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2019年秋苏科版八年级上册《第2章轴对称》单元培优试卷含答案(PDF版)

1、轴对称培优卷 【轴对称的性质】 1如图,已知AOB30,点 P 在AOB 内部,点 P1与点 P 关于 OA 对称,点 P2与点 P 关于 OB 对称,连接 P1P2交 OA、OB 于 E、F,则EPF 2如图,AOB45,点 P 在AOB 内,且 OP8,点 P 关于直线 OA 的对称点 P1,点 P 关于直线 OB 的对称点 P2,连接 OP1、OP2、P1P2,则OP1P2的面积等于 3如图,点 P 是ACB 外的一点,点 D,E 分别是ACB 两边上的点,点 P 关于 CA 的对 称点 P1恰好落在线段 ED 上,P 点关于 CB 的对称点 P2落在 ED 的延长线上,若 PE 2.5

2、,PD3,ED4,则线段 P1P2的长为 4如图,由四个小正方形组成的田字格中,ABC 的顶点都是小正方形的顶点在田字格 上画与ABC 成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包 含ABC 本身)共有 个 5如图所示,在直角梯形 ABCD 中,ABC90,ADBC,AD6,AB7,BC8, 点 P 是 AB 上一个动点,则 PC+PD 的最小值为 6如图,等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边 上一点,若 AE2,EM+CM 的最小值为 7如图,在锐角三角形 ABC 中,AC6,ABC 的面积为 15,BAC 的平分

3、线交 BC 于点 D,M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 8如图所示,正方形 ABCD 的面积为 16,ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内, 在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小,则这个最小值为 9下面的方格图是由边长为 1 的 42 个小正方形拼成的,ABC 的顶点 A、B、C 均在小正 方形的顶点上 (1)作出ABC 关于直线 m 对称的ABC; (2)求ABC 的面积 【等腰三角形的分类讨论和格点作图】 1 (1) 如图所示, 线段 OD 的一个端点 O 在直线 AB 上, 以 OD 为一边的等腰三角形 ODP, 并且

4、使点 P 也在 AB 上,这样的等腰三角形能画 个(在图中作出点 P) (2)若DOB60,其它条件不变,则这样的等腰三角形能画 个, (只写出结 果) (3)若改变(2)中DOB 的度数,其他条件不变,则等腰三角形 ODP 的个数和(2) 中的结果相同,则改变后DOB 2利用网格线作图: (1)如图,在 BC 上找一点 O,使点 O 到 AB 和 AC 的距离相等; (2)在第(1)小题图中的射线 AO 上找一点 P,使 PBPC 【用定理解决几何证明题】 1如图,在 RtABC 中,ACB90,A65,CDAB,垂足为 D,E 是 BC 的中 点,连接 ED,则EDC 的度数是 2如图,在

5、ABC 中,ABAC,BC8,DEF 的周长是 10,AFBC 于 F,BEAC 于 E,且点 D 是 AB 的中点,则 AF 的长是 3已知,如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上的中线,DGCE 于 G,CDAE (1)求证:CGEG; (2)若 AB20,DG4,求 CE 的长 4已知:如图,在ABC 中,AD 平分BAC,CEAD 于点 E,EFAB 交 AC 于点 F求 证:FEC 是等腰三角形 5已知,在ABC 中,ACBC,分别过 A,B 点作互相平行的直线 AM、BN,过点 C 的直 线分别交直线 AM、BN 于点 D、E (1)如图 1,若 AM

6、AB,求证:CDCE; (2)如图 2,ABCDEB60,求证:AD+DCBE 6已知:ABC 和ADE 均为等腰直角三角形,ABCADE90,ABBC,AD DE,按图 1 放置,使点 E 在 BC 上,取 CE 的中点 F,连接 DF、BF (1)探索 DF、BF 的数量关系和位置关系,并证明; (2)将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 45,再连接 CE,取 CE 的中点 F(如图 2) , 问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论; (3)将图 1 中ADE 绕 A 点转动任意角度(旋转角在 0到 90之间) ,再连接 CE, 取 CE 的中点 F(如图 3) ,问(1)中的结

