2020年高考文科数学《数列》题型归纳与训练

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资源描述

1、 2020年高考文科数学数列题型归纳与训练【题型归纳】题型一 等差数列的基本运算例1(1)等差数列的首项为1,公差不为0若,成等比数列,则前6项的和为( )A24 B3 C3 D8(2)设为等差数列,公差,为其前项和,若,则( ) A18 B20 C22 D24(3)设等差数列的前项和为,2,0,3,则( )A3 B4 C5 D6(4)等差数列前9项的和等于前4项的和若,则=_【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】(1)设的公差为(),由,得,所以,选(2)由,得,(3)有题意知=,=()=,= ,公差=1,3=,故选.(4)设的公差为,由及,得,所以又,所以,即【易错点】等差数列求

2、和公式易记错【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而和是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法题型二 等差数列的判定与证明例1 在数列中,若,已知,则数列前项的和为_.【答案】【解析】由已知可得,例2 已知数列满足 (1) 证明数列为等差数列;(2)求数列的通项公式.【答案】见解析【解析】(1),所以数列是首项为,公差为的等差数列. (2)由(1)知,所以.例3 若数列的前项和为,且满足,.(1)求证:成等差数列;(2

3、)求数列的通项公式.【答案】见解析【解析】(1)证明当时,由,得,所以,故是首项为,公差为的等差数列.(2) 解由(1)可得,.当时,不适合上式. 当时,.故【易错点】忘记写:当时或者不知道使用:【思维点拨】等差数列的证明方法:(1)定义法:或为等差数列.(2)等差中项法:为等差数列.(3)通项法:为常数为等差数列.(4)前项和法:为常数为等差数列.题型三 等差数列前项和及其最值例1 (1)等差数列的前项和为,已知,当最大时,的值是()A.5 B.6 C.7 D.8(2)若等差数列满足,则当_时的前项和最大【答案】(1)C (2)【解析】(1)由,根据等差数列的性质,可得.根据首项等于可推知这

4、个数列递减,从而得到,故时最大.(2)数列是等差数列,且,又,当时,其前项和最大【易错点】求最值的时候计算出错,以及去掉绝对值求和时也易出错。【思维点拨】求等差数列前项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前项和 (为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.题型四 等比数列的基本运算例1(1)等比数列满足,则=( )A21 B42 C63 D84(2)等比数列的前项和为,已知,则=( )A B C D(3)已知数列为等比数列,是是它的前项和,若,且与2的等差中项为,则( )A35 B33 C

5、3l D29(4)设为等比数列的前n项和,则( )A11 B8 C5 D11【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】(1)由于,所以,所以(舍去),所以,所以(2)设等比数列的公比为,即,由,即,(3)设的公比为,则由等比数列的性质知,即由与的等差中项为知,即,(4)通过,设公比为,将该式转化为,解得=2,所以【易错点】等比数列求和公式易记错【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法(1)等比数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而和是等比数列的两个基本量,用它们表示已知和未

6、知是常用方法题型五 等比数列的判定与证明例1 已知数列满足=1,证明是等比数列,并求的通项公式;【答案】 见解析【解析】由得又,所以是首项为,公比为的等比数列,因此的通项公式为【易错点】等比数列的定义证明方法【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法:(1)定义法:(常数)或(常数)为等比数列.(2)等比中项法:为等比数列.(3)通项法:为等比数列.题型六 等差数列等比数列求前项和例1 在等比数列中,.(1)求;(2)设,求数列的前项和.【答案】 见解析【解析】(1)设的公比为,依题意得,解得,因此,.(2)因为,数列的前项和.例2 已知等差数列和等比数列满足,(1)求的通项公式;(2)求和:

7、.【答案】见解析【解析】(1)设的公差为,由,得,所以.(2)由(1)知.设的公比为,由,得,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以.【易错点】等比数列求和时项数的确定【思维点拨】(1)数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项.(2)通过对通项变形,转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.题型七 分组转化法求和例1 在等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)设,求的值【答案】见解析【解析】(1)设等差数列的公差为由已知得,解得所以(2)由(1)可得,所以.【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错【思维点拨】若数列的通项公式为,且,为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列的

8、前项和.题型八 裂项相消法求和例1 已知等差数列满足:,的前n项和为(1)求及;(2)令,求数列的前项和【答案】(1) (2)【解析】略【易错点】裂项时易出错,解不等式时也易出错【思维点拨】(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【巩固训练】题型一 等差数列的基本运算1. 记为等差数列的前项和,若,则( )A B C D【答案】【解析】设等差数列的公差为,故选B2. 已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为的前项和,则的值为( )

9、A110 B90 C90 D110【答案】【解析】【解析】因为是与的等比中项,所以,又数列的公差为,所以,解得,故,所以题型二 等比数列的基本运算1. 已知数列为等比数列,是是它的前n项和,若,且与2的等差中项为,则A35 B33 C3l D29【答案】【解析】设的公比为,则由等比数列的性质知,即由与2的等差中项为知,即,2. 等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= 【答案】【解析】设的公比为,由题意,由,所以,由,得,所以3. 已知数列是递增的等比数列,则数列的前项和等于 【答案】【解析】由题意,解得或,而数列是递增的等比数列,所以,即,所以,因而数列的前项和题型三 等差(比)数列

10、的判定与证明1. 已知数列中,设,求证:数列是等差数列【答案】见解析【解析】证明:,是首项为,公差为的等差数列题型四 等差数列前项的最值1.记为等差数列的前项和,已知,(1)求的通项公式;(2)求,并求的最小值【答案】见解析【解析】(1)设的公差为,由题意得由得所以的通项公式为(2)由(1)得所以当时,取得最小值,最小值为2.若等差数列满足,则当_时的前项和最大【答案】【解析】数列是等差数列,且,又,当时,其前项和最大3. 在等差数列中,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_【答案】【解析】由题意可知,当且仅当时取最大值,可得,解得题型五 数列的求和1.已知是等差数列,满足,数列

11、满足,且为等比数列(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1) (2)2.已知是首项为,公差为的等差数列,为的前项和.(1)求通项及;(2)设是首项为,公比为的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.【答案】(1) (2) 3.等差数列前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足且,求的前项和.【答案】(1) (2)4.数列满足,.(1)证明:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)略 (2)5.设等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为q已知,(1)求数列,的通项公式;(2)当时,记,求数列的前项和 【答案】见解析【解析】(1)由题意有,即解得或故或(2)由,知,故,于是, . -可得,故. 13

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