1、2018 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 Ax| x210，By|y3 x，x R，则 AB（ ）A （，1） B （，1 C （1，+） D1 ，+）2 （5 分）已知复数 ，则 （ ）A B C D3 （5 分）若 ， ，则 sin 的值为（ ）A B C D4 （5 分）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其
2、他信号来源，基站工作正常） 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A B C D5 （5 分）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D6 （5 分）世界数学名题“3x+1 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1在这样一个变换下，我们就得到了一第 2 页（共 25 页）个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1现根据此问题设计一个程序框图如图所示执行该程序框图，输入的 N5，则输出 i（ ）
3、A3 B5 C6 D77 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+ ） （A 0， 0，| ）的部分图象如图所示，则函数 g（x） Acos（x +）图象的一个对称中心可能为（ ）A （2，0） B （1，0） C （10，0） D （14，0）8 （5 分）函数 ye sinx（x ）的大致图象为（ ）A B第 3 页（共 25 页）C D9 （5 分）已知点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， ，AC2，若四面体ABCD 的体积为 ，球心 O 恰好在棱 DA 上，则这个球的表面积为（ ）A B4 C8 D1610 （5 分）F 为双曲线 （a0，
4、b0）右焦点，M，N 为双曲线上的点，四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN 的面积为 bc，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D11 （5 分）已知不等式组 表示的平面区域恰好被圆 C：（x3） 2+（y3）2r 2 所覆盖，则实数 k 的值是（ ）A3 B4 C5 D612 （5 分）已知 x0 是方程 2x2e2x+lnx0 的实根，则关于实数 x0 的判断正确的是（ ）Ax 0ln2 BC2x 0+lnx0 0 D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （x+1） （x 1） 5 展开式中含
5、x3 项的系数为 14 （5 分）已知 ，若向量 与 共线，则 在 方向上的投影为 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，btanB+btanA2ctanB，且a8，ABC 的面积为 ，则 b+c 的值为 16 （5 分）如图所示，点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 y28x 及圆（x2） 2+y216 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围是 第 4 页（共 25 页）三、解
6、答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）设 Sn 为数列a n的前 n 项和，且 a11，na n+1（n+2）S n+n（n+1） ，nN *（1）证明：数列 为等比数列；（2）求 TnS 1+S2+Sn18 （12 分）如图所示的几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形，AB 2a，ABC120，AC 与 BD 相交于 O 点，四边形 BDEF 为直角梯形，DEBF，BDDE， ，平面 BDEF底面 ABCD（1）证明：平面 AEF平面 AFC；（2）求二面角 EACF 的余弦值19 （12 分）为了让贫困地区的孩子们过一
7、个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有 50 名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传 整理、打包衣物 总计20 人 30 人 50 人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2人，那么“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？第 5 页（共 25 页）（）若参与班级宣传的志愿者中有 12 名男生，8 名女生，从中选出 2 名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，
8、写出随机变量 X 的分布列及数学期望20 （12 分）已知椭圆 的长轴长为 6，且椭圆 C 与圆的公共弦长为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P（0，2）作斜率为 k（k 0）的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B，试判断在x 轴上是否存在点 D，使得ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点 D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 （1）当 a0 时，试求 f（x ）的单调区间；（2）若 f（x）在（ 0，1）内有极值，试求 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方
9、程22 （10 分）已知曲线 C： ，直线 l： （t 为参数，0 ） （）求曲线 C 的直角坐标方程；（）设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点（A 在第一象限） ，当 +3 时，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|+|x+1|（1）求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若函数 yf（x）的最小值记为 m，设 a，bR，且有 a2+b2m，试证明：第 6 页（共 25 页）2018 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
