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2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)开学数学试卷(2月份)含详细解答

1、2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)开学数学试卷(2月份)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在相应位置上1(5分)计算:cos570 2(5分)已知集合A1,2,B2,3,则AB的子集个数为 3(5分)若,则点P(tan,sin)位于第 象限4(5分)在ABC中,已知A,a,b1,则B 5(5分)设a0.30.2,b1og0.23,cln,则a,b,c从小到大排列的顺序为 (用“”连结)6(5分)已知单位向量,的夹角为60,则| 7(5分)已知tan(x+)2,则tanx的值为 8(5分)函数的增区间是 9(5分)已知函数y3sin(2x+)的图

2、象向左平移(0)个单位长度后,所得函数图象关于原点成中心对称,则的值是 10(5分)已知3x12y2,则 11(5分)方程lnx82x的解为x0,则不等式xx0的最大整数解是 12(5分)四边形ABCD中,已知(1,1)且+,则此四边形的面积等于 13(5分)已知函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是 14(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且当x(1,2时,f(x)2x+3,若关于x的方程f(x)loga|x|(a1)恰好有8个不同的实数根,则实数a的取值范围是 二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证

3、明过程或演算步骤15(14分)已知函数f(x)的定义域为A,集合Bx|22x16,集合Cm+1,3m,全集为实数集R(1)求集合AB和RB;(2)若ACA,求实数m的取值集合16(14分)已知,cos,tan(1)求sin()的值(2)求+的值17(14分)设函数,其中03,(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求g(x)在(,)上的值域18(16分)如图,经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC,根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P,为了仓库存储和

4、运输方便,在两条公路上分别建两个仓库M,N(异于村庄A,将工厂P及仓库M,N近似看成点,且M,N分别在射线AB,AC上),要求MN2,PN1(单位:km),PNMN(1)设AMN,将工厂与村庄的距离PA表示为的函数,记为l(),并写出函数l()的定义域;(2)当为何值时,l()有最大值?并求出该最大值19(16分)如图,在矩形ABCD中,已知AB3,2,M是线段CE上的一动点(1)当M是线段CE的中点时,若m+n,求m+n的值;过点E作直线l垂直于AB,在l上任取一点F,证明为常数,并求该常数;(2)当7时,求(+2)的最小值20(16分)已知mR,函数f(x)lg(m+)(1)当m1时,求不

5、等式f(x)1的解集;(2)若函数g(x)f(x)+1gx2有且仅有一个零点,求m的值;(3)设m0,任取x1,x2t,t+2,若不等式|f(x1)f(x2)|1对任意t,恒成立,求m的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)开学数学试卷(2月份)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在相应位置上1(5分)计算:cos570【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值【解答】解:cos570cos(720150)cos150cos30故答案为:【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题2(5分)已知集合A1,

6、2,B2,3,则AB的子集个数为8【分析】先求出AB1,2,3,由此能求出AB的子集个数【解答】解:集合A1,2,B2,3,AB1,2,3,AB的子集个数为:238故答案为:8【点评】本题考查并集的子集个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的合理运用3(5分)若,则点P(tan,sin)位于第二象限【分析】tan0,sin0,故点P(tan,sin)位于第二象限【解答】解:,tan0,sin0,故点P(tan,sin)位于第二象限,故答案为:二【点评】本题考查三角函数值的符号,考查象限角的概念及应用,属于基础题4(5分)在ABC中,已知A,a,b1,则B【分析】由正弦定理可得,可

7、求sinB,然后根据大边对大角可求B【解答】解:A,a,b1,由正弦定理可得,则sinB,ab,AB,B故答案为:【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用,解题的关键是大边对大角的应用,属于基础试题5(5分)设a0.30.2,b1og0.23,cln,则a,b,c从小到大排列的顺序为bac(用“”连结)【分析】容易看出00.30.21,log0.230,ln1,从而得出a,b,c的大小关系【解答】解:00.30.20.301,log0.23log0.210,lnlne1;bac故答案为:bac【点评】考查指数函数和对数函数的单调性,增函数和减函数的定义6(5分)已知单位向量,的夹角为

