1、轴对称培优卷 【轴对称的性质】 1如图，已知AOB30，点 P 在AOB 内部，点 P1与点 P 关于 OA 对称，点 P2与点 P 关于 OB 对称，连接 P1P2交 OA、OB 于 E、F，则EPF 2如图，AOB45，点 P 在AOB 内，且 OP8，点 P 关于直线 OA 的对称点 P1，点 P 关于直线 OB 的对称点 P2，连接 OP1、OP2、P1P2，则OP1P2的面积等于 3如图，点 P 是ACB 外的一点，点 D，E 分别是ACB 两边上的点，点 P 关于 CA 的对 称点 P1恰好落在线段 ED 上，P 点关于 CB 的对称点 P2落在 ED 的延长线上，若 PE 2.5
2、，PD3，ED4，则线段 P1P2的长为 4如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC 的顶点都是小正方形的顶点在田字格 上画与ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包 含ABC 本身）共有 个 5如图所示，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD6，AB7，BC8， 点 P 是 AB 上一个动点，则 PC+PD 的最小值为 6如图，等边ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边 上一点，若 AE2，EM+CM 的最小值为 7如图，在锐角三角形 ABC 中，AC6，ABC 的面积为 15，BAC 的平分
3、线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 8如图所示，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内， 在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 9下面的方格图是由边长为 1 的 42 个小正方形拼成的，ABC 的顶点 A、B、C 均在小正 方形的顶点上 （1）作出ABC 关于直线 m 对称的ABC； （2）求ABC 的面积 【等腰三角形的分类讨论和格点作图】 1 （1） 如图所示， 线段 OD 的一个端点 O 在直线 AB 上， 以 OD 为一边的等腰三角形 ODP， 并且
4、使点 P 也在 AB 上，这样的等腰三角形能画 个（在图中作出点 P） （2）若DOB60，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 个， （只写出结 果） （3）若改变（2）中DOB 的度数，其他条件不变，则等腰三角形 ODP 的个数和（2） 中的结果相同，则改变后DOB 2利用网格线作图： （1）如图，在 BC 上找一点 O，使点 O 到 AB 和 AC 的距离相等； （2）在第（1）小题图中的射线 AO 上找一点 P，使 PBPC 【用定理解决几何证明题】 1如图，在 RtABC 中，ACB90，A65，CDAB，垂足为 D，E 是 BC 的中 点，连接 ED，则EDC 的度数是 2如图，在
5、ABC 中，ABAC，BC8，DEF 的周长是 10，AFBC 于 F，BEAC 于 E，且点 D 是 AB 的中点，则 AF 的长是 3已知，如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高线，CE 是 AB 边上的中线，DGCE 于 G，CDAE （1）求证：CGEG； （2）若 AB20，DG4，求 CE 的长 4已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于点 E，EFAB 交 AC 于点 F求 证：FEC 是等腰三角形 5已知，在ABC 中，ACBC，分别过 A，B 点作互相平行的直线 AM、BN，过点 C 的直 线分别交直线 AM、BN 于点 D、E （1）如图 1，若 AM
6、AB，求证：CDCE； （2）如图 2，ABCDEB60，求证：AD+DCBE 6已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，ABCADE90，ABBC，AD DE，按图 1 放置，使点 E 在 BC 上，取 CE 的中点 F，连接 DF、BF （1）探索 DF、BF 的数量关系和位置关系，并证明； （2）将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 45，再连接 CE，取 CE 的中点 F（如图 2） ， 问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图 1 中ADE 绕 A 点转动任意角度（旋转角在 0到 90之间） ，再连接 CE， 取 CE 的中点 F（如图 3） ，问（1）中的结
7、论是否仍然成立？证明你的结论 【参考答案】 【轴对称的性质】 1如图，已知AOB30，点 P 在AOB 内部，点 P1与点 P 关于 OA 对称，点 P2与点 P 关于 OB 对称，连接 P1P2交 OA、OB 于 E、F，则EPF 120 【解答】解：P1与 P 关于 OA 对称， OPOP1，EPEP1， AOPAOP1，EPP1EP1P P2与 P 关于 OB 对称， OPOP2，FPFP2， BOPBOP2，FPP2FP2P， AOB30， P1OP260， OPOP1，OPOP2， OP1OP2， OP1P2OP2P160， OPOP1，OPOP2， OP1POPP1，OP2POPP
8、2 OP1PEP1POP1PEPP1， OP2PFP2POPP2FPP2 EPOEP1O60，FPOFP2O60 又P1OP2AOP1+AOP+BOP+BOP2， EPFEPO+FPO 60+60 120 故答案为：120 2如图，AOB45，点 P 在AOB 内，且 OP8，点 P 关于直线 OA 的对称点 P1，点 P 关于直线 OB 的对称点 P2，连接 OP1、OP2、P1P2，则OP1P2的面积等于 32 【解答】解：如图， 点 P 关于 OA，OB 的对称点分别是 P1，P2， OP1OP8，OP2OP8， P1OP22AOB90， OP1P2的面积是：1 2OP1OP2= 1 2
