1、专题03 函数一、选择题1（2019山东临沂）下列关于一次函数ykx+b（k0，b0）的说法，错误的是（）A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小C图象与y轴交于点（0，b） D当x时，y0【答案】D【解析】解：ykx+b（k0，b0），图象经过第一、二、四象限，A正确；k0，y随x的增大而减小，B正确；令x0时，yb，图象与y轴的交点为（0，b），C正确；令y0时，x，当x时，y0；D不正确；故选：D2（2019山东枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达
2、式是（）Ayx+4Byx+4Cyx+8Dyx+8【答案】A【解析】解：如图，过P点分别作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，设P点坐标为（x，y），P点在第一象限，PDy，PEx，矩形PDOE的周长为8，2（x+y）8，x+y4，即该直线的函数表达式是yx+4，故选：A3（2019山东聊城）某快递公司每天上午9：0010：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来搅收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A9：15 B9：20 C9：25 D9：30【答案】B【解析】解：设甲仓库的快件数量y
3、（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1k1x+40，根据题意得60k1+40400，解得k16，y16x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2k2x+240，根据题意得60k2+2400，解得k24，y24x+240，联立，解得，此刻的时间为9：20故选：B4（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90，CAx轴，点C在函数（x0）的图象上，若AB1，则k的值为（）A1BCD2【答案】A【解析】解：等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90，CAx轴，AB
4、1，BACBAO45，OAOB，AC，点C的坐标为（，），点C在函数（x0）的图象上，k1，故选：A5（2019山东青岛）已知反比例函数y的图象如图所示，则二次函数yax22x和一次函数ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】C【解析】解：当x0时，yax22x0，即抛物线yax22x经过原点，故A错误；反比例函数y的图象在第一、三象限，ab0，即a、b同号，当a0时，抛物线yax22x的对称轴x0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a0时，b0，直线ybx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确故选：C6（2019山东德州）若函数与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则
5、函数y=kx+b的大致图象为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k0，根据二次函数的图象确知a0，b0，函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C7（2019山东济宁）将抛物线yx26x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）Ay（x4）26By（x1）23Cy（x2）22Dy（x4）22【答案】D【解析】解：yx26x+5（x3）24，即抛物线的顶点坐标为（3，4），把点（3，4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，2），所以平移后得到的抛物线解析式为y（x4）22
6、故选：D8（2019山东济宁）如图，点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将ABC绕点B逆时针旋转90后得到ABC若反比例函数y的图象恰好经过AB的中点D，则k的值是（ ）A9B12C15D18【答案】C【解析】解：如图，作AHy轴于HAOBAHBABA90，ABO+ABH90，ABO+BAO90，BAOABH，BABA，AOBBHA（AAS），OABH，OBAH，点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（0，6），OA2，OB6，BHOA2，AHOB6，OH4，A（6，4），BDAD，D（3，5），反比例函数y的图象经过点D，k15故选：C9（2019山东临沂）从地面竖
7、直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是40m；小球抛出3秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时速度为0；小球的高度h30m时，t1.5s其中正确的是（）ABCD【答案】D【解析】解：由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故错误；小球抛出3秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故正确；设函数解析式为：ha（t3）2+40，把O（0，0）代入得0a（03）2+40，解得a，函数解析式为h（t3）2+40，把h30代入解析式得，30（t3）2+40，解得：t4.5或t1.5，小球的高度h3
8、0m时，t1.5s或4.5s，故错误；故选：D10（2019山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数（x0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C若菱形OABC的面积为12，则k的值为（）A6B5C4D3【答案】C【解析】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），则，点D的坐标为（），解得，k4，故选：C11（2019山东德州）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使0成立的是（）A.（x0）B.（x0）C. （x0）D. （x0）【答案】D【解析】解：A、k=30，y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有
9、y1y2当x0时，0，故A选项不符合；B、对称轴为直线x=1，当0x1时y随x的增大而增大，当x1时y随x的增大而减小，当0x1时：当x1x2时，必有y1y2此时0，故B选项不符合；C、当x0时，y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有y1y2此时0，故C选项不符合；D、对称轴为直线x=2，当x0时y随x的增大而减小，即当x1x2时，必有y1y2此时0，故D选项符合；故选：D12（2019山东聊城）如图，在RtABO中，OBA90，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A（2，2）B（，）C（，
