1、2017 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|ylg （x1） ，By|y ，则A（ UB）（ ）A1，2 B1，2） C （1，2 D （1，2）2 （5 分）已知复数 z ，则（ ）Az 的虚部为1 Bz 的实部为 1C|z|2 Dz 的共轭复数为 1+i3 （5 分）已知 （3，2，5） ， （1，x，1） ，且 2，则 x 的值是（ ）A6 B5 C4 D34 （5 分）曲线 y2lnx 上的点到直线 2xy+30 的最短距离为
2、（ ）A B2 C3 D25 （5 分）若命题 p：从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得到都是正品的概率为三分之一；命题 q：在边长为 4 的正方形 ABCD 内任取一点 M，则AMB 90的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）Apq B （p）q Cp（q） Dq6 （5 分） 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝望岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法
3、有（ ）A144 种 B288 种 C360 种 D720 种7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）第 2 页（共 25 页）A25 B50 C75 D1008 （5 分）已知函数 f（x ） x3ax，在 x 处取得极小值，记 g（x） ，程序框图如图所示，若输出的结果 S ，则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是（ ）An12？ Bn12？ Cn13？ Dn13？9 （5 分）已知函数 f（x ）sin 2x （0）的周期为 ，若将其图象沿 x
4、 轴向右平移 a 个单位（a0） ，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ）A B C D10 （5 分）已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，且 s6 s7s 5，给出下列五个命题：d0 ；S 110；S 120；数列 Sn中的最大项为 S11；| a5|a 7|其中正确命题的个数为（ ）A2 B3 C4 D5第 3 页（共 25 页）11 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F2的直线交双曲线的右支于 P，Q 两点，若|PF 1| F1F2|，且 3|PF2|2| QF2|，则该双曲线的离心率为（
5、）A B C2 D12 （5 分）对函数 f（x ） ，如果存在 x00 使得 f（x 0）f（x 0） ，则称（x 0，f（x 0） ）与（x 0，f（ x 0） ）为函数图象的一组奇对称点若 f（ x）e xa（e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （e，+） D1 ，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 14 （5 分）给出下列四个结论： （x
6、 2+sinx）dx 18，则 a3；用相关指数 R2 来刻画回归效果，R 2 的值越大，说明模型的拟合效果越差；若 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x +2）f （x ） ，则函数 f（x）的图象关于 x1 对称；已知随机变量 服从正态分布 N（1， 2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21；其中正确结论的序号为 15 （5 分）若 ，则 a5 16 （5 分）已知数列a n满足 a1 ，a n+1a n2+an（nN*） ，则 的整数部分是 三、解答题（本大题共 5 小题，
7、共 70 分）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且第 4 页（共 25 页）（1）求 A 的大小；（2）若 ，D 是 BC 的中点，求 AD 的长18 （12 分）春节来临，有农民工兄弟 A、B、C 、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若A、B 、C 、D 获得火车票的概率分别是 ，其中 p1p 3，又成等比数列，且 A、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 （1）求 p1，p 3 的值；（2）若 C、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家设 X 表示 A、B、C 、D
8、 能够回家过年的人数，求 X 的分布列和期望 EX19 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2 ，AD ，M 为 DC 的中点，将DAM 沿AM 折到DAM 的位置， ADBM（1）求证：平面 DAM平面 ABCM；（2）若 E 为 DB 的中点，求二面角 EAMD的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C1： + 1，圆 C2：x 2+y2 t 经过椭圆 C1 的焦点（1）设 P 为椭圆上任意一点，过点 P 作圆 C2 的切线，切点为 Q，求POQ 面积的取值范围，其中 O 为坐标原点；（2）过点 M（1，0）的直线 l 与曲线 C1，C 2 自上而下依次交于点 A，B ，C ，D，若|A
