1、专题13 图形的变化之解答题参考答案与试题解析一解答题（共9小题）1（2019宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形【点睛】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题
2、关键2（2019绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长【答案】解：（1）AMAD+DM40，或AMADDM20显然MAD不能为直角当AMD为直角时，AM2AD2DM2302102800，AM20或（20舍弃）当ADM9
3、0时，AM2AD2+DM2302+1021000，AM10或（10舍弃）综上所述，满足条件的AM的值为20或10（2）如图2中，连接CD由题意：D1AD290，AD1AD230，AD2D145，D1D230，AD2C135，CD2D190，CD130，BACA1AD290，BACCAD2D2AD1CAD2，BAD1CAD2，ABAC，AD2AD1，BAD2CAD1（SAS），BD2CD130【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型3（2019金华）如图，在等腰RtA
4、BC中，ACB90，AB14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF（1）如图1，若ADBD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O求证：BD2DO（2）已知点G为AF的中点如图2，若ADBD，CE2，求DG的长若AD6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由【答案】（1）证明：如图1中，CACB，ACB90，BDAD，CDAB，CDADBD，CDCF，ADCF，ADCDCF90，ADCF，四边形ADFC是平行四边形，ODOC，BD2OD（2）解：如图2中，作DTBC于点T，FHBC于H由题意：BDADCD7，BCB
5、D14，DTBC，BTTC7，EC2，TE5，DTEEHFDEF90，DET+TDE90，DET+FEH90，TDEFEH，EDEF，DTEEHF（AAS），FHET5，DDBEDFE45，B，D，E，F四点共圆，DBF+DEF90，DBF90，DBE45，FBH45，BHF90，HBFHFB45，BHFH5，BF5，ADCABF90，DGBF，ADDB，AGGF，DGBF解：如图31中，当DEG90时，F，E，G，A共线，作DTBC于点T，FHBC于H设ECxAD6BD，BDAB2，DTBC，DBT45，DTBT2，DTEEHF，EHDT2，BHFH12x，FHAC，整理得：x212x+28
6、0，解得x62如图32中，当EDG90时，取AB的中点O，连接OG作EHAB于H设ECx，由2可知BF（12x），OGBF（12x），EHDEDGDOG90，ODG+OGD90，ODG+EDH90，DGOHDE，EHDDOG，整理得：x236x+2680，解得x182或18+2（舍弃），如图33中，当DGE90时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DTBC于T，FHBC于H，EKCG于K设ECxDBEDFE45，D，B，F，E四点共圆，DBF+DEF90，DEF90，DBF90，AOOB，AGGF，OGBF，AOGABF90，OGAB，OG垂直平分线段AB，CACB，O，G，C共线，由DTEE
7、HF，可得EHDTBT2，ETFH12x，BF（12x），OGBF（12x），CKEKx，GK7（12x）x，由OGDKEG，可得，解得x2，综上所述，满足条件的EC的值为62或182或2【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题4（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，ABa，BCb，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记kMN：EF（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k
8、的值（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，MPE60，MPEF3PE时，求a：b的值【答案】解：（1）如图1中，作EHBC于H，MQCD于Q，设EF交MN于点O四边形ABCD是正方形，FHAB，MQBC，ABCB，FHMQ，EFMN，EON90，ECN90，MNQ+CEO180，FEH+CEO180FEHMNQ，EHFMQN90，FHEMQN（ASA），MNEF，kMN：EF1（2）a：b1：2，b2a，由题意：2aMNa，aEFa，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为（3）连
9、接FN，MEk3，MPEF3PE，3，2，FPNEPM，PNFPME，2，MENF，设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m，如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合作FHBD于HMPEFPH60，PH2m，FH2m，DH10m，如图3中，当点N与C重合，作EHMN于H则PHm，HEm，HCPH+PC13m，tanHCE，MEFC，MEBFCBCFD，BD，MEBCFD，2，综上所述，a：b的值为或【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的