10、目要求的.1 （5 分）集合 Ax| x210，By|y3 x，x R，则 AB（ ）A （，1） B （，1 C （1，+） D1 ，+）【分析】化简集合 A、B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| x210x|x1 或 x1 （，1）（1，+） ，B y|y3 x，xRy |y0（0，+） ，则 AB（1，+） 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）已知复数 ，则 （ ）A B C D【分析】由已知求得|z |，结合共轭复数的概念求得 【解答】解： ，|z| ，则 故选：C【点评】本题考查复数模的求法，考查了共轭复数的概
11、念，是基础题3 （5 分）若 ， ，则 sin 的值为（ ）A B C D【分析】由已知利用两角和的余弦函数公式可求 cos +sin，结合同角三角函数基本关系式可求 2sin2+ sin 0，进而解得 sin 的值【解答】解： ， ，可得：sin 0，第 7 页（共 25 页） cos+ sin ，可得： cos +sin，又sin 2+cos21，可得：sin 2+（ +sin） 21，整理可得：2sin2+ sin 0，解得：sin ，或 （舍去） 故选：A【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，
12、属于基础题4 （5 分）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常） 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A B C D【分析】根据题意，算出扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF 的面积之和为 ，结合矩形ABCD 的面积为 2，可得在矩形 ABCD 内且没有信号的区域面积为 2 ，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率【解答】解：扇形 ADE 的半径为 1，圆心角等于 90扇形 ADE 的面积为 S1 12同理可得，扇形 CBF 的在，
13、面积 S2又长方形 ABCD 的面积 S212在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P 1故选：A第 8 页（共 25 页）【点评】本题给出矩形 ABCD 内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题5 （5 分）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】由三视图可知：该几何体由一个三棱锥与一个圆锥的 组成【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个三棱锥与一个圆锥的 组成该几何体的体积 V + + 故选：C【点评】本题考查了四棱锥的三视图、体积计算公式，考查
14、了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）世界数学名题“3x+1 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1现根据此问题设计一个程序框图如图所示执行该程序框图，输入的 N5，则输出 i（ ）第 9 页（共 25 页）A3 B5 C6 D7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 n 的值并输出相应的 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案
15、【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n5，i1满足条件 n 是奇数，n16，i2不满足条件 n1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n8，i3不满足条件 n1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n4，i4不满足条件 n1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n2，i5不满足条件 n1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数，n1，i6满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 6故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+ ） （A 0， 0，| ）的部分图象如图所示，则函数 g（
16、x） Acos（x +）图象的一个对称中心可能为（ ）第 10 页（共 25 页）A （2，0） B （1，0） C （10，0） D （14，0）【分析】由函数 f（x ）的部分图象求得 A、T、 和 的值，写出函数 g（x）的解析式，再求函数 g（x）图象的对称中心【解答】解：由函数 f（x ）Asin（x+ ） （A 0， 0，| ）的部分图象知，A2 ，且 T 2（6+2）16，解得 ；把点（2，2 ）代入 f（x）的解析式，得 2 sin（ 2+）2 ，解得 ；函数 g（x）2 cos（ x ） ，令 x k + ，k Z；解得 x8k+10 ，k Z；当 k0 时，x
17、10，函数 g（x）图象的一个对称中心为（10，0） 故选：C【点评】本题考查了正弦、余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移的应用问题，是基础题8 （5 分）函数 ye sinx（x ）的大致图象为（ ）A B第 11 页（共 25 页）C D【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除 A、D 两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断【解答】解：由于 f（x ）e sinx，f（x）e sin（x） e sinxf（x）f（x ） ，且 f（x）f （x） ，故此函数是非奇非偶函数，排除 A，D ；又当 x 时，y e sinx 取得最大值，排除 B