7、论是否仍然成立?证明你的结论 【参考答案】 【轴对称的性质】 1如图,已知AOB30,点 P 在AOB 内部,点 P1与点 P 关于 OA 对称,点 P2与点 P 关于 OB 对称,连接 P1P2交 OA、OB 于 E、F,则EPF 120 【解答】解:P1与 P 关于 OA 对称, OPOP1,EPEP1, AOPAOP1,EPP1EP1P P2与 P 关于 OB 对称, OPOP2,FPFP2, BOPBOP2,FPP2FP2P, AOB30, P1OP260, OPOP1,OPOP2, OP1OP2, OP1P2OP2P160, OPOP1,OPOP2, OP1POPP1,OP2POPP

8、2 OP1PEP1POP1PEPP1, OP2PFP2POPP2FPP2 EPOEP1O60,FPOFP2O60 又P1OP2AOP1+AOP+BOP+BOP2, EPFEPO+FPO 60+60 120 故答案为:120 2如图,AOB45,点 P 在AOB 内,且 OP8,点 P 关于直线 OA 的对称点 P1,点 P 关于直线 OB 的对称点 P2,连接 OP1、OP2、P1P2,则OP1P2的面积等于 32 【解答】解:如图, 点 P 关于 OA,OB 的对称点分别是 P1,P2, OP1OP8,OP2OP8, P1OP22AOB90, OP1P2的面积是:1 2OP1OP2= 1 2

9、 8832 故答案为:32 3如图,点 P 是ACB 外的一点,点 D,E 分别是ACB 两边上的点,点 P 关于 CA 的对 称点 P1恰好落在线段 ED 上,P 点关于 CB 的对称点 P2落在 ED 的延长线上,若 PE 2.5,PD3,ED4,则线段 P1P2的长为 4.5 【解答】解:点 P 关于 CA 的对称点 P1恰好落在线段 ED 上,P 点关于 CB 的对称点 P2落在 ED 的延长线上, PEEP1,PDDP2, PE2.5cm,PD3cm,DE4cm, P2D3cm,EP12.5cm, 即 DP1DEEP142.51.5(cm) , 则线段 P1P2的长为:P1D+DP2

10、1.5+34.5(cm) 故答案为 4.5 4如图,由四个小正方形组成的田字格中,ABC 的顶点都是小正方形的顶点在田字格 上画与ABC 成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包 含ABC 本身)共有 3 个 【解答】解:如图所示:符合题意的有 3 个三角形 故答案为:3 5如图所示,在直角梯形 ABCD 中,ABC90,ADBC,AD6,AB7,BC8, 点 P 是 AB 上一个动点,则 PC+PD 的最小值为 75 【解答】解:延长 CB 到 E,使 EBCB8,连接 DE 交 AB 于 P则 DE 就是 PC+PD 的 和的最小值 ADBE, APBE,ADPE,

11、 ADPBEP, AP:BPAD:BE6:83:4, PB= 4 3AP, AP+BPAB7, AP3,BP4, PD= 2+ 2= 45 =35,PE= 2+ 2 =45, DEPD+PE75, PC+PD 的最小值是 75, 故答案为:75 6如图,等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边 上一点,若 AE2,EM+CM 的最小值为 27 【解答】解:连接 BE,与 AD 交于点 M则 BE 就是 EM+CM 的最小值 取 CE 中点 F,连接 DF 等边ABC 的边长为 6,AE2, CEACAE624, CFEFAE2, 又AD 是

12、 BC 边上的中线, DF 是BCE 的中位线, BE2DF,BEDF, 又E 为 AF 的中点, M 为 AD 的中点, ME 是ADF 的中位线, DF2ME, BE2DF4ME, BMBEME4MEME3ME, BE= 4 3BM 在直角BDM 中,BD= 1 2BC3,DM= 1 2AD= 33 2 , BM= 2+ 2= 3 27, BE= 4 3 3 27 = 27 EM+CMBE EM+CM 的最小值为27 7如图,在锐角三角形 ABC 中,AC6,ABC 的面积为 15,BAC 的平分线交 BC 于点 D,M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 5

