1、2018-2019学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷（A卷）一、填空题1（3分）已知集合A1，2，3，6，Bx|2x3，则AB2（3分）幂函数y的图象是（填序号）3（3分）把函数y（x2）2+2的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是 4（3分）偶函数yf（x）的图象关于直线x2对称，f（3）3，则f（1） 5（3分）集合UR，A（1，2），Bx|yln （1x），则图中阴影部分所代表的集合为 （结果用区间的形式表示）6（3分）若函数f（x）|2x+a|的单调递增区间是3，+），则a 7（3分）已
2、知函数f（x）ax，（a0，a1），如果以P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）f（x2） 8（3分）函数f（x）3x7+ln x的零点位于区间（n，n+1）（nN）内，则n 9（3分）若关于x的方程x24x2a0在区间 （1，4）内有解，则实数a的取值范围是 10（3分）若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为 11（3分）某商品在近30天内每件的销售价格P（单位：元）与销售时间t（单位：天）的函数关系为，tN，且该商品的日销售量Q（单位：件）与销售时间t（单位：天）的函数关系为Qt+40
3、（0t30，tN），则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第 天12（3分）已知函数且关于x的方程f（x）+x+a0有且只有一个实根，且实数a的取值范围是 13（3分）已知满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是 14（3分）已知函数f（x）x2+bx，若函数yf（f（x）的最小值与函数yf（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，共计58分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（8分）已知幂函数f（x）（mN*）的图象经过点 （2，8）（1）试确定
4、m的值；（2）求满足条件f （2a）f（a1）的实数a的取值范围16已知f（x）|x24x+3|（1）作出函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（3）求集合Mm|使方程f（x）mx有四个不相等的实根17设全集UR，集合，By|ylg（x2+a）0，+）（1）求UAB；（2）求实数a的值18已知函数f（x）loga（4ax），其中常数a1（1）当x1，2，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间1，2上的最大值为1？如果存在，试求出a的值，如果不存在，请说明理由19已知函数f（x）exex（xR，且e为自然对数的底数
5、）（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；（2）是否存在实数t，使不等式f（xt）+f（x2t2）0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由20已知函数f（x）x2+2ex+m1，g（x）x+（x0）（1）若yg（x）m有零点，求m的取值范围；（2）确定m的取值范围，使得g（x）f（x）0有两个相异实根2018-2019学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分请把答案写在答卷纸相应位置上）1（3分）已知集合A1，2，3，6，Bx|2x3，则AB1，2【分析】根据已知中集合A1，2，3，6，Bx|2x
6、3，结合集合交集的定义可得答案【解答】解：集合A1，2，3，6，Bx|2x3，AB1，2，故答案为：1，2【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题2（3分）幂函数y的图象是（填序号）【分析】根据常见幂函数的图象判断即可【解答】解：根据幂函数的解析式，显然符合题意，故答案为：【点评】本题考查了幂函数的图象，是一道基础题3（3分）把函数y（x2）2+2的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是y（x1）2+3【分析】根据“左加右减，上加下减”即可求解；【解答】解：将函数y（x2）2+2的图象向左平移1个单位，可得y（x1）2+2再向上平移一个单
7、位，可得y（x1）2+3；所得图象对应的函数解析式为y（x1）2+3；故答案为：y（x1）2+3；【点评】本题考查了函数图象变换，是基础题4（3分）偶函数yf（x）的图象关于直线x2对称，f（3）3，则f（1）3【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）f（x），即可得到结论【解答】解：法1：因为偶函数yf（x）的图象关于直线x2对称，所以f（2+x）f（2x）f（x2），即f（x+4）f（x），则f（1）f（1+4）f（3）3，法2：因为函数yf（x）的图象关于直线x2对称，所以f（1）f（3）3，因为f（x）是偶函数，所以f（1）f（1）3，故答案为：3【点评】本题主要考查函数
8、值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）f（x）是解决本题的关键，比较基础5（3分）集合UR，A（1，2），Bx|yln （1x），则图中阴影部分所代表的集合为1，2）（结果用区间的形式表示）【分析】求出集合B，求出AB的范围，从而求出A（AB）即可【解答】解：A（1，2），Bx|yln （1x）x|x1，故AB（1，1），故A（AB）1，2），故答案为：1，2）【点评】本题考查了集合的运算，考查对数函数的性质，是一道基础题6（3分）若函数f（x）|2x+a|的单调递增区间是3，+），则a6【分析】根据函数f（x）|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是3，+），可建立方程
