1、13 二项式定理13.1 二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题, 二项式定理二项式定理 (ab) nC anC an1 bC ank bkC bn(nN *)0n 1n kn n二项展开式 公式右边的式子二项式系数 C (k0，1，2，n)kn二项展开式的通项 Tk1 C ank bkkn通项公式中的注意点(1)Tk1 是展开式中的第 k1 项，而不是第 k 项； (2)公式中 a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a b
2、)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)(ab )n 展开式中共有 n 项( )(2)在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响( )(3)C ank bk 是(ab) n 展开式中的第 k 项( )kn(4)(ab )n 与(ab) n 的二项式展开式的二项式系数相同 ( )答案：(1) (2) (3) (4)的二项展开式中，第 4 项是( )(x 1x)16 AC x12 BC x10216 316CC x10 DC x8316 416答案：CC 2nC 2n1 C 2nk C 等于( )0n 1n kn nA2 n B2 n1C3 n D
3、1答案：C(12x) 5 的展开式的第三项的系数为 _，第三项的二项式系数为_答案：40 10探究点 1 二项式定理的正用与逆用(1)用二项式定理展开 ；(1 1x)4 (2)化简：(x1) 55( x1) 410( x1) 310(x1) 25( x1)【解】 (1)法一： 1C C C 1 .(1 1x)4 14(1x) 24(1x)2 34(1x)3 (1x)4 4x 6x2 4x3 1x4法二： (x1) 4 (x4C x3C x2C x1)1 .(1 1x)4 (1x)4 (1x)4 14 24 34 4x 6x2 4x3 1x4(2)原式C (x1) 5C (x1) 4C (x1)
4、 3C (x1) 2C (x1)C (x1) 0105 15 25 35 45 5(x1)1 51x 51. 运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab) n 的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解 ，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数注意 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的， 则是(ab) n 的形式 1.设 n 为自然数，化简 C 2nC 2n 1( 1)0n
5、1nkC 2nk ( 1) nC _kn n解析：原式C 2n(1) 0C 2n1 (1) 1( 1) kC 2nk (1) nC 20(2 1)0n 1n kn nn1.答案：12求(a2b) 4 的展开式解：(a2b) 4C a4C a3(2b)C a2(2b)2C a(2b)3C (2b)04 14 24 34 44a 48a 3b24a 2b232ab 316b 4.探究点 2 求二项展开式中的特定项或其系数已知( )n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，求：x2x(1)n 的值；(2)展开式中含 x3 的项【解】 (1)因为 T3C ( )n2 ( )24C x ，2n
6、x2x 2nn 62 T2C ( )n1 ( )1n x2x2C x ，1nn 32 依题意得 4C 2C 162，2n 1n所以 2C C 81，2n 1n所以 n281，n9.(2)设第 r1 项含 x3 项，则 Tr1 C ( )9r ( )rr9 x2x(2) rC x ，r99 3r2 所以 3，r1，所以第二项为含 x3 的项：9 3r2T22C x318x 3.191变问法 在本例条件下，求二项展开式的常数项解：因为 Tr1 (2) rC x ，若 Tr1 为常数项，则 93r0，所以 r3，因此常数项为r99 3r2 第 4 项(2) 3C 672.392变问法 在本例条件下，
7、求二项展开式的所有有理项解：因为 Tr1 (2) rC x ，r99 3r2 若 Tr1 为有理项 ，当且仅当 为整数9 3r2因为 0r9，rN，所以 r1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共 5 项，它们是T218x 3，T 4672，T 6 ，T 8 ，T 10 .4 032x3 4 608x6 512x9(1)求二项展开式特定项的步骤(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关 二项式(2x )6 的展开式中的常数项为_12x解析：T r1 C (2x)6r (1) r(
8、 )rr612x(1) rC 26r ( )rx62r ，令 62r0，得 r3，r612所以 T4(1) 3C 20.36答案：20探究点 3 二项式定理的灵活应用(1)( x2xy) 5 的展开式中， x5y2 的系数为( )A10 B20C30 D60(2)(2018三明高二检测)( xy)( xy) 8 的展开式中 x2y7 的系数为 _(用数字填写答案)【解析】 (1)法一：(x 2xy) 5( x2x)y 5，含 y2 的项为 T3C (x2x )3y2.25其中(x 2x) 3 中含 x5 的项为 C x4xC x5.13 13所以 x5y2 的系数为 C C 30. 故选 C.