9、 8832 故答案为：32 3如图，点 P 是ACB 外的一点，点 D，E 分别是ACB 两边上的点，点 P 关于 CA 的对 称点 P1恰好落在线段 ED 上，P 点关于 CB 的对称点 P2落在 ED 的延长线上，若 PE 2.5，PD3，ED4，则线段 P1P2的长为 4.5 【解答】解：点 P 关于 CA 的对称点 P1恰好落在线段 ED 上，P 点关于 CB 的对称点 P2落在 ED 的延长线上， PEEP1，PDDP2， PE2.5cm，PD3cm，DE4cm， P2D3cm，EP12.5cm， 即 DP1DEEP142.51.5（cm） ， 则线段 P1P2的长为：P1D+DP2
10、1.5+34.5（cm） 故答案为 4.5 4如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC 的顶点都是小正方形的顶点在田字格 上画与ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包 含ABC 本身）共有 3 个 【解答】解：如图所示：符合题意的有 3 个三角形 故答案为：3 5如图所示，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD6，AB7，BC8， 点 P 是 AB 上一个动点，则 PC+PD 的最小值为 75 【解答】解：延长 CB 到 E，使 EBCB8，连接 DE 交 AB 于 P则 DE 就是 PC+PD 的 和的最小值 ADBE， APBE，ADPE，
11、 ADPBEP， AP：BPAD：BE6：83：4， PB= 4 3AP， AP+BPAB7， AP3，BP4， PD= 2+ 2= 45 =35，PE= 2+ 2 =45， DEPD+PE75， PC+PD 的最小值是 75， 故答案为：75 6如图，等边ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边 上一点，若 AE2，EM+CM 的最小值为 27 【解答】解：连接 BE，与 AD 交于点 M则 BE 就是 EM+CM 的最小值 取 CE 中点 F，连接 DF 等边ABC 的边长为 6，AE2， CEACAE624， CFEFAE2， 又AD 是
12、 BC 边上的中线， DF 是BCE 的中位线， BE2DF，BEDF， 又E 为 AF 的中点， M 为 AD 的中点， ME 是ADF 的中位线， DF2ME， BE2DF4ME， BMBEME4MEME3ME， BE= 4 3BM 在直角BDM 中，BD= 1 2BC3，DM= 1 2AD= 33 2 ， BM= 2+ 2= 3 27， BE= 4 3 3 27 = 27 EM+CMBE EM+CM 的最小值为27 7如图，在锐角三角形 ABC 中，AC6，ABC 的面积为 15，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5
13、 【解答】解：如图，作 N 关于 AD 的对称点 N，连接 MN，作 BNAC 于 N交 AD 于 M BM+MNBM+MNBN， 当 M 与 M，N 与 N重合时，BN最小， 1 2 ACBN15，AC6， BN5， BM+MN 的最小值为 5， 故答案为：5 8如图所示，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内， 在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 4 【解答】解：连结 BP 四边形 ABCD 为正方形，面积为 16， 正方形的边长为 4 ABE 为等边三角形， BEAB4 四边形 ABCD 为正方形， AB
14、P 与ADP 关于 AC 对称 BPDP PE+PDPE+BP 由两点之间线段最短可知：当点 B、P、E 在一条直线上时，PE+PD 有最小值，最小值 BE4 故答案为：4 9下面的方格图是由边长为 1 的 42 个小正方形拼成的，ABC 的顶点 A、B、C 均在小正 方形的顶点上 （1）作出ABC 关于直线 m 对称的ABC； （2）求ABC 的面积 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）ABC 的面积33 1 2 13 1 2 21 1 2 233.5 【等腰三角形的分类讨论和格点作图】 1 （1） 如图所示， 线段 OD 的一个端点 O 在直线 AB 上， 以 OD 为一边的等
15、腰三角形 ODP， 并且使点 P 也在 AB 上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点 P） （2） 若DOB60， 其它条件不变， 则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果） （3）若改变（2）中DOB 的度数，其他条件不变，则等腰三角形 ODP 的个数和（2） 中的结果相同，则改变后DOB 120或 90 【解答】解： （1）分三种情况讨论： 当 PDPO 时，作 OD 的垂直平分线，与 AB 的交点即为点 P； 当 DPDO 时，以 D 为圆心，DO 为半径画弧，交 AB 于两点（有一点与点 O 重合） ； 当 OPOD 时，以 O 为圆心，OD 为半径画弧，交 AB 于两点；