9、B| CD|，求直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）ln （ax+1）ax lna （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 h（x）ax f（x） ，当 h（x）0 恒成立时，求 a 的取值范围；（3）若存在 ，x 20，使得 f（x 1）f（x 2）0，判断 x1+x2 与 0 的大小第 5 页（共 25 页）关系，并说明理由选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 y8 ，圆 C 的参数方程是（ 为参数） 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；（2）射线 OM：（其
10、中 ）与圆 C 交于 O、P 两点，与直线 l 交于点M，射线 ON： 与圆 C 交于 O、Q 两点，与直线 l 交于点 N，求的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）k|x 3|，k R，且 f（x+3）0 的解集为 1，1（）求 k 的值；（）若 a、b、c 是正实数，且 ，求证： 第 6 页（共 25 页）2017 年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|ylg （x1） ，By|y ，则A（ UB）（ ）A1，2 B1，2
11、） C （1，2 D （1，2）【分析】根据题意，由集合的表示方法分析 A、B，求出 B 的补集，由集合的交集定义计算可得答案【解答】解：集合 Ax| ylg（x1），为函数 ylg（x1）的定义域，则 Ax|ylg（x1） （1，+） ，集合 B y|y ，为函数 y 的值域，则 By|y 2，+ ） ，UB（，2）A（ UB）（1，2） ；故选：D【点评】本题考查集合交并补的混合运算，关键是掌握集合的表示方法2 （5 分）已知复数 z ，则（ ）Az 的虚部为1 Bz 的实部为 1C|z|2 Dz 的共轭复数为 1+i【分析】化简已知复数可得其虚部，可得答案【解答】解：化简可得
12、 z 1i，z 的虚部为1，故选：A【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题第 7 页（共 25 页）3 （5 分）已知 （3，2，5） ， （1，x，1） ，且 2，则 x 的值是（ ）A6 B5 C4 D3【分析】由题意可得 31+2x+5（1）2，解方程可得【解答】解： （3，2，5） ， （1，x，1） ， 31+2x+5（1）2，解得 x5故选：B【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属基础题4 （5 分）曲线 y2lnx 上的点到直线 2xy+30 的最短距离为（ ）A B2 C3 D2【分析】设与直线 2xy +30 平行且与曲线 y2lnx
13、相切的直线方程为2xy+m0设切点为 P（x 0，y 0） ，利用导数的几何意义求得切点 P，再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：设与直线 2xy+30 平行且与曲线 y2lnx 相切的直线方程为2xy+m0设切点为 P（x 0，y 0） ，y ，斜率 2，解得 x01，因此 y02ln10切点为 P（1，0） 则点 P 到直线 2xy +30 的距离 d 曲线 y2lnx 上的点到直线 2xy+30 的最短距离是 故选：A【点评】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题5 （5 分）若命题 p：从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得
14、到都是正品的概率为三分之一；命题 q：在边长为 4 的正方形 ABCD 内任取一点 M，则AMB 90的概率为第 8 页（共 25 页），则下列命题是真命题的是（ ）Apq B （p）q Cp（q） Dq【分析】分别求出相应的概率，确定 p，q 的真假，即可得出结论【解答】解：从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得都是正品的概率为 ，即 p 是假命题；如图正方形的边长为 4：图中白色区域是以 AB 为直径的半圆当 P 落在半圆内时，APB90；当 P 落在半圆上时，APB90；当 P 落在半圆外时，APB90；故使AMB 90 的概率 P 即 q 为真命题，（p）q
15、为真命题，故选：B【点评】本题考查概率的计算，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6 （5 分） 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝望岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在第 9 页（共 25 页）望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A144 种 B288 种 C360 种 D720 种【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、用倍分法分析将进酒 、 望岳和另两首诗词的排法数目，、用插空法分