13、 【解答】解:如图,作 N 关于 AD 的对称点 N,连接 MN,作 BNAC 于 N交 AD 于 M BM+MNBM+MNBN, 当 M 与 M,N 与 N重合时,BN最小, 1 2 ACBN15,AC6, BN5, BM+MN 的最小值为 5, 故答案为:5 8如图所示,正方形 ABCD 的面积为 16,ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内, 在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小,则这个最小值为 4 【解答】解:连结 BP 四边形 ABCD 为正方形,面积为 16, 正方形的边长为 4 ABE 为等边三角形, BEAB4 四边形 ABCD 为正方形, AB

14、P 与ADP 关于 AC 对称 BPDP PE+PDPE+BP 由两点之间线段最短可知:当点 B、P、E 在一条直线上时,PE+PD 有最小值,最小值 BE4 故答案为:4 9下面的方格图是由边长为 1 的 42 个小正方形拼成的,ABC 的顶点 A、B、C 均在小正 方形的顶点上 (1)作出ABC 关于直线 m 对称的ABC; (2)求ABC 的面积 【解答】解: (1)如图,ABC为所作; (2)ABC 的面积33 1 2 13 1 2 21 1 2 233.5 【等腰三角形的分类讨论和格点作图】 1 (1) 如图所示, 线段 OD 的一个端点 O 在直线 AB 上, 以 OD 为一边的等

15、腰三角形 ODP, 并且使点 P 也在 AB 上,这样的等腰三角形能画 4 个(在图中作出点 P) (2) 若DOB60, 其它条件不变, 则这样的等腰三角形能画 2 个,(只写出结果) (3)若改变(2)中DOB 的度数,其他条件不变,则等腰三角形 ODP 的个数和(2) 中的结果相同,则改变后DOB 120或 90 【解答】解: (1)分三种情况讨论: 当 PDPO 时,作 OD 的垂直平分线,与 AB 的交点即为点 P; 当 DPDO 时,以 D 为圆心,DO 为半径画弧,交 AB 于两点(有一点与点 O 重合) ; 当 OPOD 时,以 O 为圆心,OD 为半径画弧,交 AB 于两点;

16、 综上所述:共有 4 个点;如图所示: 故答案为:4; (2)以 O 为圆心,OD 为半径画弧,交 AB 于两点; 故答案为:2; (3)当DOB90或DOB120时,以 O 为圆心,OD 为半径画弧,交 AB 于两 点; 故答案为:120或 90 2利用网格线作图: (1)如图,在 BC 上找一点 O,使点 O 到 AB 和 AC 的距离相等; (2)在第(1)小题图中的射线 AO 上找一点 P,使 PBPC 【解答】解: (1)如图,取点 D,作射线 AD 与 BC 的交点即为点 O (2)线段 BC 的垂直平分线与射线 AD 的交点即为点 P 【用定理解决几何证明题】 1如图,在 RtA

17、BC 中,ACB90,A65,CDAB,垂足为 D,E 是 BC 的中 点,连接 ED,则EDC 的度数是( ) A25 B30 C50 D65 【解答】解:ACB90,A65, B25, CDAB,E 是 BC 的中点, ED= 1 2BCEB, EDBB25, EDC902565, 2如图,在ABC 中,ABAC,BC8,DEF 的周长是 10,AFBC 于 F,BEAC 于 E,且点 D 是 AB 的中点,则 AF 的长是 25 【解答】解:ABAC,AFBC, AF 是ABC 的中线, D 是 AB 的中点, DF 是ABC 的中位线, 设 ABBC2x, DFx, BEAC,点 D