9、25 13法二：(x 2xy )5 为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C C C 30. 故选 C.25 23 1(2)依题意，(xy) 8 的二项展开式的通项为 Tk1 C x8k yk，0k8，kZ .k8当 k7 时，T 8C xy78xy 7；78当 k6 时，T 7C x2y628x 2y6.68所以(x y)(xy )8 的展开式中含 x2y7 的项为 x8xy7(y)28x 2y620x 2y7，故 x2y7 的系数为20.【答案】 (1)C (2) 20(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题分别对每个
10、二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点找到构成展开式中特定项的组成部分分别求解再相乘，求和即得(2)三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决) ，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性 1.(2017高考全国卷) (1x) 6 展开式中 x2 的系数为( )(1 1x2)A15 B20C30 D35解析：选 C.(1x) 6 展开式的通项 Tr1 C xr，所以 (1x) 6 的展开式中 x2 的系数为r6 (1 1x2)1C 1C 30，故选 C.26 462求(x 23x2) 5 的展开式中 x 的
11、系数解：法一：因为(x 23x2) 5( x2) 5(x1)5(C x5C x42C 25)(C x5C x4C )，05 15 5 05 15 5所以展开后含 x 的项为 C x24C C 25C x240x，45 5 5 45所以(x 23x2) 5 的展开式中 x 的系数为 240.法二：把(x 23x2) 5 看成 5 个( x23x2) 相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x 项可由 1 个因式取 3x，4 个因式取 2 得到，即 C 3xC 24240x，15 4所以(x 23x2) 5 的展开式中 x 的系数为 240.1S(x1) 44(x 1) 36(x1) 24x
12、 3，则 S 等于( )Ax 4 Bx 41C(x2) 4 Dx 44解析：选 A.S(x 1) 44(x1) 36(x1) 24( x1) 1C (x1) 4C (x1) 3C (x1)04 14 242C (x1) C (x1) 1 4x 4，故选 A.34 42(x 2 )n 的展开式中，常数项为 15，则 n 的值为( )1xA3 B4C5 D6解析：选 D.展开式的通项为 Tr1 C (x2)nr (1) r(x1 )r(1) rC x2n3r .rn rn令 2n3r0，得 n r(n，rN *)，32若 r2，则 n3 不符合题意，若 r4，则 n6，此时(1) 4C 15，所以
13、 n6.463(2016高考全国卷)(2 x )5 的展开式中，x 3 的系数是_(用数字填写答案)x解析：由(2x )5 得 Tr1 C (2x)5r ( )rx r5 x25r C x5 ，令 5 3 得 r4，此时系数为 10.r5r2 r2答案：104求二项式( )9 展开式中的有理项x 3x解：T r1 C (x )9r (x )r (1) rC x ，令 Z(0r9)，r912 13 r927 r6 27 r6得 r3 或 r9，所以当 r3 时， 4，27 r6T4( 1)3C x484x 4，39当 r9 时， 3，27 r6T10( 1)9C x3x 3.9综上：展开式中的有
14、理项为84x 4 与x 3.知识结构 深化拓展1.二项展开式的特点(1)项数：共有(n1)项(2)二项式系数：依次为组合数C ，C ，C ，C ，C .0n 1n 2n kn n(3)每一项的次数是一样的，都为 n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列2求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第 k 项T kC ank 1 bk1 .k 1n(2)求常数项对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)(3)求有理项对于有理数，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来
15、求解(4)求整式项，求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致., A 基础达标1(x 2)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )A9 B10C11 D8解析：选 B.因为(ab) n 的展开式共有 n1 项，而( x2) n 的展开式共有 11 项，所以 n10.故选 B.2(x 2 )5 展开式中的常数项为( )2x3A80 B80C40 D40解析：选 C.Tk1 C (x2)5k ( )kk52x3C 2kx105k ，k5令 105k0 得 k2.所以常数项为 T3C 2240.253在 (nN *)的展开式中，若存在常数项，则 n