10、思想思考问题，属于中考压轴题5（2019台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，APFD（1）求的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EMEB，连接MF，求证：MFPF；（3）如图2，过点E作ENCD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQAP，连接BQ，BN将AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q落在边AD上请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN上，并说明理由【答案】解：（1）设APFDa，AF2a，四边形ABCD是正方形ABCDAFPDFC即a1APFD1，AFADDF3（2）在CD上截取DHAFAFDH，PAF
11、D90，APFD，PAFHDF（SAS）PFFH，ADCD，AFDHFDCHAP1点E是AB中点，BEAE1EMPEPA+AEEC2BE2+BC21+45，ECECPE，CM1PECPAPCDPPCDECPPCD，且CMCH1，CFCFFCMFCH（SAS）FMFHFMPF（3）若点B在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，ENAB，AEBEAQBQAP1由旋转的性质可得AQAQ1，ABAB2，QBQB1，点B（0，2），点N（2，1）直线BN解析式为：yx2设点B（x，x2）AB2x点B（，）点Q（1，0）BQ1点B旋转后的对应点B不落在线段BN上【点睛】本题是相
12、似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键6（2019衢州）如图，在RtABC中，C90，AC6，BAC60，AD平分BAC交BC于点D，过点D作DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G（1）求CD的长（2）若点M是线段AD的中点，求的值（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得CPG60？【答案】解：（1）AD平分BAC，BAC60，DACBAC30，在RtADC中，DCACtan3062（2）由题意易知：BC6，BD4，DEAC，FDMGA
13、M，AMDM，DMFAMG，DFMAGM（ASA），DFAG，DEAC，（3）CPG60，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，CQG是顶角为120的等腰三角形当Q与DE相切时，如图31中，作QHAC于H，交DE于P连接QC，QG菁优网设Q的半径为r则QHr，rr2，r，CG4，AG2，由DFMAGM，可得，DMAD当Q经过点E时，如图32中，延长CQ交AB于K，设CQrQCQG，CQG120，KCA30，CAB60，AKC90，在RtEQK中，QK3r，EQr，EK1，12+（3r）2r2，解得r，CG，由DFMAGM，可得DM当Q经过点D时，如图33中，此时点M，点G与点A重合，可得DMAD4观
14、察图象可知：当DM或DM4时，满足条件的点P只有一个【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题7（2019台州）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角ABC70，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75）【答案】解：过点A作ADBC于点D，延长AD交地面于点E，sinABD，AD920.9486.48，DE6，A
15、EAD+DE92.5，把手A离地面的高度为92.5cm【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型8（2019绍兴）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上（1）转动连杆BC，CD，使BCD成平角，ABC150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使BCD165，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：1.41，1.73）【答案】解：（1）如图2中，作BODE于OOEABOE
16、BAE90，四边形ABOE是矩形，OBA90，DBO1509060，ODBDsin6020（cm），DFOD+OEOD+AB20539.6（cm）（2）作DFl于F，CPDF于P，BGDF于G，CHBG于H则四边形PCHG是矩形，CBH60，CHB90，BCH30，BCD165，DCP45，CHBCsin6010（cm），DPCDsin4510（cm），DFDP+PG+GFDP+CH+AB（10105）（cm），下降高度：DEDF2051010510103.2（cm）【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题9（2019舟山）某挖掘机的底座高AB
17、0.8米，动臂BC1.2米，CD1.5米，BC与CD的固定夹角BCD140初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得CDE70（示意图2）工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角ABC的度数（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin500.77，cos500.64，sin700.94，cos700.34，1.73）【答案】解：（1）过点C作CGAM于点G，如图1，ABAM，DEAM，ABCGDE，DCG180CDE110
18、，BCGBCDGCD30，ABC180BCG150；（2）过点C作CPDE于点P，过点B作BQDE于点Q，交CG于点N，如图2，在RtCPD中，DPCPcos700.51（米），在RtBCN中，CNBCcos301.04（米），所以，DEDP+PQ+QEDP+CN+AB2.35（米），如图3，过点D作DHAM于点H，过点C作CKDH于点K，在RtCKD中，DKCDcos501.16（米），所以，DHDK+KH3.16（米），所以，DHDE0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形.