10、）D（3，3）【答案】C【解析】解：在RtABO中，OBA90，A（4，4），ABOB4，AOB45，点D为OB的中点，BC3，ODBD2，D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为yx，设直线EC的解析式为ykx+b，解得：，直线EC的解析式为yx+2，解得，P（，），故选：C13（2019山东潍坊）抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1若关于x的一元二次方程x2+bx+3t0（t为实数）在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A2t11Bt2C6t11D2t6【答案】D【解析】解：y
11、x2+bx+3的对称轴为直线x1，b2，yx22x+3，一元二次方程x2+bx+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点，方程在1x4的范围内有实数根，当x1时，y6；当x4时，y11；函数yx22x+3在x1时有最小值2；2t6；故选：D二、填空题14（2019山东潍坊）当直线y（22k）x+k3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 【答案】1k3 【解析】解：y（22k）x+k3经过第二、三、四象限，22k0，k30，k1，k3，1k3；故答案为1k315（2019山东泰安）若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，则关于x的方程x2+bx52x13的解为 【答案】x1
12、2，x24 【解析】解：二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，得b4，则x2+bx52x13可化为：x24x52x13，解得，x12，x24故意答案为：x12，x2416（2019山东威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数（k0）的图象上运动，且始终保持线段AB4的长度不变M为线段AB的中点，连接OM则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）【答案】【解析】解：如图，当OMAB时，线段OM长度的最小，M为线段AB的中点，OAOB，点A，B在反比例函数（k0）的图象上，点A与点B关于直线yx对称，AB4，可以假设A（m，），则B（m+4，4），4，解得km2+4m，A（m
13、，m+4），B（m+4，m），M（m+2，m+2），OM，OM的最小值为故答案为17（2019山东潍坊）如图，RtAOB中，AOB90，顶点A，B分别在反比例函数（x0）与（x0）的图象上，则tanBAO的值为 【答案】【解析】解：过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDOACO90，顶点A，B分别在反比例函数（x0）与（x0）的图象上，SBDO，SAOC，AOB90，BOD+DBOBOD+AOC90，DBOAOC，BDOOCA，tanBAO，故答案为：18（2019山东济宁）如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是 【答
14、案】x3或x1【解析】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，m+np，3m+nq，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P（1，p），Q（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2+bx+c的下方，不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为：x3或x119（2019山东潍坊）如图，直线yx+1与抛物线yx24x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当PAB的周长最小时，SPAB 【答案】【解析】解：，解得，或，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），AB，作点A关于y轴的对称点A，连接AB与y轴的交于
15、P，则此时PAB的周长最小，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），设直线AB的函数解析式为ykx+b，得，直线AB的函数解析式为y，当x0时，y，即点P的坐标为（0，），将x0代入直线yx+1中，得y1，直线yx+1与y轴的夹角是45，点P到直线AB的距离是：（1）sin45，PAB的面积是：，故答案为：20（2019山东德州）如图，点A1、A3、A5在反比例函数（x0）的图象上，点A2、A4、A6在反比例函数（x0）的图象上，OA1A2=A1A2A3=A2A3A4=60，且OA1=2，则An（n为正整数）的纵坐标为 （用含n的式子表示） 【答案】（-1）n+1【解析】解：如图，过A
16、1作A1D1x轴于D1，OA1=2，OA1A2=60，OA1E是等边三角形，A1（1，），k=，y=和y=，过A2作A2D2x轴于D2，A2EF=A1A2A3=60，A2EF是等边三角形，设A2（x，），则A2D2=，RtEA2D2中，EA2D2=30，ED2=，OD2=2+=x，解得：x1=1-（舍），x2=1+，EF=2（-1）=2-2，A2D2=，即A2的纵坐标为；过A3作A3D3x轴于D3，同理得：A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3=，RtFA3D3中，FA3D3=30，FD3=，OD3=，解得：x1=（舍），x2=；GF=，A3D3=，即A3的纵坐标为；An（n为正整数
17、）的纵坐标为：（-1）n+1故答案为：（-1）n+1三、解答题21（2019山东菏泽）如图，平行四边形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），ADx轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是4，平行四边形ABCD的面积是24反比例函数的图象经过点B和D，求：（1）反比例函数的表达式；（2）AB所在直线的函数表达式【答案】（1）y；（2）y3x+2【解析】解：（1）顶点A的坐标是（0，2），顶点C的纵坐标是4，AE6，又平行四边形ABCD的面积是24，ADBC4，则D（4，2）k428，反比例函数解析式为y；（2）由题意知B的纵坐标为4，其横坐标为2，则B（2，4），设AB所在直线解析式为ykx+b，
18、将A（0，2）、B（2，4）代入，得：，解得：k=3，b=2，所以AB所在直线解析式为y3x+222（2019山东济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围【答案】（1）小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；（2）y30x30（1x1.5）【解析】解：（1）由图可得，小王的速度为：30310km/h，小李的速度为：
19、（30101）120km/h，答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30201.5h，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：101.515km，点C的坐标为（1.5，15），设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为ykx+b，得，即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y30x30（1x1.5）23（2019山东德州）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/（元/min）A30250.1B50500.1C100不限时（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数