16、 的最小值是( )(2x3 1x2)n A3 B5C8 D10解析：选 B.Tk1 C (2x3)nk 2 nk C x3n5k ，kn (1x2)kkn令 3n5k0，则 n k，53又 nN *，kN ，所以 n 的最小值为 5.4(2018浙江宁波北仑中学高二下学期期中) 二项式 的展开式中的有理项共有( )(x2 2x)10 A4 项 B5 项C6 项 D7 项解析：选 C.二项式 的展开式中，通项公式为 Tr1 C 2rx20 .令 20 为整(x2 2x)10 r10 5r2 5r2数，可得 r0，2，4，6，8，10，共 6 项故选 C.5二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则
17、x2dx 的值为( )(ax 36)6 3a 2A. B373C3 或 D3 或73 103解析：选 A.因为 Tr1 C (ax)6r C a6r x6r ，因为展开式的第二项的系数为r6 (36)rr6 (36)r， 所以 C a5 ，所以 a1，3 1636 3因为 x2dx x2dx x3 ，所以选 A.a 2 1 2 13 | 1 2) ( 13) ( 83) 736在 的展开式中，中间项是_(2x2 1x)6 解析：由 n6 知，中间项是第 4 项，T 4C (2x2)3 C (1) 323x3160x 3.36 ( 1x)3 36答案：160x 37(2016高考山东卷)若(ax
18、 2 )5 的展开式中 x5 的系数是80，则实数 a_1x解析：(ax 2 )5 的展开式的通项 Tr1 C (ax2)5r ( )r C a5r x10 ，令 10 r5，1x r5 1x r5 5r2 52得 r2，所以 C a380，25解得 a2.答案：28(1x) 2(1x )5 的展开式中含 x3 的项是_解析：法一：(1x) 2(1x) 5(1x 2)2(1x )3(12x 2x 4)(13x3x 2x 3)，所以 x3 的系数为 1(1) ( 2)(3)5.故含 x3 的项为 5x3.法二：因为(1x) 2 的通项：T r1 C xr，r2(1x) 5 的通项：T k1 (1
19、) kC xk，k5所以(1x) 2(1x) 5 的通项：(1) kC C xkr (其中 r0，1，2，k0，1，2，3，4，5)r2 k5令 kr3，则有 或 或k 1，r 2) k 2，r 1) k 3，r 0. )所以 x3 的系数为C C C C 5，故含 x3 的项为 5x3.15 12 25 35答案：5x 39已知(3 )10，求：x23x(1)展开式第四项的二项式系数；(2)展开式中第四项的系数；(3)第四项解：(3 )10 的展开式的通项是：x23xTk1 C (3 )10k ( )kk10 x23x( )kC 310k x5 k.23 k10 32(1)展开式第四项的二项
20、式系数为当 k3 时，C 120.310(2)展开式中第四项的系数为( )3C 3777 760.23 310(3)展开式中的第四项为：T4( )3C 37x5 377 760 .23 310 32 x10设(x )n 的展开式中第二项与第四项的系数之比为 12，求含 x2 的项2解：(x )n 的展开式中第二项与第四项分别为：2T2C xn1 ( ) nxn1 ，1n 2 2T4C xn3 ( )32 C xn3 .3n 2 2 3n根据题意得到 ，12整理得 n23n40，解得 n4 或 n1(没有意义 ，舍去) 设(x )4 的展开式中含 x2 的项为第(r1) 项，2则 Tr1 C x
21、4r ( )r(r0，1，2，3，4)，r4 2根据题意有 4r2，解得 r2，所以(x )4 的展开式中含 x2 的项为 T3C x2( )212x 2.2 24 2B 能力提升11(2018沈阳高二检测)若对于任意实数 x，有 x3a 0a 1(x2) a 2(x2) 2a 3(x2) 3，则 a2 的值为( )A3 B6C9 D 12解析：选 B.x3 2( x2) 3，a 2C 26.2312(2018合肥高二检测)已知 C 2C 2 2C 2 nC 729，则 C C C 的值为( )0n 1n 2n n 1n 3n 5nA64 B32C63 D 31解析：选 B.C 2C 2 nC
22、 (12) n3 n729，0n 1n n所以 n6，所以 C C C 32.16 36 5613已知在( x2 )n 的展开式中，第 9 项为常数项求：12 1x(1)n 的值；(2)展开式中 x5 的系数；(3)含 x 的整数次幂的项的个数解：二项展开式的通项为 Tk 1C ( x2)nk kn12( )k(1) k( )nk C x2n k.1x 12 kn 52(1)因为第 9 项为常数项，即当 k8 时，2n k0，即 2n200，解得 n10.52(2)令 2n k5，得 k (2n5) 6，所以 x5 的系数为( 1) 6( )4C .52 25 12 610 1058(3)要使
23、 2n k，即 为整数，只需 k 为偶数，由于 k0，1，2，3，9，10，故符52 40 5k2合要求的有 6 项，分别为展开式的第 1，3，5，7，9，11 项14(选做题) 求 的展开式中整理后的常数项(x2 1x 2)5解：法一：( )5 在 x0 时可化为( )10，因而通项 Tr1 C ( )10r ( )102r ，x2 1x 2 x2 1x r1012 x则 r5 时为常数项，即 C ( )5 .51012 6322法二：(化三项式为二项式)原式( )5 (x )25 (x )10.x2 22x 22x 132x5 2 132x5 2求原展开式中的常数项，转化为求(x )10 的展开式中含 x5 的项的系数，2即 C ( )5.510 2所以所求的常数项为 .6322