16、析山居秋暝与送杜少府之任蜀州的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：、将 将进酒 、 望岳和另两首诗词的 4 首诗词全排列，有 A4424 种顺序，由于将进酒排在望岳前面，则这 4 首诗词的排法有 12 种，、这 4 首诗词排好后，不含最后，有 4 个空位，在 4 个空位中任选 2 个，安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州 ，有 A4212 种安排方法，则后六场的排法有 1212144 种；故选：A【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是分析题意，找到满足题意的分步分析的步骤7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该
17、几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A25 B50 C75 D100【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3 的长方体的外接球第 10 页（共 25 页）【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3 的长方体的外接球，故球 O 的半径 R 满足：4R 2 32+42+5250，故球 O 的表面积 S50，故选：B【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档8 （5 分）已知函数 f（x ） x3ax，在 x 处取得极
18、小值，记 g（x） ，程序框图如图所示，若输出的结果 S ，则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是（ ）An12？ Bn12？ Cn13？ Dn13？【分析】由函数 f（x ） x3ax，在 x 处取得极小值，可求出 a 值，进而求出函数 f（x）及函数 g（x）的解析式，然后利用裂项相消法，可求出 g（1）+g（2）+g（3）+ g（n）的值与 n 的关系，分析出最后进行循环的循环变量 n 的终值，分析后可得判断条件【解答】解：f（x ） x3ax，f（x）4 x2a，f（x）在 x 处取得极小值，f（ ）4（ ） 2a 0，解得 a1，第 11 页（共 25 页）f（x）
19、x3x，f（x）4 x21，g（x） （ ） ，Sg（1）+g（2）+ g（3）+ +g（n） （1 ）+ （ ）+ + （ ） （1 ） ，若输出的结果 S ，解得：n12，则表示累加的终值应满足 n12，即 n13 时，满足进入循环进行累加的条件，n13 退出循环，故选：C【点评】此题重点考查了导数的应用，还考查了循环程序的程序框图、归纳推理、裂项相消求和等知识，同时考查了分析问题的能力，属于中档题9 （5 分）已知函数 f（x ）sin 2x （0）的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a0） ，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ）A B C D
20、【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得 的值，可得函数的解析式，利用函数 yAcos（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得 a 的最小值【解答】解：f（x ）sin 2（x） cos2x， ，解得：2，f（x） cos4x，将函数 f（x）图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a0） ，得到的新函数为 g（x） cos（4x4a） ，第 12 页（共 25 页）cos4a0，4ak+ ，k Z，当 k0 时，a 的最小值为 故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数 yAcos（ x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数
21、的奇偶性，属于基础题10 （5 分）已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，且 s6 s7s 5，给出下列五个命题：d0 ；S 110；S 120；数列 Sn中的最大项为 S11；| a5|a 7|其中正确命题的个数为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】利用等差数列通项公式、前 n 项和公式直接求解【解答】解：等差数列a n中，s 6s 7s 5，a 10，d0，故不正确；s 6s 7s 5， a 6S 6S 50，a 7S 7S 60，S1111a 1+55d11（a 1+5d）11a 60，故 正确；s 6s 7s 5， a 6+a7S 7S 50，S 1212a 1+66
22、d12（a 1+a12）12（a 6+a7）0，故 不正确；a 1+6d0，a 1+5d0，S 6 最大，故 不正确；a 6S 6S 50，a 7S 7S 60，a 6+a7S 7S 50，|a 5| |a7|，故 正确故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的前 n 项和公式、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题11 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F2的直线交双曲线的右支于 P，Q 两点，若|PF 1| F1F2|，且 3|PF2|2| QF2|，则该双曲线的离心率为（ ）A B
