称轴,属于基础题7(3分)已知函数f(x)ax,(a0,a1),如果以P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)f(x2)1【分析】根据题意,由PQ的中点在y轴上分析可得x1+x20,进而根据指数的运算性质,计算可得答案【解答】解:根据题意,以P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)为端点的线段的中点在y轴上,则x1+x20,又由f(x)ax,则f(x1)f(x2)a01;故答

10、案为:1【点评】本题考查指数函数的图象和性质,涉及指数的运算,属于基础题8(3分)函数f(x)3x7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则n2【分析】分别计算f(1),f(2),f(3)的值,根据函数零点的判定定理,从而得到结论【解答】解:由于f(1)40,f(2)ln 210,f(3)2+ln 30,又f(x)在(0,+)上为增函数,所以在区间(2,3)内,故n2,故答案为:2【点评】本题考查了函数零点的判定定理,是一道基础题9(3分)若关于x的方程x24x2a0在区间 (1,4)内有解,则实数a的取值范围是6,2)【分析】根据题意,分析可得:若方程x24x2a0在区间 (1,

11、4)内有解,则函数f(x)x24x2与直线ya在区间 (1,4)有交点;结合二次函数的性质分析f(x)x24x2在(1,4)上的值域,分析可得答案【解答】解:根据题意,若方程x24x2a0在区间 (1,4)内有解,则函数f(x)x24x2与直线ya在区间 (1,4)有交点,f(x)x24x2(x2)26,在(1,2)上为减函数,在(2,4)上为增函数,f(1)5,f(4)2,则f(4)f(1),在区间(1,4)上有最小值f(2)6,且有f(x)f(4)2,函数f(x)x24x2与直线ya在区间 (1,4)有交点,必有6a2,即a的取值范围为6,2);故答案为:6,2)【点评】本题考查函数零点的

12、判断,注意将原问题转化为函数图象的交点问题,属于基础题10(3分)若函数是奇函数,则使成立的x的取值范围为(1,+)【分析】可看出f(x)在原点有定义,而f(x)是奇函数,从而得出f(0)1,这便求出a1,从而求出,分离常数得到,从而得到不等式,化简不等式得出2x2,这样即可得出x的取值范围【解答】解:的定义域为R;f(x)在原点有定义;又f(x)是奇函数;a1;由得,;2x+13;2x2;x1;使成立的x的取值范围为(1,+)故答案为:(1,+)【点评】考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,分离常数法的运用,不等式的性质,指数函数的单调性11(3分)某商品在近30天内每

13、件的销售价格P(单位:元)与销售时间t(单位:天)的函数关系为,tN,且该商品的日销售量Q(单位:件)与销售时间t(单位:天)的函数关系为Qt+40 (0t30,tN),则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第25天【分析】分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式,根据分段函数不同段上的表达式,分别求最大值最终取较大者分析即可得到结论【解答】解:设这种商品的日销售量金额为y元,由题意得:y(tN),当0t25,tN时,y(t+20)(40t)t2+20t+800(t10)2+900t10(天)时,ymax900(元);当25t30,tN时,y(t+100)(40t)t214

14、0t+4000(t70)2900,而y(t70)2900,在t25,30时,函数递减t25(天)时,ymax1125(元)1125900,第25天日销售额最大为1125元故答案为:25【点评】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力,属于中档题12(3分)已知函数且关于x的方程f(x)+x+a0有且只有一个实根,且实数a的取值范围是(,1)【分析】根据题意,分析可得若方程f(x)+x+a0有且只有一个实根,则函数yf(x)与直线yxa有且仅有一个交点,作出函数f(x)的图象,结合图象分析可得a1,解可得a的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,若方

15、程f(x)+x+a0有且只有一个实根,则函数yf(x)与直线yxa有且仅有一个交点,函数,其图象如图:其中A(0,1),B(1,0);直线yxa的斜率为1,与y轴交点为(0,a),与直线AB平行,若函数yf(x)与直线yxa有且仅有一个交点,必有a1,解可得a1,即a的取值范围为(,1);故答案为:(,1)【点评】本题考查方程根的个数的判断,关键是掌握方程的根与函数交点的关系,属于综合题13(3分)已知满足对任意x1x2,都有0成立,那么a的取值范围是,2)【分析】先确定函数在R上单调增,再利用单调性的定义,建立不等式,即可求得a的取值范围【解答】解:对任意x1x2,都有0成立函数在R上单调增

16、故答案为:,2)【点评】本题考查函数的单调性,考查函数单调性定义的运用,属于中档题14(3分)已知函数f(x)x2+bx,若函数yf(f(x)的最小值与函数yf(x)的最小值相等,则实数b的取值范围是b|b2或b0【分析】首先这个函数f(x)的图象是一个开口向上的抛物线,也就是说它的值域就是大于等于它的最小值yf(f(x)它的图象只能是函数f(x)上的一段,而要这两个函数的值域相同,则函数  y必须要能够取到最小值,这样问题就简单了,就只需要f(x)的最小值小于【解答】解:由于f(x)x2+bx,xR则当x时,f(x)min,又函数yf(f(x)的最小值与函数yf(x)的最小值相等,