9、，即可求得a的值【解答】解：函数f（x）|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是3，+），a6故答案为：6【点评】本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题7（3分）已知函数f（x）ax，（a0，a1），如果以P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）f（x2）1【分析】根据题意，由PQ的中点在y轴上分析可得x1+x20，进而根据指数的运算性质，计算可得答案【解答】解：根据题意，以P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）为端点的线段的中点在y轴上，则x1+x20，又由f（x）ax，则f（x1）f（x2）a01；故答
10、案为：1【点评】本题考查指数函数的图象和性质，涉及指数的运算，属于基础题8（3分）函数f（x）3x7+ln x的零点位于区间（n，n+1）（nN）内，则n2【分析】分别计算f（1），f（2），f（3）的值，根据函数零点的判定定理，从而得到结论【解答】解：由于f（1）40，f（2）ln 210，f（3）2+ln 30，又f（x）在（0，+）上为增函数，所以在区间（2，3）内，故n2，故答案为：2【点评】本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题9（3分）若关于x的方程x24x2a0在区间 （1，4）内有解，则实数a的取值范围是6，2）【分析】根据题意，分析可得：若方程x24x2a0在区间 （1，
11、4）内有解，则函数f（x）x24x2与直线ya在区间 （1，4）有交点；结合二次函数的性质分析f（x）x24x2在（1，4）上的值域，分析可得答案【解答】解：根据题意，若方程x24x2a0在区间 （1，4）内有解，则函数f（x）x24x2与直线ya在区间 （1，4）有交点，f（x）x24x2（x2）26，在（1，2）上为减函数，在（2，4）上为增函数，f（1）5，f（4）2，则f（4）f（1），在区间（1，4）上有最小值f（2）6，且有f（x）f（4）2，函数f（x）x24x2与直线ya在区间 （1，4）有交点，必有6a2，即a的取值范围为6，2）；故答案为：6，2）【点评】本题考查函数零点的
12、判断，注意将原问题转化为函数图象的交点问题，属于基础题10（3分）若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为（1，+）【分析】可看出f（x）在原点有定义，而f（x）是奇函数，从而得出f（0）1，这便求出a1，从而求出，分离常数得到，从而得到不等式，化简不等式得出2x2，这样即可得出x的取值范围【解答】解：的定义域为R；f（x）在原点有定义；又f（x）是奇函数；a1；由得，；2x+13；2x2；x1；使成立的x的取值范围为（1，+）故答案为：（1，+）【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，分离常数法的运用，不等式的性质，指数函数的单调性11（3分）某商品在近30天内每
13、件的销售价格P（单位：元）与销售时间t（单位：天）的函数关系为，tN，且该商品的日销售量Q（单位：件）与销售时间t（单位：天）的函数关系为Qt+40 （0t30，tN），则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第25天【分析】分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可得到结论【解答】解：设这种商品的日销售量金额为y元，由题意得：y（tN），当0t25，tN时，y（t+20）（40t）t2+20t+800（t10）2+900t10（天）时，ymax900（元）；当25t30，tN时，y（t+100）（40t）t214
14、0t+4000（t70）2900，而y（t70）2900，在t25，30时，函数递减t25（天）时，ymax1125（元）1125900，第25天日销售额最大为1125元故答案为：25【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题12（3分）已知函数且关于x的方程f（x）+x+a0有且只有一个实根，且实数a的取值范围是（，1）【分析】根据题意，分析可得若方程f（x）+x+a0有且只有一个实根，则函数yf（x）与直线yxa有且仅有一个交点，作出函数f（x）的图象，结合图象分析可得a1，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，若方
15、程f（x）+x+a0有且只有一个实根，则函数yf（x）与直线yxa有且仅有一个交点，函数，其图象如图：其中A（0，1），B（1，0）；直线yxa的斜率为1，与y轴交点为（0，a），与直线AB平行，若函数yf（x）与直线yxa有且仅有一个交点，必有a1，解可得a1，即a的取值范围为（，1）；故答案为：（，1）【点评】本题考查方程根的个数的判断，关键是掌握方程的根与函数交点的关系，属于综合题13（3分）已知满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是，2）【分析】先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a的取值范围【解答】解：对任意x1x2，都有0成立函数在R上单调增
16、故答案为：，2）【点评】本题考查函数的单调性，考查函数单调性定义的运用，属于中档题14（3分）已知函数f（x）x2+bx，若函数yf（f（x）的最小值与函数yf（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是b|b2或b0【分析】首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值yf（f（x）它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数 y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于【解答】解：由于f（x）x2+bx，xR则当x时，f（x）min，又函数yf（f（x）的最小值与函数yf（x）的最小值相等，