23、 C2 D【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线 l，设 P 到 l 的距离为 d，根据双曲线的第第 13 页（共 25 页）二定义即可求出 Q 到 l 的距离为 过 Q 作 l 的垂线 QQ1，而过 P 作 QQ1 的垂线PM，交 x 轴于 N，在PMQ 中有 ，这样即可求得 d ，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF 2|2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成 ，这样解关于 的方程即可【解答】解：如图，l 为该双曲线的右准线，设 P 到右准线的距离为 d；过 P 作 PP1l ，QQ 1l，分别交 l 于 P1，Q 1； ，3|PF 2|2|QF 2|； ， ；过
24、 P 作 PMQQ 1，垂直为 M，交 x 轴于 N，则： ；解得 d ；根据双曲线的定义，|PF 1|PF 2|2a，|PF 2|2c2 a；根据双曲线的第二定义， ；整理成： ；解得 （舍去） ；即该双曲线的离心率为 故选：A第 14 页（共 25 页）【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系12 （5 分）对函数 f（x ） ，如果存在 x00 使得 f（x 0）f（x 0） ，则称（x 0，f（x 0） ）与（x 0，f（ x 0） ）为函数图象的一组奇对称点若 f（ x）e xa（e
25、 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （e，+） D1 ，+）【分析】由方程 f（x ）f（x）有非零解可得 e2x2ae x+10 有非零解，令 ext，则关于 t 的方程 t22at+10 有不等于 1 的正数解，利用二次函数的性质列出不等式组解出 a 的范围【解答】解：f（x ）e xa 存在奇对称点，f（x）f（x ）有非零解，即 exaae x 有非零解，e 2x2ae x+10 有非零解设 ext ，则关于 t 的方程 t22at+10 在（0，1）（1，+）上有解； ，解得 a1若 t1 为方程 t22at+1
26、0 的解，则 22a0，即 a1，此时方程只有一解 t1，不符合题意；a1综上，a1故选：B第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查了函数零点存在性的判断，二次函数的性质，换元转化思想，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 1 【分析】画出图形，求出区域面积以及满足条件的 P 的区域面积，利用几何概型公式解答【解答】解：不等式组表示的区域 D 如图三角形区域，面积为 ，在区域 D 内随机取一个点 P，则此点到坐标原点的距离大
27、于 2 的点 P 落在圆 x2+y24内对应区域外的部分，面积为 ，由几何概型的公式得到所求概率为：；故答案为：1【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于 2 的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点14 （5 分）给出下列四个结论：第 16 页（共 25 页） （x 2+sinx）dx 18，则 a3；用相关指数 R2 来刻画回归效果，R 2 的值越大，说明模型的拟合效果越差；若 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x +2）f （x ） ，则函数 f（x）的图象关于 x1 对称；已知随机变量 服从正态分布 N（1， 2）
28、 ，P（4）0.79，则 P（2）0.21；其中正确结论的序号为 【分析】求出被积函数，由定积分公式，计算可得 a，即可判断；由用相关指数 R2 来刻画回归效果，R 2 的值越大，说明模型的拟合效果越好，即可判断；应用奇函数的定义和对称性，即可判断；由正态分布的特点，曲线关于 x1 对称，即可判断【解答】解：对于， （x 2+sinx）dx （ x3cosx） a3018，则a3，故正确；对于 ，用相关指数 R2 来刻画回归效果，R 2 的值越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；对于 ，若 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，可得 f（x ）f（x） ，又 f（x +2）f（x）
29、，即有 f（2+x ） f（x） ，则函数 f（x）的图象关于 x1 对称，故正确；对于 ，已知随机变量 服从正态分布 N（1， 2） ，曲线关于 x1 对称，P（4）0.79，则 P（2）P（4）1P（4）10.790.21，故正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查定积分的计算和线性回归的特点，以及函数的对称性和正态分布的特点，考查判断能力和运算能力，属于基础题15 （5 分）若 ，则 a5 251 【分析】根据 x10x 5（x1）+1 10（x1）+1 5，利用二项式展开式的通项公式，第 17 页（共 25 页）求得 a5 的值【解答】解：x 10x 5（x1）+1 1