20、，请分别求出这三个函数解析式（2）填空：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为_；若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为_；若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为_；（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间【答案】（1）y1=，y2=，y3=100（x0）；（2）0x，x， x；（3）55小时【解析】解：（1）0.1元/min=6元/h，由题意可得，y1=，y2=，y3=100（x0）；（2）作出函数图象如图：结合图象可得：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为：0x，若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为
21、：x，若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为：x故答案为：0x，x， x（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y=80分别代入y2=，可得6x-250=80，解得：x=55，小王该月的通话时间为55小时24（2019山东聊城）如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y（x0）图象的两个交点，ACx轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC（1）求直线AB的表达式；（2）ABC和ABD的面积分别为S1，S2求S2S1【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由点A（，4），B（3
22、，m）在反比例函数y（x0）图象上，得n6，反比例函数的解析式为y（x0）将点B（3，m）代入y（x0）得m2B（3，2），设直线AB的表达式为ykx+b，解得直线AB的表达式为；（2）由点A、B坐标得AC4，点B到AC的距离为3，S143，设AB与y轴的交点为E，可得E（0，6），如图：DE615由点A（，4），B（3，2）知点A，B到DE的距离分别为，3S2SBDESACD535S2S1325（2019山东临沂）汛期到来，山洪暴发下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水 x/h02468101
23、214161820y/m141516171814.41210.3987.2（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m【答案】（1）见解析；（2）开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：yx+14 （0x8）和 （x8）；（3）24h水位达到6m【解析】解：（1）在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示（2）观察图象当0x8时，y与x可能是一次函数关系：设ykx+b，把（0，14），（8，18）代入得，解得：k，
24、b14，y与x的关系式为：yx+14，经验证（2，15），（4，16），（6，17）都满足yx+14，因此放水前y与x的关系式为：yx+14 （0x8）；观察图象当x8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8181010.41212169188144因此放水后y与x的关系最符合反比例函数，关系式为：（x8）所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：yx+14 （0x8）和 （x8） （3）当y6时，6，解得：x24，因此预计24h水位达到6m26（2019山东威海）在画二次函数yax2+bx+c（a0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下x10123y甲63236乙写错
25、了常数项，列表如下：x10123y乙212714通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数yax2+bx+c（a0）的表达式；（2）对于二次函数yax2+bx+c（a0），当x 时，y的值随x的值增大而增大；（3）若关于x的方程ax2+bx+ck（a0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围【答案】（1）y3x2+2x+3；（2）；（3）k【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c3，由乙同学提供的数据选x1，y2；x1，y2，有，y3x2+2x+3；（2）y3x2+2x+3的对称轴为直线x，抛物线开口向下，当x时，y的值随x的值增大而增大；故答案为；（3）方程ax2+bx+ck（a0）有两个不
26、相等的实数根，即3x2+2x+3k0有两个不相等的实数根，4+12（3k）0，k27（2019山东威海）（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y的图象上，连接AB，取线段AB的中点C分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y的图象于点D点E，F，G的横坐标分别为n1，n，n+1（n1）小红通过观察反比例函数y的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG2CF，CFDF由此得出一个关于，之间数量关系的命题：若n1，则 （2）证明命题小东认为：可以通过“若ab0，则ab”的思路证明上述命题小晴认为：可以通过“若a0，b0，且ab1，则ab”的思路证明上述命题请你选择一种方
27、法证明（1）中的命题【答案】（1）+；（2）见解析【解析】解：（1）AE+BG2CF，CFDF，AE，BG，DF，+故答案为：+（2）方法一：+，n1，n（n1）（n+1）0，+0，+方法二：1，+28（2019山东济宁）阅读下面的材料：如果函数yf（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是减函数例题：证明函数f（x）（x0）是减函数证明：设0x1x2，f（x1）f（x2）0x1x2，x2x10，x1x200即f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）函数f（
28、x）（x0）是减函数根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）（x0），f（1）+（1）0，f（2）+（2），（1）计算：f（3） ，f（4） ；（2）猜想：函数f（x）（x0）是 函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想【答案】（1），；（2）增；（3）见解析【解析】解：（1）f（x）（x0），f（3）3，f（4）4故答案为：，（2）43，f（4）f（3）函数f（x）（x0）是增函数故答案为：增（3）设x1x20，f（x1）f（x2）x1x20，x1x20，x1+x20，f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）函数f（x）（x0）是增函数.29（2019山东泰安）已知一次