18、；故选：C【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题9 （5 分）已知点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， ，AC2，若四面体ABCD 的体积为 ，球心 O 恰好在棱 DA 上，则这个球的表面积为（ ）A B4 C8 D16【分析】根据条件可知球心 O 在侧棱 DA 中点，从而 ACCD，AD 4，进而球的半径r2，由此能求出球的表面积【解答】解：点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， ，AC2，四面体 ABCD 的体积为 ，球心 O 恰好在棱 DA 上，根据条件可知球心 O 在侧棱 DA 中点，ACCD，AD4，球的半径
19、 r2，故球的表面积为 S4r 216 故选：D【点评】本题考查球的表面积的求法，考查四面体及其外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题第 12 页（共 25 页）10 （5 分）F 为双曲线 （a0，b0）右焦点，M，N 为双曲线上的点，四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN 的面积为 bc，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【分析】设 M（x 0，y 0） ，x 0 0，y 00，利用四边形 OFMN 的面积为 bc，求出 M 坐标，代入双曲线方程，求解离心率即可【解答】解：设 M（x 0，y 0） ，x 00，y 00四边形
20、OFMN 为平行四边形， ，四边形 OFMN 的面积为 bc，|y 0|c bc，即| y0|b， ，代入双曲线方程得 ，e1， 故选：B【点评】本题双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力11 （5 分）已知不等式组 表示的平面区域恰好被圆 C：（x3） 2+（y3）2r 2 所覆盖，则实数 k 的值是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】由题意作出其平面区域，则可知， （0，6）关于（3，3）的对称点（6，12）在 xy+k0 上，从而解出 k【解答】解：由题意作出其平面区域，第 13 页（共 25 页）由平面区域恰好被圆 C：（x3） 2+（y 3） 2r 2 所覆盖可
21、知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又三角形为直角三角形，（0，6）关于（3，3）的对称点（6，12）在 xy+k0 上，解得 k6，故选：D【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题12 （5 分）已知 x0 是方程 2x2e2x+lnx0 的实根，则关于实数 x0 的判断正确的是（ ）Ax 0ln2 BC2x 0+lnx0 0 D【分析】由 2x2e2x+lnx0 变形得 ，构造函数 f（x）xe x，利用导数说明函数 f（x）在（ 0，+）上单调递增，由题意得 ，转化为第 14 页（共 25 页），利用函数 f（x ）的单调性得到 ，通过化简即可得出
22、答案【解答】解：令 2x2e2x+lnx0，得 2x2e2xlnx，其中 x0，在等式两边同时除以 x 得， ，即 ，构造函数 f（x） xex，其中 x0，则 f（x）（x +1）e x0，所以，函数 f（x ）在区间（0，+）上单调递增，且 f（ lnx）（lnx）e lnxxlnx，根据题意，若 x0 是方程 2x2e2x+lnx0 的实根，则 ，即，所以， ，因此，2x 0+lnx00，故选：C【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，问题的关键在于对等式进行变形，并利用函数的单调性进行解答，属于较难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （
23、x+1） （x 1） 5 展开式中含 x3 项的系数为 0 【分析】把（x1） 5 按照二项式定理展开，可得（x+1 ） （x1） 5 展开式中含 x3 项的系数【解答】解：（x+1） （x 1） 5 （x+1） （ x5+ + + + ） ，故展开式中含 x3 的项的系数为 + 0，故答案为 0【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14 （5 分）已知 ，若向量 与 共线，则 在 方向上的投影为 【分析】根据向量共线求出 ，计算 ，代入投影公式即可第 15 页（共 25 页）【解答】解：2
24、 （4，2+1 ） ， 与 共线，2+13，即 1 2+ 3， 在 方向上的投影为| |cos 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，btanB+btanA2ctanB，且a8，ABC 的面积为 ，则 b+c 的值为 【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得 cosA 的值，由余弦定理可求64（b+c） 2bc ，利用三角形面积公式可求 bc16，联立即可得解 b+c 的值【解答】解：在ABC 中 btanB+btanA2ctanB，由正弦定理可得 sinB（tan
25、A+tan B）2sin CtanB，sinB（tanA+tan B）2sinC ，cosB（tanA+tanB）2sinC，cosB（ + ） 2sinC，cosB 2sinC，cosB 2sinC，解得 cosA ，A ；a8，由余弦定理可得：64b 2+c2+bc（b+c） 2bc，ABC 的面积为 bcsinA bc，可得：bc16，联立可得： b+c4 故答案为：4 【点评】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于基础题16 （5 分）如图所示，点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 y28x 及圆第 16 页（共 25 页
26、）（x2） 2+y2 16 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围是 （8，12） 【分析】根据圆与抛物线的定义与性质，结合图形，计算FAB 周长的取值范围【解答】解：圆（x2） 2+y216 的圆心为（2，0） ，是抛物线 y28x 的焦点 F（2 ，0） ，圆（x2） 2+y216 与抛物线 y28x 在第一象限交于点 C（2，4） ，过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为点 D，则 AFAD ，所以 AF+ABAD +ABBD，当点 B 位于圆（x 2） 2+y216 与 x 轴的交点（6，0）时， BD 取最大值 8；由于点 B 在实线上运动，因此当点