8、60,则|【分析】根据平面向量的数量积求模长即可【解答】解:单位向量,的夹角为60,则+4+41+411cos60+417,|+2|故答案为:【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题,是基础题7(5分)已知tan(x+)2,则tanx的值为【分析】根据已知的条件,利用两角和的正切公式可得 2,解方程求得 tanx的值【解答】解:已知tan(x+)2,2,解得 tanx,故答案为:【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题8(5分)函数的增区间是(2,+)【分析】先根据被开方数大于或等于0,得到函数的定义域为(,32,+)再由函数t(x)x2+x6区间(2,+)上是增函

9、数,结合函数y是(0,+)上的增函数,即可得到本题的单调增区间【解答】解:函数的定义域为x|x2+x60化简,得x3或x2t(x)x2+x6图象是开口向上的抛物线,区间(2,+)在对称轴x的右侧,t(x)区间(2,+)上是增函数函数y是(0,+)上的增函数,函数的增区间是(2,+)故答案为:(2,+)【点评】本题给出被开方数是二次函数的根式函数,求函数的单调增区间,着重考查了函数的定义域求法和单调区间求法等知识,属于基础题9(5分)已知函数y3sin(2x+)的图象向左平移(0)个单位长度后,所得函数图象关于原点成中心对称,则的值是【分析】由题意利用函数yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函

10、数的图象的对称性,得出结论【解答】解:函数y3sin(2x+)的图象向左平移(0)个单位长度后,可得函数y3sin(2x+2+)的图象;再根据所得函数图象关于原点成中心对称,sin(2+ )0,2+k,kZ,令k1,则,故答案为:【点评】本题主要考查函数yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题10(5分)已知3x12y2,则2【分析】根据3x12y2即可得出xlog32,ylog122,从而得出,然后进行对数的运算即可【解答】2解:3x12y2;xlog32,ylog122;故答案为:2【点评】考查指数式和对数式的互化,对数的运算性质,以及对数的换底公式11(5分)

11、方程lnx82x的解为x0,则不等式xx0的最大整数解是3【分析】由二次方程的解与函数的零点的关系得:方程lnx82x的解等价于函数f(x)lnx+2x8的零点,由零点定理得:f(3)ln320,f(4)2ln20,则3x04,得解【解答】解:设f(x)lnx+2x8,易得f(x)为增函数,设f(x0)0,由f(3)ln320,f(4)2ln20,由零点定理得:3x04,则xx0的最大整数解是3,故答案为:3【点评】本题考查了二次方程的解与函数的零点的关系及零点定理,属中档题12(5分)四边形ABCD中,已知(1,1)且+,则此四边形的面积等于2【分析】可先根据可知四边形ABCD是平行四边形,

12、而对两边平方即可得出,从而得出四边形ABCD是正方形,从而求出四边形的面积【解答】解:;四边形ABCD是平行四边形;对两边平方得:;BABC;四边形ABCD是正方形,且;四边形ABCD的面积为:2故答案为:2【点评】考查相等向量的概念,平行四边形的概念,向量的数量积运算,向量垂直的充要条件,向量加法的平行四边形法则13(5分)已知函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是0a或a1【分析】本题主要考查分段函数的应用,利用函数的单调性,结合函数的值域进行讨论求解即可【解答】解:若a1,则当x1时,函数f(x)logax0,当x0时,f(x)(2a1)x+a2a1+aa1,a10,f(x)的值域

13、是R,满足条件若0a1,则当x1时,函数f(x)logax0,要使f(x)的值域为R,则要求当x0时,f(x)是减函数,且满足,即,得a,此时0a,综上实数a的取值范围是0a或a1,故答案为:0a或a1【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用函数的值域,判断分段函数取值之间的关系是解决本题的关键14(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且当x(1,2时,f(x)2x+3,若关于x的方程f(x)loga|x|(a1)恰好有8个不同的实数根,则实数a的取值范围是4【分析】由函数的奇偶性和对称性,可得f(x)为周期为4的函数,求得f(x)在一个周期的函数解析式,作出f(x