29、函数ykx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OBAB，且SOAB（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标【答案】（1）y，yx；（2）P（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）【解析】解：（1）如图1，过点A作ADx轴于D，B（5，0），OB5，SOAB，5AD，AD3，OBAB，AB5，在RtADB中，BD4，ODOB+BD9，A（9，3），将点A坐标代入反比例函数中得，m9327，反比例函数的解析式为y，将点A（9，3），B（5，0）代入直线ykx+b中，k=，b=，直线AB的解析式为yx；（2
30、）由（1）知，AB5，ABP是等腰三角形，当ABPB时，PB5，P（0，0）或（10，0），当ABAP时，如图2，由（1）知，BD4，易知，点P与点B关于AD对称，DPBD4，OP5+4+413，P（13，0），当PBAP时，设P（a，0），A（9，3），B（5，0），AP2（9a）2+9，BP2（5a）2，（9a）2+9（5a）2a，P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0） 30（2019山东青岛）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求该商品每天的
31、销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）y2x+160；（2）故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）20【解析】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：ykx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y2x+160；（2）由题意得：w（x30）（2x+160）2（x55）2+12
32、50，20，故当x55时，w随x的增大而增大，而30x50，当x50时，w由最大值，此时，w1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x30）（2x+160）800，解得：x70，每天的销售量y2x+16020，每天的销售量最少应为20件31（2019山东潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店
33、从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【答案】（1）这种水果今年每千克的平均批发价是24元；（2）每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元【解析】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（120%）12万元整理得x219x1200解得x24或x5（不合
34、题意，舍去）故这种水果今年每千克的平均批发价是24元（2）设每千克的平均售价为m元，依题意，由（1）知平均批发价为24元，则有：w（m24）（180+300）60m2+4200m66240整理得w60（m35）2+7260a600，抛物线开口向下，当m35元时，w取最大值即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元32（2019山东滨州）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最
35、大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【答案】（1）yx+4；（2）点P的坐标是（6，），最大距离是；以求得sinPAD的值【解析】解：（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），当y0时，解得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t，），则点N的坐标为（t，t+4），
36、PN（）（t+4），PNx轴，PNy轴，OADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH，当t6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；当点P到直线AD的距离为时，如右图所示，则，解得，t12，t210，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，），当P1的坐标为（2，），则P1A，sinP1AD；当P2的坐标为（10，），则P2A，sinP2AD；由上可得，sinPAD的值是或 33（2019山东菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点
37、P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PEOD，求PBE的面积（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+x2；（2）；（3）存在，M（，）【解析】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x1，则点B（4，0），则设函数的表达式为：ya（x2）（x+4）a（x2+2x8），即：8a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ym
38、x+n并解得：直线BC的表达式为：yx2，则tanABC，则sinABC，设点D（x，0），则点P（x，x2+x2），点E（x，x2），PEOD，PE（x2+x2x+2）（x），解得：x0或5（舍去x0），即点D（5，0）SPBEPEBD（x2+x2x+2）（4x）；（3）由题意得：BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BDBM的情况，即BD1BM，则yMBMsinABC1，则xM，故点M（，）34（2019山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴
39、正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得PEA和AOC相似的点P的坐标；（3）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值【答案】（1 yx2+2x+8；（2）点P（）；（3）【解析】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：a= -1，b=2，c=8，故抛物线的表达式为：yx2+2x+8；（2）点A（2，0）、C（0，8），OA2，OC8，lx轴，PEAAOC90，PAECAO，只有当PEAAOC时，PEAAOC，此时，即：，AE4PE，设点P的纵坐标为k，则PEk，AE4k，OE4k2，将点P坐标（4k2，k）代入二次函数表达式并解得：k0或（舍去0），则点P（）；（3）在RtPFD中，PFDCOB90，ly轴，PDFCOB，RtPFDRtBOC，SPDFSBOC，而SBOCOBOC48=16，BC，SPDFSBOCPD2，即当PD取得最大值时，SPDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y2x+8，设点P（m，m2+2m+8），则点D（m，2m+8），则PDm2+2m+8+2m8（m2）2+4，当m2时，PD的最大值为4，故当PD4时，SPDFPD235