1、第 60 讲 两直线的位置关系1一条光线从点(5,3)射入，与 x 轴正向成 角，遇 x 轴后反射，若 tan 3，则反射线所在的直线方程为(D)A. y3x12 B. y3x12C. y3 x12 D. y3x12反射线所在的直线过点(5，3) ，斜率 ktan 3，由点斜式得 y33( x5)，即 y3x12.2(2017江西景德镇二模)若直线 l1：( m2)xy10 与直线 l2：3xmy 0 互相平行，则 m 的值等于(D)A. 0 或1 或 3 B0 或 3C0 或1 D1 或 3当 m0 时，两条直线方程分别化为 2xy10,3x 0，此时两直线不平行；当 m0 时，由于 l1l
2、2，则 ，解得 m1 或 3.m 23 1m经检验满足条件综上，m1 或 3.3已知直线 l1：y 2x3，直线 l2 与 l1 关于直线 yx 对称，直线 l3l 2，则 l3 的斜率是(C)A. B12 12C2 D2在 l2 上取点 A(x，y )，A 关于 yx 的对称点为 B(y，x )，又 B 在 l1 上，所以x2y3，即 l2 的方程为 x2y30，又 l3l2，所以 l3 的斜率为2.故选 C.4(2018湖北宜昌月考)已知 a0，直线 ax( b2)y4 0 与直线 ax(b2)y30 互相垂直，则 ab 的最大值为(B)A0 B2C4 D. 2若 b2，则两直线方程为 y
3、 x1 和 x ，此时两直线相交但不垂直a4 3a若 b2，则两直线方程为 x 和 y x ，此时两直线相交但不垂直4a a4 34若 b2，则两直线方程为 y x 和 y x ，ab 2 4b 2 ab 2 3b 2此时两直线的斜率分别为 ， ，ab 2 ab 2所以由 ( )1 得 a2b 24，ab 2 ab 2因为 a2b 242ab，所以 ab2，即 ab 的最大值为 2.5在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax 2 (a，b 为常数) 过点 P(2，5)，且该曲bx线在点 P 处的切线与直线 7x2y 30 平行，则 ab 的值为 3 .因为 yax 2 ，所以 f(x) 2
4、ax .bx bx2由题意得Error!解得Error!所以 ab3.6直线 ax4y 20 与 2x 5yc0 垂直于点(1，m)，则 a 10 ，c 12 ，m 2 .因为两直线互相垂直，所以 1，a425所以 a10.又两直线垂直于点(1，m)，所以(1 ，m )在直线 l1 和 l2 上，所以 1014m20，所以 m2，再将(1，2) 代入 2x5y c0，得 215(2)c 0，得 c12.7(经典真题)设直线 l1：yk 1x1，l 2：yk 2x1，其中实数 k1，k 2 满足 k1k220.(1)证明 l1 与 l2 相交； (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2y
5、 21 上(1)反证法：假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有 k1k 2，代入 k1k220，得k 20.21此与 k1 为实数的事实相矛盾，从而 k1k 2，即 l1 与 l2 相交(2)(方法 1)由方程组 y k1x 1，y k2x 1，)解得交点 P 的坐标(x，y) 满足x 2k2 k1，y k1 k2k2 k1.)而 2x2y 22( )2( )22k2 k1 k2 k1k2 k1 1.此即表明交点 P(x，y)在椭圆 2x2y 21 上(方法 2)交点 P 的坐标(x，y )满足 y 1 k1x，y 1 k2x，)故 x0，从而 代入 k1k220，k1 y
6、 1x ，k2 y 1x )得 20，整理得 2x2y 21.y 1x y 1x所以交点 P 在椭圆 2x2y 2 1 上8(2018湖南长郡中学联考) 已知 f(x)为奇函数，函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线yx1 对称，若 g(1)4，则 f(3)(A)A2 B2C1 D4因为 g(1)4，所以(1， 4)在 g(x)的图象上，因为 f(x)与 g(x)的图象关于直线 yx1 对称，所以(1，4) 关于 yx 1 的对称点在 yf(x)的图象上，因为(1，4) 关于 yx 1 的对称点为(3 ，2)，所以 f(3)2，又 f(x)为奇函数，所以 f(3)f(3)2.9(2017湖北
7、孝感五校联考) 已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别为( 4,2) ，(3,1)，则点 C 的坐标为 (2,4) .设 A(4,2)关于直线 y2x 的对称点为( x，y) ，则Error!解得Error!所以 BC 所在直线的方程为 y1 (x3) ， 2 14 3即 3xy100，联立Error!解得Error!则 C(2,4)10若抛物线 yax 21 (a0)上总存在不同的两点，关于直线 xy0 对称，求 a 的取值范围(方法一) 设 P1、P 2 是关于 xy0 的对称点，可设直线 P1P2 为 yxb，代入 yax 21，得 ax2x(b1) 0，1 4a(b1)0，又中点( ， b)在 yx 上 b .12a 12a 1a代入得 14a( 1)0a .1a 34(方法二) 设 P(x0，y 0)是抛物线上任一点，它关于 yx 的对称点为(y 0，x 0)也在抛物线上，则Error!由得 y0x 0a(x 0y 0)(x0y 0)，(x0，y 0)与(y 0，x 0)是不同的两点，所以 x0y 00，所以 x0y 0 .1a代入，整理得 ax x 0 10，201a1 4a( 1)0 a .1a 34