17、则函数y必须要能够取到最小值,即,得到b0或b2,所以b的取值范围为b|b2或b0故答案为:b|b2或b0【点评】本题考查函数值域的简单应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题二、解答题(本大题共6小题,共计58分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15(8分)已知幂函数f(x)(mN*)的图象经过点 (2,8)(1)试确定m的值;(2)求满足条件f (2a)f(a1)的实数a的取值范围【分析】(1)代入点的坐标,求出m的值,从而求出函数的解析式即可;(2)根据函数的单调性得到关于a的不等式,解出即可【解答】解:(1)将(2,8)代入函数的解析式得

18、:823,即m2+m20,解得:m2(舍)或m1,故f(x)x3;(2)由f(x)x3,f(x)在R递增,若f (2a)f(a1),则2aa1,解得:a【点评】本题考查了幂函数的定义,考查函数求值以及函数的单调性问题,是一道基础题16已知f(x)|x24x+3|(1)作出函数f(x)的图象;(2)求函数f(x)的单调区间,并指出单调性;(3)求集合Mm|使方程f(x)mx有四个不相等的实根【分析】(1)借助对称性作f(x)|x24x+3|的图象即可,(2)由图象写出函数f(x)的单调区间即可;(3)作f(x)|x24x+3|与ymx的图象,求导确定相切时直线的斜率,从而求集合M【解答】解:(1

19、)作f(x)|x24x+3|的图象如下,(2)由图象可知,f(x)在(,1),(2,3)上单调递减,在(1,2),(3,+)上单调递增;(3)作f(x)|x24x+3|与ymx的图象如下,可知直线m与曲线相切,当1x3时,f(x)(x24x+3),f(x)2x+4,故2x+4,即x,故直线m的斜率k42,故集合Mm|使方程f(x)mx有四个不相等的实根(0,42)【点评】本题考查了学生的作图与应用图象的能力,同时考查了导数的综合应用17设全集UR,集合,By|ylg(x2+a)0,+)(1)求UAB;(2)求实数a的值【分析】(1)求解的解集可得集合A,B0,+)即可得UAB;(2)根据By|

20、ylg(x2+a)0,+)利用单调性可得实数a的值【解答】解:(1)集合,By|ylg(x2+a)0,+)由,可得x1;集合Ax|x1;那么UAx|x1;故得UAB(1,+)(2)集合By|ylg(x2+a)0,+)可知ylg(x2+a)的最小值为0,x20,要使最小值为0,则lga0可知a1故实数a的值为1【点评】本题考查对数函数的值域与最值,熟练掌握ylgx的性质是解决问题的关键,属于基础题18已知函数f(x)loga(4ax),其中常数a1(1)当x1,2,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上的最大值为1?如果存在,试求出a

21、的值,如果不存在,请说明理由【分析】(1)由题意,当x1,2,对数的真数大于零恒成立,由此求得实数a的取值范围(2)假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上的最大值为1,由单调性可得4aa,由此求得a的值,可得结论【解答】解:(1)函数f(x)loga(4ax),其中常数a1,当x1,2,函数f(x)恒有意义,求得1a2,故实数a的取值范围为(1,2)(2)假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上的最大值为1,f(x)在在区间1,2上为减函数,loga(4a)1,4aa,a2,存在 a2,使得函数f(x)在区间1,2上的最大值为1【点评】本题主要考查对数函数的性质,对数

22、函数的运算法则的应用,属于基础题19已知函数f(x)exex(xR,且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(xt)+f(x2t2)0对一切xR都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由【分析】(1)由已知中函数f(x)exex,结合函数单调性“增+增增”的性质及奇偶性的定义,可判断f(x)在R上是增函数且是奇函数(2)不等式f(xt)+f(x2t2)0对一切xR都成立,即t2+tx2+x(x+)2对一切xR都成立,进而可得存在,使不等式f(xt)+f(x2t2)0对一切xR都成立【解答】(12分)解:(1)f(x)exex,函数yex为

23、增函数,函数yex为增函数f(x)在R上是增函数(亦可用定义证明)f(x)的定义域为R,且f(x)exexf(x),f(x)是奇函数(2)存在由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(xt)+f(x2t2)0对一切都成立f(x2t2)f(xt)f(tx)对一切xR都成立x2t2tx对一切xR都成立t2+tx2+x(x+)2对一切xR都成立,又,存在,使不等式f(xt)+f(x2t2)0对一切xR都成立【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档20已知函数f(x)x2+2ex+m1,g(x)x+(x0)(1)若yg(x)m有零点,求m的取值范

24、围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)f(x)0有两个相异实根【分析】(1)由基本不等式可得g(x)x+22e,从而求m的取值范围;(2)令F(x)g(x)f(x)x+x22exm+1,求导F(x)1+2x2e(xe)(+2);从而判断函数的单调性及最值,从而确定m的取值范围【解答】解:(1)g(x)x+22e;(当且仅当x,即xe时,等号成立)若使函数yg(x)m有零点,则m2e;故m的取值范围为2e,+);(2)令F(x)g(x)f(x)x+x22exm+1,F(x)1+2x2e(xe)(+2);故当x(0,e)时,F(x)0,x(e,+)时,F(x)0;故F(x)在(0,e)上是减函数,在(e,+)上是增函数,故只需使F(e)0,即e+e+e22e2m+10;故m2ee2+1【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用,同时考查了函数零点的判断与应用,属于中档题