1、 2020年高考文科数学数列题型归纳与训练【题型归纳】题型一 等差数列的基本运算例1（1）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则前6项的和为（ ）A24 B3 C3 D8（2）设为等差数列，公差,为其前项和，若，则（ ） A18 B20 C22 D24（3）设等差数列的前项和为，2，0，3，则（ ）A3 B4 C5 D6（4）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则=_【答案】 (1) (2) (3) （4）【解析】（1）设的公差为（），由，得，所以，选（2）由，得，（3）有题意知=，=（）=，= ，公差=1，3=，故选.（4）设的公差为，由及，得，所以又，所以，即【易错点】等差数列求
2、和公式易记错【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法（1）等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法题型二 等差数列的判定与证明例1 在数列中，若，已知，则数列前项的和为_.【答案】【解析】由已知可得，例2 已知数列满足 （1） 证明数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.【答案】见解析【解析】（1），所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，所以.例3 若数列的前项和为，且满足，.（1）求证：成等差数列；（2
3、）求数列的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）证明当时，由，得，所以，故是首项为，公差为的等差数列.（2） 解由(1)可得，.当时，不适合上式. 当时，.故【易错点】忘记写：当时或者不知道使用：【思维点拨】等差数列的证明方法：（1）定义法：或为等差数列.（2）等差中项法：为等差数列.（3）通项法：为常数为等差数列.（4）前项和法：为常数为等差数列.题型三 等差数列前项和及其最值例1 （1）等差数列的前项和为，已知，当最大时，的值是()A.5 B.6 C.7 D.8（2）若等差数列满足，则当_时的前项和最大【答案】(1)C (2)【解析】（1）由，根据等差数列的性质，可得.根据首项等于可推知这
4、个数列递减，从而得到，故时最大.（2）数列是等差数列，且，又，当时，其前项和最大【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。【思维点拨】求等差数列前项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前项和 (为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.题型四 等比数列的基本运算例1（1）等比数列满足，则=（ ）A21 B42 C63 D84（2）等比数列的前项和为，已知，则=（ ）A B C D（3）已知数列为等比数列，是是它的前项和,若，且与2的等差中项为，则（ ）A35 B33 C
5、3l D29（4）设为等比数列的前n项和，则（ ）A11 B8 C5 D11【答案】 (1) (2) (3) （4）【解析】（1）由于，所以，所以(舍去)，所以，所以（2）设等比数列的公比为，即，由，即，（3）设的公比为，则由等比数列的性质知，即由与的等差中项为知，即，（4）通过，设公比为，将该式转化为，解得=2，所以【易错点】等比数列求和公式易记错【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法（1）等比数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未
6、知是常用方法题型五 等比数列的判定与证明例1 已知数列满足=1，证明是等比数列，并求的通项公式；【答案】 见解析【解析】由得又，所以是首项为，公比为的等比数列，因此的通项公式为【易错点】等比数列的定义证明方法【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法：（1）定义法：（常数）或（常数）为等比数列.（2）等比中项法：为等比数列.（3）通项法：为等比数列.题型六 等差数列等比数列求前项和例1 在等比数列中，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】 见解析【解析】（1）设的公比为，依题意得，解得，因此，.（2）因为，数列的前项和.例2 已知等差数列和等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）求和：
7、.【答案】见解析【解析】（1）设的公差为，由，得，所以.（2）由（1）知.设的公比为，由，得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.【易错点】等比数列求和时项数的确定【思维点拨】（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.（2）通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.题型七 分组转化法求和例1 在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值【答案】见解析【解析】（1）设等差数列的公差为由已知得，解得所以（2）由（1）可得，所以.【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错【思维点拨】若数列的通项公式为，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列的
8、前项和.题型八 裂项相消法求和例1 已知等差数列满足：，的前n项和为（1）求及；（2）令，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】略【易错点】裂项时易出错，解不等式时也易出错【思维点拨】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【巩固训练】题型一 等差数列的基本运算1. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）A B C D【答案】【解析】设等差数列的公差为，故选B2. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）
9、A110 B90 C90 D110【答案】【解析】【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，故，所以题型二 等比数列的基本运算1. 已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则A35 B33 C3l D29【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，即由与2的等差中项为知，即，2. 等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则= 【答案】【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以3. 已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 【答案】【解析】由题意，解得或，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和题型三 等差（比）数列
10、的判定与证明1. 已知数列中，设，求证：数列是等差数列【答案】见解析【解析】证明：，是首项为，公差为的等差数列题型四 等差数列前项的最值1.记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】见解析【解析】(1)设的公差为，由题意得由得所以的通项公式为(2)由(1)得所以当时，取得最小值，最小值为2.若等差数列满足，则当_时的前项和最大【答案】【解析】数列是等差数列，且，又，当时，其前项和最大3. 在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_【答案】【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得题型五 数列的求和1.已知是等差数列，满足，数列
11、满足，且为等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1） （2）2.已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.（1）求通项及；（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.【答案】（1） （2） 3.等差数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足且，求的前项和.【答案】（1） （2）4.数列满足，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）略 （2）5.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为q已知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和 【答案】见解析【解析】（1）由题意有，即解得或故或（2）由，知，故，于是， . -可得，故. 13