16、 综上所述：共有 4 个点；如图所示： 故答案为：4； （2）以 O 为圆心，OD 为半径画弧，交 AB 于两点； 故答案为：2； （3）当DOB90或DOB120时，以 O 为圆心，OD 为半径画弧，交 AB 于两 点； 故答案为：120或 90 2利用网格线作图： （1）如图，在 BC 上找一点 O，使点 O 到 AB 和 AC 的距离相等； （2）在第（1）小题图中的射线 AO 上找一点 P，使 PBPC 【解答】解： （1）如图，取点 D，作射线 AD 与 BC 的交点即为点 O （2）线段 BC 的垂直平分线与射线 AD 的交点即为点 P 【用定理解决几何证明题】 1如图，在 RtA
17、BC 中，ACB90，A65，CDAB，垂足为 D，E 是 BC 的中 点，连接 ED，则EDC 的度数是（ ） A25 B30 C50 D65 【解答】解：ACB90，A65， B25， CDAB，E 是 BC 的中点， ED= 1 2BCEB， EDBB25， EDC902565， 2如图，在ABC 中，ABAC，BC8，DEF 的周长是 10，AFBC 于 F，BEAC 于 E，且点 D 是 AB 的中点，则 AF 的长是 25 【解答】解：ABAC，AFBC， AF 是ABC 的中线， D 是 AB 的中点， DF 是ABC 的中位线， 设 ABBC2x， DFx， BEAC，点 D
18、是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点， DE= 1 2ABx，EF= 1 2BC4， DEF 的周长为 10， x+x+410， x3， AC6， 由勾股定理可知：AF25， 故答案为：25 三解答题（共三解答题（共 4 小题）小题） 3已知，如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高线，CE 是 AB 边上的中线，DGCE 于 G，CDAE （1）求证：CGEG； （2）若 AB20，DG4，求 CE 的长 【解答】 （1）证明：AD 是 BC 边上的高线， ADB90，又 AEEB， DEAE， CDAE， DEDC，又 DGCE， CGEG； （2）解：AB20， DE= 1 2
19、AB10， 由勾股定理得，EG= 2 2=221， CE2EG421 4已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于点 E，EFAB 交 AC 于点 F求 证：FEC 是等腰三角形 【解答】证明：如图， AD 平分BAC， 12， EFAB， 13， 23， CEAD 于点 E， AEC90， 3+490， 2+590， 45， FEFC， FEC 是等腰三角形 5已知，在ABC 中，ACBC，分别过 A，B 点作互相平行的直线 AM、BN，过点 C 的直 线分别交直线 AM、BN 于点 D、E （1）如图 1，若 AMAB，求证：CDCE； （2）如图 2，ABCDEB60，求证
20、：AD+DCBE 【解答】证明： （1）如图 1，延长 AC 交 BN 于点 F， ACBC， CABCBA， 又ABAM， BAM90， 又AMBN， BAM+ABN180， ABN90， BAF+AFB90，ABC+CBF90， CBFAFB， BCCF， ACFC， 又AMBN， DAFAFB， 在ADC 和FEC 中， = = = ， ADCFEC（ASA） ， DCEC； （2）如图 2，在 EB 上截取 EHEC，连 CH， ACBC，ABC60， ABC 为等边三角形， DEB60， CHE 是等边三角形， CHE60，HCE60， BHC120， AMBN， ADC+BEC18
21、0， ADC120， DAC+DCA60， 又DCA+ACB+BCH+HCE180， DCA+BCH60， DACBCH， 在DAC 与HCB 中， = = = ， DACHCB（AAS） ， ADCH，DCBH， 又CHCEHE， BEBH+HEDC+AD 6已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，ABCADE90，ABBC，AD DE，按图 1 放置，使点 E 在 BC 上，取 CE 的中点 F，连接 DF、BF （1）探索 DF、BF 的数量关系和位置关系，并证明； （2）将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 45，再连接 CE，取 CE 的中点 F（如图 2） ， 问（1）中的
22、结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图 1 中ADE 绕 A 点转动任意角度（旋转角在 0到 90之间） ，再连接 CE， 取 CE 的中点 F（如图 3） ，问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论 【解答】解： （1）DFBF 且 DFBF （1 分） 证明：如图 1： ABCADE90，ABBC，ADDE， CDE90，AEDACB45， F 为 CE 的中点， DFEFCFBF， DFBF； （2 分） DFE2DCF，BFE2BCF， EFD+EFB2DCB90， 即：DFB90， DFBF （3 分） （2）仍然成立 证明：如图 2，延长 DF 交 BC 于点 G， ABC
23、ADE90， DEBC， DEFGCF， 又EFCF，DFEGFC， DEFGCF， DECG，DFFG， （4 分） ADDE，ABBC， ADCG， BDBG， （5 分） 又ABC90， DFBF 且 DFBF （6 分） （3）仍然成立证明：如图 3，延长 BF 至点 G，使 FGBF，连接 DB、DG、GE， 在EFG 与CFB 中， = = = ， EFGCFB， EGCB，EGFCBF， EGCB， ABBC，ABCB， EGAB，EGAB， ADE90，EGAB， 又AEDDAE， DABDEG， 在DAB 和DEG 中， = = = DABDEG（SAS） ， DGDB，ADBEDG， （7 分） BDGADE90， BGD 为等腰直角三角形， DFBF 且 DFBF （8 分）