18、是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, DE= 1 2ABx,EF= 1 2BC4, DEF 的周长为 10, x+x+410, x3, AC6, 由勾股定理可知:AF25, 故答案为:25 三解答题(共三解答题(共 4 小题)小题) 3已知,如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上的中线,DGCE 于 G,CDAE (1)求证:CGEG; (2)若 AB20,DG4,求 CE 的长 【解答】 (1)证明:AD 是 BC 边上的高线, ADB90,又 AEEB, DEAE, CDAE, DEDC,又 DGCE, CGEG; (2)解:AB20, DE= 1 2

19、AB10, 由勾股定理得,EG= 2 2=221, CE2EG421 4已知:如图,在ABC 中,AD 平分BAC,CEAD 于点 E,EFAB 交 AC 于点 F求 证:FEC 是等腰三角形 【解答】证明:如图, AD 平分BAC, 12, EFAB, 13, 23, CEAD 于点 E, AEC90, 3+490, 2+590, 45, FEFC, FEC 是等腰三角形 5已知,在ABC 中,ACBC,分别过 A,B 点作互相平行的直线 AM、BN,过点 C 的直 线分别交直线 AM、BN 于点 D、E (1)如图 1,若 AMAB,求证:CDCE; (2)如图 2,ABCDEB60,求证

20、:AD+DCBE 【解答】证明: (1)如图 1,延长 AC 交 BN 于点 F, ACBC, CABCBA, 又ABAM, BAM90, 又AMBN, BAM+ABN180, ABN90, BAF+AFB90,ABC+CBF90, CBFAFB, BCCF, ACFC, 又AMBN, DAFAFB, 在ADC 和FEC 中, = = = , ADCFEC(ASA) , DCEC; (2)如图 2,在 EB 上截取 EHEC,连 CH, ACBC,ABC60, ABC 为等边三角形, DEB60, CHE 是等边三角形, CHE60,HCE60, BHC120, AMBN, ADC+BEC18

21、0, ADC120, DAC+DCA60, 又DCA+ACB+BCH+HCE180, DCA+BCH60, DACBCH, 在DAC 与HCB 中, = = = , DACHCB(AAS) , ADCH,DCBH, 又CHCEHE, BEBH+HEDC+AD 6已知:ABC 和ADE 均为等腰直角三角形,ABCADE90,ABBC,AD DE,按图 1 放置,使点 E 在 BC 上,取 CE 的中点 F,连接 DF、BF (1)探索 DF、BF 的数量关系和位置关系,并证明; (2)将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 45,再连接 CE,取 CE 的中点 F(如图 2) , 问(1)中的

22、结论是否仍然成立?证明你的结论; (3)将图 1 中ADE 绕 A 点转动任意角度(旋转角在 0到 90之间) ,再连接 CE, 取 CE 的中点 F(如图 3) ,问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论 【解答】解: (1)DFBF 且 DFBF (1 分) 证明:如图 1: ABCADE90,ABBC,ADDE, CDE90,AEDACB45, F 为 CE 的中点, DFEFCFBF, DFBF; (2 分) DFE2DCF,BFE2BCF, EFD+EFB2DCB90, 即:DFB90, DFBF (3 分) (2)仍然成立 证明:如图 2,延长 DF 交 BC 于点 G, ABC

23、ADE90, DEBC, DEFGCF, 又EFCF,DFEGFC, DEFGCF, DECG,DFFG, (4 分) ADDE,ABBC, ADCG, BDBG, (5 分) 又ABC90, DFBF 且 DFBF (6 分) (3)仍然成立证明:如图 3,延长 BF 至点 G,使 FGBF,连接 DB、DG、GE, 在EFG 与CFB 中, = = = , EFGCFB, EGCB,EGFCBF, EGCB, ABBC,ABCB, EGAB,EGAB, ADE90,EGAB, 又AEDDAE, DABDEG, 在DAB 和DEG 中, = = = DABDEG(SAS) , DGDB,ADBEDG, (7 分) BDGADE90, BGD 为等腰直角三角形, DFBF 且 DFBF (8 分)