27、 B 与点 C 重合时，BD 取最小值 4，此时 A 与 B 重合；由于 F、A 、B 构成三角形，因此 4BD8，所以，8BF+BD12；即FAB 周长的取值范围是（8，12） 故答案为：（8，12） 【点评】本题考查了圆与抛物线方程的性质与应用问题，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第 17 页（共 25 页）17 （12 分）设 Sn 为数列a n的前 n 项和，且 a11，na n+1（n+2）S n+n（n+1） ，nN *（1）证明：数列 为等比数列；（2）求 TnS 1+S2+Sn【分析】 （1）运用数列的递推式：a
28、n+1S n+1S n，代入化简可得 +12（ +1） ，由等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得 Snn2 nn，再由数列的求和：分组求和和错位相减法，即可得到所求和【解答】解：（1）证明：a 11，na n+1（n+2 ）S n+n（ n+1） ，nN *，因为 an+1S n+1S n，所以 n（S n+1S n）（n+2） Sn+n（n+1） ，即 nSn+12（n+1）S n+n（n+1） ，则 2 +1，所以 +12（ +1） ，又 +12，故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；（2）由（1）知 +12 n，所以 Snn2 nn，故 TnS 1+S2+
29、Sn（12+22 2+n2n）（1+2+n） 设 M12+2 22+n2n，则 2M12 2+223+n2n+1，所以M2+2 2+2nn2 n+1 n2 n+1，所以 M（n1）2 n+1+2，所以 Tn（n1）2 n+1+2 n（n+1） 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用构造数列法，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查运算能力，属于中档题18 （12 分）如图所示的几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形，第 18 页（共 25 页）AB2a，ABC120，AC 与 BD 相交于 O 点，四边形 BDEF 为直角梯形，DEBF，BDDE， ，平面
30、BDEF底面 ABCD（1）证明：平面 AEF平面 AFC；（2）求二面角 EACF 的余弦值【分析】 （）推导出 ACBD，从而 AC平面 BDEF，进而 ACEF再由BDDE，得 DE平面 ABCD，推导出 EFAF从而 EF平面 AFC由此能证明平面 AEF平面 AFC（）取 EF 中点 G，则 OGDE ，从而 OG平面 ABCD，OAOB，分别以 ， 的方向为 x，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，利用向量法能求出二面角 EACF 的余弦值【解答】证明：（）底面 ABCD 为菱形，ACBD，又平面 BDEF 底面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCDBD，AC平面
31、BDEF，从而 ACEF 又 BDDE ，DE 平面 ABCD，由 AB2a，DE2BF2 ，ABC120，AF ，BD2a，EF a，AE 2 a，从而 AF2+FE2AE 2，EF AF又 AFACA，EF平面 AFC又 EF平面 AEF，平面 AEF平面 AFC解：（）取 EF 中点 G，由题可知 OGDE ，OG平面 ABCD，又在菱形 ABCD 中，OAOB ，第 19 页（共 25 页）分别以 ， ， 的方向为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，则 O（0，0，0） ，A（ ， 0，0） ，C（ ，0，0） ，E（0，a，2 ） ，F（0，a， ） ， （ ） ，
32、 （2 ，0，0） ， （0，2a， a） 由（1）可知 EF平面 AFC，平面 AFC 的法向量可取为 （0，2a， ） 设平面 AEC 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，令 z ，得 （0，4， ） cos 二面角 EACF 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有 50 名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣
33、；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传 整理、打包衣物 总计20 人 30 人 50 人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2人，那么“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？第 20 页（共 25 页）（）若参与班级宣传的志愿者中有 12 名男生，8 名女生，从中选出 2 名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量 X 的分布列及数学期望【分析】 （）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有 2 人，参与整理、打包衣物者被抽中的有 3 人，由
34、此能求出至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者的概率（）女生志愿者人数 X0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量 X 的分布列及数学期望【解答】 （）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是 ，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有 20 2 人，参与整理、打包衣物者被抽中的有 30 3 人，故“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P1 （）解：女生志愿者人数 X0，1，2，则 ，X 的分布列为：X 0 1 2P X 的数学期望 EX 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时
