2019年人教B版数学选修1-1学案:2.1.1 椭圆及其标准方程
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1、21.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一 椭圆的定义观察图形,回答下列问题:思考 1 如图,把细绳两端拉开一段距离,分别固定在图板上的两点 F1,F 2 处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么图形?答案 椭圆思考 2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件?答案 笔尖(动点)到两定点( 绳端点的固定点) 的距离之和始终等于绳长梳理 平面内与两个定点 F1,F 2 的距离之和等于定长(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点 F1,F 2 叫做椭圆
2、的焦点,两焦点的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距知识点二 椭圆的标准方程思考 椭圆方程中,a,b 以及参数 c 有什么几何意义,它们满足什么关系?答案 椭圆方程中,a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离之和的一半,可借助图形帮助记忆,a,b,c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边,a 是斜边,c 是焦距的一半a,b,c 始终满足关系式 a2b 2c 2.梳理 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(a b0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 F1(c,0),F 2(c,0) F1(0,c),F 2(0,c )a,b, c 的关系 c2 a2b 2(1)
3、平面内与两定点 F1,F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F 2 构成PF 1F2 的周长为定值( )(3)已知长、短轴长,椭圆的标准方程有两个,因为焦点在不同的坐标轴上,其标准方程不同( )类型一 椭圆的标准方程命题角度 1 求椭圆的标准方程例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)以坐标轴为对称轴,并且经过两点 A(0,2),B ;(12,3)(2)经过点(3 , ),且与椭圆 1 有共同的焦点15x225 y29考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程解 (1)方法一 当焦点在 x 轴上时,可设椭圆的标准方程为 1( ab0
4、),x2a2 y2b2A(0,2) ,B 在椭圆上,(12,3)Error!解得Error!这与 ab 相矛盾,故舍去当焦点在 y 轴上时,可设椭圆的标准方程为 1(a b0),y2a2 x2b2A(0,2) ,B 在椭圆上,(12,3)Error!解得Error!椭圆的标准方程为 x 21,y24综上可知,椭圆的标准方程为 x 21.y24方法二 设椭圆的标准方程为 mx2ny 21(m0,n0,mn)A(0,2) ,B 在椭圆上,(12,3)Error!Error!故椭圆的标准方程为 x2 1.y24(2)方法一 椭圆 1 的焦点为(4,0) 和(4,0),x225 y29由椭圆的定义可得
5、2a ,3 42 15 02 3 42 15 022a12,即 a6.c4,b 2a 2c 26 24 220,椭圆的标准方程为 1.x236 y220方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 1,x225 y29 将 x3,y 代入上面的椭圆方程,得15 1,3225 1529 解得 11 或 21(舍去),椭圆的标准方程为 1.x236 y220反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法,即根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后写出其方程(2)待定系数法先确定焦点位置;设出方程;寻求 a,b,c 的等量关系;求 a,b 的值,代入所设方程特别提醒:当椭圆的焦点位置不确定时,需要分焦点在 x 轴
6、上和在 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为 mx2ny 21(mn,m 0,n0)跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(0, 2),(0,2),并且椭圆经过点 ;( 32,52)(2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0) ;(3)经过点 P(2 ,1),Q( ,2)3 3考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知,2a ( 32)2 (52 2)2 ( 32)2 (52 2)22 ,10即 a .又 c2,10b 2a 2c 26
7、.所求椭圆的标准方程为 1.y210 x26(2)椭圆的焦点在 y 轴上,设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2又椭圆经过点(0,2)和(1,0) ,Error!Error!所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)设椭圆的方程为 mx2ny 21( m0,n0 ,且 mn),点 P(2 ,1),Q ( , 2)在椭圆上,3 3代入得Error!Error!所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25命题角度 2 由标准方程求参数或其取值范围例 2 若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 m 的取值范围是x2m y2m2 2_考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(
8、或其取值范围)答案 (0,1)解析 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,x2m y2m2 2将方程改写为 1,y22 m2 x2m有Error!解得 0sin ,即 sin sin ,(2 )又 , ,即 .(0,2) 2 (0,4)4已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,到另一个焦点的距离为 7,x2m y216则 m_.考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程答案 25解析 由椭圆的定义知,372a,得 a5,则 ma 225.5焦点在坐标轴上,且经过 A( ,2)和 B( ,1) 两点,求椭圆的标准方程2 3考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程
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