1、第 20 讲 导数的实际应用及综合应用1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克) 与销售价格x(单位：元 /千克 )满足关系式 y 10(x6) 2，其中 3x 6，a 为常数已知销售价格ax 3为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/ 千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大(1)因为当 x5 时，y11，所以 10(56) 211，解得 a2.a5 3(2)由(1)知该商品每日的销售量 y 10(x6) 2(3x6)，2x 3所以该商场每日销售该商品所获得的利润f(x) 10(
2、x 6) 2(x3)210( x3)( x6) 2(3x6)，2x 3所以 f(x) 10( x6) 22(x3)(x6)30(x 4)(x6)当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6)f(x) 0 f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当 x4 时，f( x)max42.答：当销售价格定为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再
3、沿虚线折起，使得 A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx (cm)(1)若广告商要包装盒侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2)若广告商要包装盒容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值(1)根据题意，有S4 x (602x)2228(x 15) 21800(00，V 单调递增；当 201 时，g(x)0，g(x )单调递增所以 x1 是 g(x)的极小值点，故 g(x)g(1)0.综上，a1.(2)由(1)知 f(x)x 2xxln
4、x，f(x)2x2ln x.设 h(x)2x2 ln x ，则 h (x)2 .1x当 x(0， )时，h(x )0.12所以 h(x)在(0， )上单调递减，在 ( ，)上单调递增12 12又 h(e 2)0，h( )0；当 x(x0,1)时，h(x )0.因为 f(x) h(x)，所以 xx 0 是 f(x)的唯一极大值点由 f(x 0)0 得 ln x02( x01) ，故 f(x0)x 0(1x 0)由 x0(0， )得 f(x0)f(e1 )e 2 .所以 e2 x 12x 1ln 2.f(x)的定义域是 (1，)，f(x) ，2x2 2x m1 x(1)由题设知，1x0 ，令 g(
5、x)2x 22xm ，这是开口向上，以 x 为对称轴的抛12物线，g( ) m，12 12当 g( )0，即 m 时， g(x)0，即 f(x)0 在( 1，)上恒成立12 12当 g( ) .12 121)当 g(1) 0 即 m0 时， x10，即 f(x)0.2)当 g(1)0 时，即 00 0 0 f(x)0 0 0 f(x) 递增 递减 递增综上：m0 时，f(x) 在(1， )上单调递减，在( ，)上单调递增；12 1 2m2 12 1 2m200，则1x 12x 1ln 2 成立，只需证2f(x2 ) 2x 2mln(1 x2 ) 2x 4x1 x2 ln(1 x2 )2 22x 4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )2(1x 2)2(1x 2)ln 21x 22(1x 2)ln 2.即证 2x 4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x 2)(12ln 2)0 对 0，ln(1x)0，12 4e故 (x)0，故 (x)在( ，0)上递增，12故 (x)( )2 4 ( )ln (12ln 2)0，12 14 12 12 12 12所以 2x 4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x 2)(12ln 2)0 对 x12x 1ln 2.