35、要认真审题，在历年高考中都是必考题型20 （12 分）已知椭圆 的长轴长为 6，且椭圆 C 与圆的公共弦长为 第 21 页（共 25 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P（0，2）作斜率为 k（k 0）的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B，试判断在x 轴上是否存在点 D，使得ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点 D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由题意可得 a3，由题意可得公共弦长为直径，求得 b，进而得到所求椭圆方程；（2）直线 l 的解析式设为 ykx+2 ，设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） ，AB 的中点为E（x 0
36、， y0） ，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为1，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和 D 的横坐标的范围【解答】解：（）由题意可得 2a6，所以 a3，由椭圆 C 与圆 的公共弦长为 ，恰为圆 M 的直径，可得椭圆 C 经过点（2， ） ，所以 + 1，解得 b2 ，所以椭圆 C 的方程为 + 1；（）直线 l 的解析式设为 ykx+2 ，设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） ，AB 的中点为 E（x 0，y 0） 假设存在点 D（m，0） ，使得ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，则 DEAB联立 ykx+2 和 8x2+9y272 ，得
37、（8+9k 2）x 2+36kx360，故 x1+x2 ，所以 x0 ，y 0kx 0+2 ，因为 DEAB，所以 kDE ，即 ，所以 m ，第 22 页（共 25 页）当 k0 时，9k+ 2 12 ，所以 m0综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E，且点 D 的横坐标的取值范围为 m 0【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用直线和圆的弦长公式和椭圆的长轴长，考查存在性问题解法，注意运用等腰三角形的性质和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 （1）当 a0 时，试求 f（x ）的单调区间；（2）若
38、 f（x）在（ 0，1）内有极值，试求 a 的取值范围【分析】 （1）求导，研究导函数的取值情况即可求解；（2）问题等价于 f（x ）0 在 x（0，1）内有解，求导后分析其取值情况即可【解答】解：（1）求导，f （x ） a（1 ） ，当 a0 时，对于x （0，+） ，e xax0 恒成立，f（x）0 ，x1；f（x）0， 0x1，单调增区间为（1，+） ，单调减区间为（0，1） ；（2）若 f（x）在（ 0，1）内有极值，则 f（x）0 在 x（0，1）内有解，令 f（x）0 ，e xax0，a ，设 g（x） ，x （0，1） ，则 g（x） ，当 x（0，1）时， g（x）0 恒成立
39、，g（x）单调递减，又 g（1）e，又当 x0 时，g（x ），即 g（x ）在（0，1）上的值域为（ e，+） ，当 ae 时，f（x）0，设 H（x）e xax，则 H（ x）e xa，x （0，1） ，H（x）在 x（0，1）单调递减，由 H（0）10，H（1）ea0，第 23 页（共 25 页）H（0）0，在 x（0，1） ，有唯一解 x0，x （ 0，x 0） x0 （ x0，1）H（x） + 0 f（x） 0 +f（x） 极小值 当 ae 时，f（x）在（0，1）内有极值且唯一，当 ae 时，若 x（0，1）
40、，则f（x）0 恒成立， f（x ）单调递增，不成立，综上，a 的取值范围为（e，+） 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查分类讨论思想及转化思想的应用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C： ，直线 l： （t 为参数，0 ） （）求曲线 C 的直角坐标方程；（）设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点（A 在第一象限） ，当 +3 时，求 的值【分析】 （）利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线 C 的直角坐
41、标方程；（）直线 l： 代入 x24（1+y） ，可得 t2cos24（1+t sin） ，即t2cos24tsin40，利用参数的几何意义，结合韦达定理，求 的值【解答】解：（）曲线 C： ，即 sin2，2+sin ，x 2+y2（2+y ） 2，即曲线 C 的直角坐标方程为 x24（1+ y） ；（）直线 l： 代入 x24（1+y） ，可得 t2cos24（1+tsin ） ，即 t2cos24t sin40设 A，B 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t2 ，t 1t2 ，第 24 页（共 25 页） +3 ，t 13t 2，联立可得 ，tan ，0
42、， 【点评】本题考查极坐标与直角坐标互化方法，考查参数方程的运用，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|+|x+1|（1）求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若函数 yf（x）的最小值记为 m，设 a，bR，且有 a2+b2m，试证明：【分析】 （1）作出 f（x ）的函数图象，根据图象即可得出解集；（2）求出 m 的值，再利用基本不等式得出结论【解答】解：（1）f（x ）|2x1|+| x+1| ，作出图象如图所示，从图可知满足不等式 f（x ）3 的解集为 1，1（2）证明：由图可知函数 yf （x）的最小值为 ，即 m a 2+b2 ，从而 a2+1+b2+1 ， （a 2+1）+（b 2+1）（ ） 5+ + （5+4） 当且仅当 + 即 a2 ，b 2 时等号成立第 25 页（共 25 页）【点评】本题考查了分段函数，基本不等式的应用，属于中档题