17、则函数y必须要能够取到最小值，即，得到b0或b2，所以b的取值范围为b|b2或b0故答案为：b|b2或b0【点评】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共计58分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（8分）已知幂函数f（x）（mN*）的图象经过点 （2，8）（1）试确定m的值；（2）求满足条件f （2a）f（a1）的实数a的取值范围【分析】（1）代入点的坐标，求出m的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）将（2，8）代入函数的解析式得
18、：823，即m2+m20，解得：m2（舍）或m1，故f（x）x3；（2）由f（x）x3，f（x）在R递增，若f （2a）f（a1），则2aa1，解得：a【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数求值以及函数的单调性问题，是一道基础题16已知f（x）|x24x+3|（1）作出函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（3）求集合Mm|使方程f（x）mx有四个不相等的实根【分析】（1）借助对称性作f（x）|x24x+3|的图象即可，（2）由图象写出函数f（x）的单调区间即可；（3）作f（x）|x24x+3|与ymx的图象，求导确定相切时直线的斜率，从而求集合M【解答】解：（1
19、）作f（x）|x24x+3|的图象如下，（2）由图象可知，f（x）在（，1），（2，3）上单调递减，在（1，2），（3，+）上单调递增；（3）作f（x）|x24x+3|与ymx的图象如下，可知直线m与曲线相切，当1x3时，f（x）（x24x+3），f（x）2x+4，故2x+4，即x，故直线m的斜率k42，故集合Mm|使方程f（x）mx有四个不相等的实根（0，42）【点评】本题考查了学生的作图与应用图象的能力，同时考查了导数的综合应用17设全集UR，集合，By|ylg（x2+a）0，+）（1）求UAB；（2）求实数a的值【分析】（1）求解的解集可得集合A，B0，+）即可得UAB；（2）根据By|
20、ylg（x2+a）0，+）利用单调性可得实数a的值【解答】解：（1）集合，By|ylg（x2+a）0，+）由，可得x1；集合Ax|x1；那么UAx|x1；故得UAB（1，+）（2）集合By|ylg（x2+a）0，+）可知ylg（x2+a）的最小值为0，x20，要使最小值为0，则lga0可知a1故实数a的值为1【点评】本题考查对数函数的值域与最值，熟练掌握ylgx的性质是解决问题的关键，属于基础题18已知函数f（x）loga（4ax），其中常数a1（1）当x1，2，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间1，2上的最大值为1？如果存在，试求出a
21、的值，如果不存在，请说明理由【分析】（1）由题意，当x1，2，对数的真数大于零恒成立，由此求得实数a的取值范围（2）假设存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间1，2上的最大值为1，由单调性可得4aa，由此求得a的值，可得结论【解答】解：（1）函数f（x）loga（4ax），其中常数a1，当x1，2，函数f（x）恒有意义，求得1a2，故实数a的取值范围为（1，2）（2）假设存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间1，2上的最大值为1，f（x）在在区间1，2上为减函数，loga（4a）1，4aa，a2，存在 a2，使得函数f（x）在区间1，2上的最大值为1【点评】本题主要考查对数函数的性质，对数
22、函数的运算法则的应用，属于基础题19已知函数f（x）exex（xR，且e为自然对数的底数）（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；（2）是否存在实数t，使不等式f（xt）+f（x2t2）0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由【分析】（1）由已知中函数f（x）exex，结合函数单调性“增+增增”的性质及奇偶性的定义，可判断f（x）在R上是增函数且是奇函数（2）不等式f（xt）+f（x2t2）0对一切xR都成立，即t2+tx2+x（x+）2对一切xR都成立，进而可得存在，使不等式f（xt）+f（x2t2）0对一切xR都成立【解答】（12分）解：（1）f（x）exex，函数yex为
23、增函数，函数yex为增函数f（x）在R上是增函数（亦可用定义证明）f（x）的定义域为R，且f（x）exexf（x），f（x）是奇函数（2）存在由（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数，则f（xt）+f（x2t2）0对一切都成立f（x2t2）f（xt）f（tx）对一切xR都成立x2t2tx对一切xR都成立t2+tx2+x（x+）2对一切xR都成立，又，存在，使不等式f（xt）+f（x2t2）0对一切xR都成立【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档20已知函数f（x）x2+2ex+m1，g（x）x+（x0）（1）若yg（x）m有零点，求m的取值范
24、围；（2）确定m的取值范围，使得g（x）f（x）0有两个相异实根【分析】（1）由基本不等式可得g（x）x+22e，从而求m的取值范围；（2）令F（x）g（x）f（x）x+x22exm+1，求导F（x）1+2x2e（xe）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值范围【解答】解：（1）g（x）x+22e；（当且仅当x，即xe时，等号成立）若使函数yg（x）m有零点，则m2e；故m的取值范围为2e，+）；（2）令F（x）g（x）f（x）x+x22exm+1，F（x）1+2x2e（xe）（+2）；故当x（0，e）时，F（x）0，x（e，+）时，F（x）0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+）上是增函数，故只需使F（e）0，即e+e+e22e2m+10；故m2ee2+1【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题