30、0（x1）+1 5，a 5 251，故答案为：251【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题16 （5 分）已知数列a n满足 a1 ，a n+1a n2+an（nN*） ，则 的整数部分是 1 【分析】数列a n满足 a1 ，a n+1a n2+an（nN*） ，可得： ， ，利用裂项求和可得： 2 另一方面：a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 + 1，因此 n4 时，（0，1） 即可得出 的整数部分【解答】解：数列a n满足 a1 ，a n+1a n2+an（nN*） ， ， ， + + 2 另一方面：a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5+
31、 1，因此 n4 时， （0，1） 的整数部分是 1故答案为：1【点评】本题考查了数列递推公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与第 18 页（共 25 页）计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（1）求 A 的大小；（2）若 ，D 是 BC 的中点，求 AD 的长【分析】 （1）由正弦定理，得 ，结合余弦定理可得：cosA ，结合范围 0 A，即可得解 A 的值（2）由已知及（1）利用余弦定理可求 c 的值，又 （ ） ，平方后即可得解AD 的值【解答】 （本题满分为 10 分
32、）解：（1）由正弦定理，得：，即 ，（2 分）由余弦定理可得：cosA ，4 分0A，A 5 分（2）将 ，代入 a2b 2+c2+ bc，可得：c 2+6c720，因为 c0，所以 c6（6 分）又 （ ） ，| |2 （ ） 2 （c 2+2cbcosA+b2） ，所以 （10 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及平面向量的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）春节来临，有农民工兄弟 A、B、C 、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若第 19 页（共 25 页）A、B、C 、
33、D 获得火车票的概率分别是 ，其中 p1p 3，又成等比数列，且 A、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 （1）求 p1，p 3 的值；（2）若 C、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家设 X 表示 A、B、C 、D 能够回家过年的人数，求 X 的分布列和期望 EX【分析】 （1）由 A、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 ，列出方程组，能求出p1，p 3 的值（2）由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列和 EX【解答】解：（1）A、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 ， （1 分）联立方程组 ，（3 分）由 p1
34、p 3，解得 （5 分）（2）由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，（6 分）（7 分）（8 分）（9 分）（10 分）X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P（11 分）第 20 页（共 25 页）（12 分）【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题19 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2 ，AD ，M 为 DC 的中点，将DAM 沿AM 折到DAM 的位置， ADBM（1）求证：平面 DAM平面 ABCM；（2）若 E 为 DB 的中点，
35、求二面角 EAMD的余弦值【分析】 （）推导出AMB90，D 'ABM，从而 BM面 D'AM，由此能证明面ABCM面 D'AM（）在平面 D'AM 内过 M 作直线 NMMA，以 M 为原点， 分别为x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 EAMD '的余弦值【解答】证明：（）由题知，在矩形 ABCD 中，AMDBMC45，AMB 90 ，又 D'ABM， BM面 D'AM，BM 面 ABCM，面 ABCM面 D'AM；解：（）由（）知，在平面 D'AM 内过 M 作直线 NMMA，则 NM平面
36、 ABCM，故以 M 为原点， 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 M（0，0，0） ，A（2，0， 0） ，B（0，2，0） ，D '（1，0，1） ，于是 ， ， ，设平面 EAM 的法向量为 ，第 21 页（共 25 页）则 令 y1，得平面 EAM 的一个法向量 ，平面 D'AM 的一个法向量为 ，故 ，即二面角 EAM D' 的余弦值为 【点评】本题考查二面角及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想，数形结合思想，是中档题20 （12 分）已知椭圆 C1： +
37、 1，圆 C2：x 2+y2 t 经过椭圆 C1 的焦点（1）设 P 为椭圆上任意一点，过点 P 作圆 C2 的切线，切点为 Q，求POQ 面积的取值范围，其中 O 为坐标原点；（2）过点 M（1，0）的直线 l 与曲线 C1，C 2 自上而下依次交于点 A，B ，C ，D，若|AB| CD|，求直线 l 的方程【分析】 （1）由题意的焦点坐标，求得 t 的值，则丨 PO 丨2， ，利用三角形的面积公式，即可求得POQ 面积的取值范围；（2）将直线 l 的方程，代入椭圆方程及圆的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 m 的值，求得直线直线 l 的方程【解答】解：（1）椭圆 C1：
