1、21.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一 椭圆的定义观察图形，回答下列问题：思考 1 如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点 F1，F 2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案 椭圆思考 2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案 笔尖(动点)到两定点( 绳端点的固定点) 的距离之和始终等于绳长梳理 平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于定长(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 F1，F 2 叫做椭圆
2、的焦点，两焦点的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距知识点二 椭圆的标准方程思考 椭圆方程中，a，b 以及参数 c 有什么几何意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半a，b，c 始终满足关系式 a2b 2c 2.梳理 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(a b0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c)，F 2(0，c )a，b， c 的关系 c2 a2b 2(1)
3、平面内与两定点 F1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F 2 构成PF 1F2 的周长为定值( )(3)已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同( )类型一 椭圆的标准方程命题角度 1 求椭圆的标准方程例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)，B ；(12，3)(2)经过点(3 ， )，且与椭圆 1 有共同的焦点15x225 y29考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程解 (1)方法一 当焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1( ab0
4、)，x2a2 y2b2A(0,2) ，B 在椭圆上，(12，3)Error!解得Error!这与 ab 相矛盾，故舍去当焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1(a b0)，y2a2 x2b2A(0,2) ，B 在椭圆上，(12，3)Error!解得Error!椭圆的标准方程为 x 21，y24综上可知，椭圆的标准方程为 x 21.y24方法二 设椭圆的标准方程为 mx2ny 21(m0，n0，mn)A(0,2) ，B 在椭圆上，(12，3)Error!Error!故椭圆的标准方程为 x2 1.y24(2)方法一 椭圆 1 的焦点为(4,0) 和(4,0)，x225 y29由椭圆的定义可得
5、2a ，3 42 15 02 3 42 15 022a12，即 a6.c4，b 2a 2c 26 24 220，椭圆的标准方程为 1.x236 y220方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 1，x225 y29 将 x3，y 代入上面的椭圆方程，得15 1，3225 1529 解得 11 或 21(舍去)，椭圆的标准方程为 1.x236 y220反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法先确定焦点位置；设出方程；寻求 a，b，c 的等量关系；求 a，b 的值，代入所设方程特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在 x 轴
6、上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为 mx2ny 21(mn，m 0，n0)跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0， 2)，(0,2)，并且椭圆经过点 ；( 32，52)(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0) ；(3)经过点 P(2 ，1)，Q( ，2)3 3考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知，2a ( 32)2 (52 2)2 ( 32)2 (52 2)22 ，10即 a .又 c2，10b 2a 2c 26
7、.所求椭圆的标准方程为 1.y210 x26(2)椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2又椭圆经过点(0,2)和(1,0) ，Error!Error!所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)设椭圆的方程为 mx2ny 21( m0，n0 ，且 mn)，点 P(2 ，1)，Q ( ， 2)在椭圆上，3 3代入得Error!Error!所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25命题角度 2 由标准方程求参数或其取值范围例 2 若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 m 的取值范围是x2m y2m2 2_考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(
8、或其取值范围)答案 (0,1)解析 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，x2m y2m2 2将方程改写为 1，y22 m2 x2m有Error!解得 0sin ，即 sin sin ，(2 )又 ， ，即 .(0，2) 2 (0，4)4已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，到另一个焦点的距离为 7，x2m y216则 m_.考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程答案 25解析 由椭圆的定义知，372a，得 a5，则 ma 225.5焦点在坐标轴上，且经过 A( ，2)和 B( ，1) 两点，求椭圆的标准方程2 3考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程
