1、第 26 讲 三角函数的图象与性质( 一)1若动直线 xa 与函数 f(x)sin x 和 g(x)cos x 的图象分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值为(B)A1 B. 2C. D23|MN|sin acos a| |sin(a )| .24 22(经典真题)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y3sin( x)k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m) 的最大值为(C)6A5 B6C8 D10根据图象得函数的最小值为 2，有3k2，得 k5，所以最大值为 3k8.3(2019福建一模)已知 f(x)2cos 2x6sin xcos x，则函数 f(x)的
2、最大值是(C)A3 B. 10C. 1 D. 110 10f(x)1cos 2x3sin 2x ( cos 2x sin 2x)1101010 31010 cos(2x)1，10所以 f(x)的最大值为 1.104(2018辽宁朝阳三模)已知 f(x)sin(x )(0)，f ( )f ( )，且 f(x)在区间( ， )上3 6 3 6 3有最小值，无最大值，则 (B)A. B.103 143C. D.323 383由题意知 f(x)的图象的一条对称轴为 x ，且 f(x)在 x 处取得最小值，6 32 4 4所以Error!所以Error!所以 .1435如图，半径为 R 的圆的内接矩形周
3、长的最大值为 4 R .2设BAC ，周长为 p，则 p2AB2BC 2(2 Rcos 2Rsin )4 Rsin( )4 R，24 2当且仅当 时取等号4所以周长的最大值为 4 R.26(2018北京卷)设函数 f(x)cos (x )(0)若 f(x)f( )对任意的实数 x 都成立，6 4则 的最小值为 _ _23因为 f(x)f( )对任意的实数 x 都成立，4所以当 x 时， f(x)取得最大值，4即 f( )cos( )1，4 4 6所以 2k，kZ，所以 8k ，k Z.4 6 23因为 0，所以当 k0 时， 取得最小值 .237(经典真题)已知函数 f(x)sin 2xsin
4、 2(x )，x R .6(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 ， 上的最大值和最小值3 4(1)由已知，有f(x) 1 cos 2x2 1 cos2x 32 ( cos 2x sin 2x) cos 2x1212 32 12 sin 2x cos 2x sin(2x )34 14 12 6所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)因为 f(x)在区间 ， 上是减函数，在区间 ， 上是增函数，3 6 6 4且 f( ) ，f( ) ， f( ) ，3 14 6 12 4 34所以 f(x)在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 .3 4 34 128已知函数 f(x) (s
5、in xcos x) |sin xcos x|，则 f(x)的值域是(C)12 12A1,1 B ，122C1， D1， 22 22由 f(x) (sin xcos x) |sin xcos x|12 12得 f(x)Error!f(x)的图象如下图中粗线所示，由图象可知，函数 f(x)的值域是1， 229(2018重庆模拟改编)函数 ysin xcos xsin x cos x 的最大值为 .12 2令 sin x cos xt ， ，2 2则 t212sin xcos x，所以函数 yt t2 t (t1) 21，1 t22 12 12 12故当 t 时，函数 y 取最大值 .212 21
6、0(2018江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P为此圆弧的中点)和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C， D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 .(1)用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43.求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大(1)如
7、图，连接 PO 并延长交 MN 于点 H，则 PHMN，所以 OH10.过点 O 作 OEBC 于点 E，则 OEMN，所以COE，故 OE40cos ，EC40sin ，则矩形 ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP 的面积为240cos (4040sin )1600(cos sin cos )12过点 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE 的延长线于点 G 和 K，则 GKKN 10.令GOK 0，则 sin 0 ， 0(0， )14 6当 0， )时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，2所以 sin 的取值范围是 ，1)14答：矩
8、形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos )平方米，CDP 的面积为 1600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范围是 ，1) 14(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k, 乙的单位面积的年产值为 3k(k0)，则年总产值为 4k800(4sin cos cos )3k1600(cos sin cos ) 8000k(sin cos cos )， 0， )2设 f() sin cos cos ， 0， )，2则 f()cos 2sin 2sin (2 sin2sin 1) (2sin 1)( sin 1)令 f()0, 得 ，6当 ( 0， )时，f()0，所以 f()为增函数；6当 ( ， )时，f()0，所以 f()为减函数，6 2因此，当 时，f()取到最大值6答：当 时， 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大6