38、 + 1 的焦点坐标为（ ，0） ，则 t2，（1分）设 P（x ，y） ，则丨 PO 丨 ，第 22 页（共 25 页）由 x20，6，则丨 PO 丨2， ，（3 分）则POQ 面积 S，S 1， ，POQ 面积的取值范围 1， ；（5 分）（2）设直线 l 的方程为：x my 1；联立 ，消去 x，整理得（2m 2+3）y 24my100，设 A（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则 y1+y2 （7 分）联立 ，消去 x，得（m 2+1）y 22my10，设 B（x 3，y 3） ，D（x 3，y 4） ，则 y3+y4 ，（9 分）又丨 AB 丨丨 CD 丨，则 ，即 y3y
39、 1y 2y 4， （10 分）从而 y1+y2y 3+y4，即 ，解得 m0，直线 l 的方程为 x1（12 分）【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ln （ax+1）ax lna （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 h（x）ax f（x） ，当 h（x）0 恒成立时，求 a 的取值范围；（3）若存在 ，x 20，使得 f（x 1）f（x 2）0，判断 x1+x2 与 0 的大小关系，并说明理由【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即
40、可；（2）求出 h（x）的导数，根据函数的单调性求出 h（x）的最小值，问题转化为，解出即可；（3）构造函数 ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到 f（x 1）f（x 1） 0，判断出 x1+x2 与 0 的大小关系即可【解答】解：因为 f（x ）ln（ax+1）ax lna ，所以 且 a0第 23 页（共 25 页）（1）易知 f（x ）的定义域为 ， （1 分）又 a0，在区间 上，f'（x ）0；在区间（0，+上，f （x ）0，所以 f（x）在（ ，0）上是增函数，在（0，+）上是减函数 （3 分）（2）因为 a0，h（x）axf （
41、x） ，则 h（x）2ax ln（x+ ） ，由于 h（x）2a ，（5 分）所以在区间（ ， ）上，h（x）0；在区间（ ，+）上，h（x）0，故 h（x）的最小值为 h（ ） ，所以只需 h（ ）0，即 ，即 ，解得 a ，故 a 的取值范围是：（ ，+） （8 分）（3）x 1+x2 与 0 的大小关系是 x1+x20构造函数 ，则 ， ，因为 ，所以 ，0a 2x21，1a 2x210，则 ，即 g'（x）0，所以函数 g（x）在区间 上为减函数因为 ，所以 g（x 1）g（0）0，于是 f（x 1） f（x 1）0，又 f（x 1）0，则 f（x 1） 0f（x 2） ，由
42、f（x）在（0，+）上为减函数，可知 x2x 1，即 x1+x20（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，第 24 页（共 25 页）考查转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 y8 ，圆 C 的参数方程是（ 为参数） 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；（2）射线 OM：（其中 ）与圆 C 交于 O、P 两点，与直线 l 交于点M，射线 ON： 与圆 C 交于 O、Q 两点，与直线 l 交于点 N，求的最大值【分析
43、】 （）由直线的直角坐标方程能求出直线 l 的极坐标方程，由圆 C 的参数方程，能求出圆 C 的普通方程，从而能求出圆 C 的极坐标方程（）求出点 P，M 的极坐标，从而 ， ，由此能求出 的最大值是 【解答】解：（）直线 l 的方程是 y8，直线 l 的极坐标方程是 sin8圆 C 的参数方程是 （ 为参数） ，圆 C 的普通方程分别是 x2+（y 2） 24，即 x2+y24y0，圆 C 的极坐标方程是 4sin （5 分）（）依题意得，点 P，M 的极坐标分别为 和 ，|OP |4sin ，|OM| ，从而 同理， ，第 25 页（共 25 页）故当 时， 的值最大，该最大值是 （10
44、分）【点评】本题考查与线与圆的杉坐标方程的求法，考查两组线段比值的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）k|x 3|，k R，且 f（x+3）0 的解集为 1，1（）求 k 的值；（）若 a、b、c 是正实数，且 ，求证： 【分析】 （）由题意可得|x |k 的解集为1，1 ， （k 0） ，由绝对值不等式的解法，即可求得 k1；（）将 k1 代入，再由乘 1 法，可得 a+2b+3c（a+2b+3c） （ + + ） ，展开运用基本不等式即可得证【解答】 （）解：f（x +3）0 的解集为 1，1，即为|x|k 的解集为1，1 ， （k 0） ，即有k，k 1，1，解得 k1；（）证明：将 k1 代入可得，+ + 1（a，b，c0） ，则 a+2b+3c（a+2 b+3c） （ + + ）3+（ + ）+（ + ）+（ + ）3+2 +2 +2 3+2+2+29，当且仅当 a2b3c，上式取得等号则有 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添 1 法和基本不等式是解题的关键