9、解 设椭圆的标准方程为 mx2ny 21(m0，n0 且 mn)，A( ，2) 和 B( ，1)两点在椭圆上，2 3Error!解得Error!椭圆的标准方程为 1.x2103 y2101平面内到两定点 F1，F 2 的距离之和为常数，即| MF1| |MF2|2a，当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当 2a|F 1F2|时，轨迹是线段 F1F2；当 2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的一、选择题1a6，c1 的椭圆的标准方程是( )A. 1 B. 1x236 y235 y236 x235C. 1 D以上都不对x236 y21考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭
10、圆的标准方程答案 D解析 因为椭圆的焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为 1 或 1.x236 y235 y236 x2352已知椭圆 5x2ky 25 的一个焦点坐标是(0,2)，那么 k 的值为( )A1 B1 C. D5 5考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 B解析 原方程可化简为 x2 1，y25k由 c2 14，得 k1.5k3椭圆 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2， N 是 MF1 的中点，则|ON|等于( )x225 y29A2 B4 C8 D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 如图，F 2 为椭圆的右焦点，连接 MF
11、2，则 ON 是F 1MF2 的中位线，| ON| |MF2|，又|MF 1| 2，|MF 1| MF2|2a10，12|MF 2|8，|ON| 4.4设 P 是椭圆 1 上一点，P 到两焦点 F1，F 2 的距离之差为 2，则PF 1F2 是( )x216 y212A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1| PF2|2a8，不妨设|PF 1|PF2|，|PF 1| |PF2| 2，|PF 1| 5，|PF 2|3，又|F 1F2|2c4，PF 1F2 为直角三角形5曲线 1 与 1(09k0，焦点在
12、y 轴上，故两者的焦点不同259(25k)(9k )16c 2，2c8，则两者焦距相等故选 B.6方程 1 表示椭圆的必要不充分条件是( )x24 m y22 mAm( 1,2)Bm(4,2)Cm(4，1)(1,2)Dm( 1， )考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 B解析 方程 1 表示椭圆的充要条件是x24 m y22 mError!即 m(4，1)( 1,2)由题意可得，所求 m 的取值范围包含集合 (4，1)( 1,2)观察选项，故选 B.7已知椭圆 y 21 的焦点为 F1，F 2，点 M 在该椭圆上，且 0，则点 M 到 xx24 MF1 MF2 轴的
13、距离为( )A. B. C. D.233 263 33 3考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 0， ，MF1 MF2 MF1 MF2 由|MF 1|MF 2|4，又|MF 1|2|MF 2|2(2 )212 ，3由与可得|MF 1|MF2|2，设 M 到 x 轴的距离为 h，则|MF 1|MF2| F1F2|h，h .223 33二、填空题8若椭圆的两个焦点为 F1( 3,0)，F 2(3,0)，椭圆的弦 AB 过点 F1，且ABF 2 的周长等于20，该椭圆的标准方程为_考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程答案 1x225 y216解析 如图，ABF 2 的周长
14、等于 20，4a20，即 a5，又 c3，b 2a 2c 25 23 216.椭圆的标准方程为 1.x225 y2169已知椭圆 1 的焦距为 4，则 m_.x210 m y2m 2考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 4 或 8解析 (1)当焦点在 x 轴上时，10m( m2) 4，解得 m4.(2)当焦点在 y 轴上时，m2(10 m )4，解得 m8，m4 或 8.10若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是x225 m y2m 9_考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 (8,25)解析 由题意得Error!
15、解得 8 b0)x2a2 y2b2设焦点 F1(c,0)，F 2(c,0)(c0)F 1AF 2A， 0.F1A F2A 而 (4c,3)， (4c, 3)，F1A F2A (4c)( 4c )3 20，c 225，即 c5.F 1(5,0)，F 2(5,0)2a|AF 1|AF 2| 4 52 32 4 52 32 4 .10 90 10a2 ，10b 2a 2c 2(2 )25 215.10所求椭圆的标准方程为 1.x240 y21513已知椭圆 1(ab0)的焦点分别为 F1(0，1)，F 2(0,1)，且 3a24b 2.y2a2 x2b2(1)求椭圆的方程；(2)设点 P 在椭圆上，
16、若|PF 1| PF2|1，求F 1PF2 的余弦值；求|PF 1|PF2|的最大值考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意，得椭圆焦点在 y 轴上，且 c1.又3a 24b 2，a 2b 2 a2c 21，14a 24，b 23，椭圆的标准方程为 1.y24 x23(2)由|PF 1|PF 2|1，又由椭圆的定义知，|PF 1| PF2|4，|PF 1| ，| PF2| ，|F 1F2|2，52 32cosF 1PF2 .(52)2 (32)2 2225232 35a2,4|PF 1| PF2|2 ，|PF1|PF2|当且仅当|PF 1| PF2|时取等号，|PF 1|PF2
17、| 4，当且仅当| PF1|PF 2|2 时取等号，|PF 1|PF2|的最大值为 4.四、探究与拓展14设定点 F1(0，3) ，F 2(0,3)，动点 P 满足条件| PF1| PF2|a (a0)，则点 P 的轨迹9a是( )A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段考点 椭圆的定义题点 由椭圆的定义确定轨迹答案 D解析 a0，a 2 6，9a a9a当且仅当 a ，即 a3 时取等号，9a当 a3 时，|PF 1| PF2|6|F 1F2|，点 P 的轨迹是线段 F1F2；当 a0 且 a3 时，| PF1|PF 2|6| F1F2|，点 P 的轨迹是椭圆15在 RtABC 中，CAB90，AB2，AC ，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，22且保持|PA| PB|的值不变，求曲线 E 的方程考点 椭圆的定义题点 由椭圆的定义确定轨迹解 如图，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，在 Rt ABC 中，|BC| ，|AC|2 |AB|2322|PA| |PB| |CA| CB| 2 ，且| PA|PB | |AB|，22 322 2由椭圆定义知，动点 P 的轨迹 E 为椭圆，且 a ，2c1，b1.所求曲线 E 的方程为 y 21.x22