14、)的图象,yloga|x|(a1)的图象,通过图象观察,即可得到所求a的取值范围【解答】解:定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,可得f(x)f(x),f(2x)f(x),即为f(2x)f(x),即为f(x+2)f(x),f(x+4)f(x+2)f(x),即f(x)为周期为4的函数,当x(1,2时,f(x)32x,可得当x2,1)时,f(x)3+2x,当x(0,1时,f(x)f(x2)32(x2)2x+1,当x(1,0时,f(x)2x+1,作出f(x)在R上的图象,以及yloga|x|(a1)的图象,关于x的方程f(x)loga|x|(a1)恰好有8个不同的实数根,即为yf(x

15、)与yloga|x|(a1)的图象恰好有8个交点,由图象可得f(4)1,即loga41,解得a4且loga31,解得a3此时yf(x)与yloga|x|(a1)的图象恰好有8个交点,故答案为:4【点评】本题考查函数方程的转化思想,以及函数的周期性的运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力,属于中档题二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)已知函数f(x)的定义域为A,集合Bx|22x16,集合Cm+1,3m,全集为实数集R(1)求集合AB和RB;(2)若ACA,求实数m的取值集合【分析】(1)由函数定义域的求法

16、得:即A2,3,由指数不等式的解法得:B1,4,由集合交集,补集的求法得:AB2,3,RB(,1)(4,+)(2)由集合间的包含关系得:因为ACA,所以CA,即,解得:m1,得解【解答】解:(1)要使函数有意义,则需x2+5x60,解得:2x3,即A2,3,解不等式22x16,得1x4,即B1,4,所以AB2,3,RB(,1)(4,+)(2)因为ACA,所以CA,即,解得:m1,所以实数m的取值集合为,故答案为:【点评】本题考查了函数定义域的求法,指数不等式的解法,集合交集,补集的求法及集合间的包含关系,属中档题16(14分)已知,cos,tan(1)求sin()的值(2)求+的值【分析】(1

17、)利用同角三角函数的基本关系求得sin,再利用两角差的正弦公式求得sin()的值(2)先求得tan的值,再利用两角和的正切公式求得tan(+)的值,结合+的范围,可得+的值【解答】解:(1)已知,cos,sin,sin()sincoscossin()()(2),+2,由(1)可得tan,tan,tan(+)1,故+【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的三角公式的应用,属于基础题17(14分)设函数,其中03,(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求

18、g(x)在(,)上的值域【分析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式,再根据正弦函数的周期性和单调性,得出结论(2)利用函数yAsin(x+)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得g(x)在(,)上的值域【解答】解:(1)函数sinxcosxcosxsinxcosxsin(x),其中03sin(),k,kZ,2,f(x)sin(2x)令2k2x2k+,求得kxk+,故函数f(x)的增区间为k,k+,kZ(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得ysin(x)的图象;再将得到的图象向左平移个单位,得到函数g(x)sin(x+)

19、sin(x)的图象,在(,)上,x(,),故当x时,函数g(x)取得最大值为,当x时,函数g(x),故g(x)的值域为(,【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和单调性,函数yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题18(16分)如图,经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC,根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P,为了仓库存储和运输方便,在两条公路上分别建两个仓库M,N(异于村庄A,将工厂P及仓库M,N近似看成点,且M,N分别在射线AB,AC上),要求MN2,PN1(单位:km),PNMN(1)设AMN,将工厂与村庄的距离PA表示为的函数,记

20、为l(),并写出函数l()的定义域;(2)当为何值时,l()有最大值?并求出该最大值【分析】(1)过点P作PDAC,垂足为D,连结PA运用直角三角形中锐角三角函数的定义,求得PD,ND,PA;(2)运用同角的平方关系和二倍角公式及两角和差函数公式,化简函数式,再由正弦函数的图形和性质,可得最大值【解答】解:(1)过点P作PDAC,垂足为D,连结PA在RtMAN中,sin,故NA2sin,在RtPND中,PND,sin,cos,故PDsin,NDcos在RtPDA中,PA,所以l(),函数l()的定义域为(0,)(2)由(1)可知,l(),即l(),又(0,),故2(,),所以当2,即时,sin

21、(2)取最大值1,l()max1+答:当时,l()有最大值,最大值为1+【点评】本题考查函数在实际问题中的应用,注意运用三角函数的恒等变换公式,考查正弦函数的图形和性质,属于中档题19(16分)如图,在矩形ABCD中,已知AB3,2,M是线段CE上的一动点(1)当M是线段CE的中点时,若m+n,求m+n的值;过点E作直线l垂直于AB,在l上任取一点F,证明为常数,并求该常数;(2)当7时,求(+2)的最小值【分析】(1)根据题意,用向量、表示,求出m、n的值,再求m+n;以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,计算的值即可;(2)根据7求得点C的坐标,根据M为线段

22、CE上一动点,设(01),由坐标运算求得(+2),利用函数计算它的最小值即可【解答】解:(1)根据题意知,2,当M是线段CE的中点时,+(+)+;又m+n,由平面向量的基本定理知,m,n,所以m+n;证明:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立平面直角坐标系,如图所示;由AB3,得A(0,0),B(3,0),E(2,0),设D(0,m)(m0),则C(3,m),M(,);因为lAB,设l上的点F(2,n),则(,n),(1,0),所以(1)+0,为定值;(2)由建立平面直角坐标系,计算(3,m),(1,m),根据3+m27,解得m2(负值舍去),所以点C(3,2);根据M为线段CE上一动点,设

23、(01),计算则由坐标运算可得M(3,22),(,22),所以+2(33,66),又(,2),所以(+2)1521515,所以当且仅当时,(+2)取得最小值为【点评】本题考查了平面向量的运算与应用问题,也考查了数形结合的解题思想,是中档题20(16分)已知mR,函数f(x)lg(m+)(1)当m1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若函数g(x)f(x)+1gx2有且仅有一个零点,求m的值;(3)设m0,任取x1,x2t,t+2,若不等式|f(x1)f(x2)|1对任意t,恒成立,求m的取值范围【分析】(1)代入m的值,得到关于x的不等式,解出即可;(2)由对数的运算性质和方程解法,讨论m是否

24、为0,结合二次函数的判别式即可得到所求值;(3)由题意可得m0,x0,f(x)递减,由题意可得m+10(m+)对任意t,恒成立,整理可得9mt2+18(m+1)t40对任意t,恒成立,运用二次函数的单调性,解不等式即可得到所求范围【解答】解:(1)m1时,f(x)lg(1+),故不等式即为lg(1+)1,故1+10,解得:0x,故不等式的解集是(0,);(2)g(x)lg(m+)+lgx2lg(mx2+2x),由g(x)0,可得mx2+2x1有且只有一个解,当m0时,x成立;当m0时,4+4m0,即m1,x1成立综上可得m0或1;(3)当x0,设um+,可得函数u在x0递减,由m0,可得u0,ylgu递增,即f(x)在(0,+)递减,任取x1,x2t,t+2,若不等式|f(x1)f(x2)|1对任意t,恒成立,可得f(t)f(t+2)lg(m+)lg(m+)1对任意t,恒成立,即m+10(m+)对任意t,恒成立,整理可得9mt2+18(m+1)t40对任意t,恒成立,由m0可得y9mt2+18(m+1)t4在t,递增,可得当t时,y的最小值为9m+18(m+1)40,解得m【点评】本题考查函数的零点个数问题,注意运用分类讨论思想和方程思想,考查不等式恒成立问题解法,注意运用复合函数的单调性,以及转化思想,考查化简运算能力和推理能力