1、 1 / 10第 24 讲 抽屉原理二内容概述抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果” ，有时还应构造出达到最佳状态的例子典型问题兴趣篇1将 60 个红球、8 个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？217 名同学参加一次考试，考试题是 3 道判断题（答案只有对或错） ，每名同学都在答题纸上依次写上了 3 道题目的答案请问：至少有几名同学的答案是一样的？3任意写一个由数字 1、2 组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等4将 1 至 6 这 6
2、 个自然数随意填在图 2，4-1 的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于 8。5从 l，2，3，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数，请说明：(1)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50；(2)在这 51 个数中，一定有两个数差 16从 1，2，3，21 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于477从 1 至 11 这 11 个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为 1278(1)任给 4 个自然数，请说明：一定有两个数的差是 3 的倍数；2 / 10(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是 7 的倍
3、数？9至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数10在一个边长为 2 厘米的等边三角形内（包括边界）选出 5 个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于 1超越篇1如图 242，将 2 行 5 列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的2任意写一个由数字 l、2、 3 组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等327 只小猴分 140 颗花生，每只小猴最少分 1 颗，最多分 9 颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一
4、样多？4能否在 44 方格表的每个格子中填 l、2、3 中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？5从 l 至 99 这 99 个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于 1007 最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 5？6如果在 1，2，n 中任取 19 个数，都可以保证其中必有两个数的差是 6，那么 n 最大是多少？3 / 107从 1 至 50 这 50 个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？8从 1 至 30 这 30 个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除请问：最多能取出多少个数？9请说
5、明：任意 5 个数中必有 3 个数的和是 3 的倍数10任选 7 个不同的数，请说明：其中必有 2 个数的和或者差是 10 的倍数。11有 9 个人，每人至少与另外 5 个人互相认识试证明：可以从中找到 3 个人，他们彼此相互认识12(1)在一个边长为 1 的正方形里放/23 个点，以这 3 个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？(2)在一个边长为 1 的正方形中随意放入 9 个点，这 9 个点任何三点不共线，请说明：这 9 个点中一定有 3 个点构成的三角形面积不超过 81拓展篇1从 l 至 12 这 12 个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？2(1)
6、请说明：在任意的 68 个自然数中，必有两个数的差是 67 的倍数；(2)请说明：在 1，11，111，1111，这一列数中必有一个是 67 的倍数3求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a、b、c、d、e、f ，使得(a b)(c d)(e f)是 105 的倍数4 / 104从 l 至 25 这 25 个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于另两个不同数的乘积525 名男生与 25 名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生6时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，11，12 这 12 个数，在其上任意做 n 个
7、120的扇形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好取出 3 个，这 3 个扇形能覆盖整个钟面的全部 12 个数，求 n 的最小值7(1)将一个 55 的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个顶点处的四个方格同色；(2)将一个 419 的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个顶点处的四个方格同色8从 1 至 2000 这 2000 个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于 4 也不等于 7?5 / 10第 24 讲 抽屉原理二内容概述抽屉原理在教字、表格、图形等具
8、体问题中有较复杂的应用能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果” ，有时还应构造出达到最佳状态的例子典型问题兴趣篇1将 60 个红球、8 个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？答案：7详解：60（81 ）=66,61=7 个。217 名同学参加一次考试，考试题是 3 道判断题（答案只有对或错） ，每名同学都在答题纸上依次写上了 3 道题目的答案请问：至少有几名同学的答案是一样的？答案：3详解：答案的结果有 23=8 种情况，即 8 个抽屉。178=21，21=3 名。3任意写一个由数字 1、2 组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同
9、位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等详解：两位数的情况共 4 种：12,21,11,22。六位数可以截取出 5 个两位数，所以必有重复。4将 1 至 6 这 6 个自然数随意填在图 2，4-1 的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于 8。详解：1234 567=21,213=7，图形总共有 3 行，第一行只有一个数，最大填 6，那么后两行至少有一行是大于 7 的整数，即不小于 8。5从 l，2，3，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数，请说明：(1)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50；详解：构造差为 50 的抽屉：（1,51） 、 （2,52） 、
10、 （50,100） ，共 50 个抽屉。选出 51 个数，必有两数来自一组，即差为 50.(2)在这 51 个数中，一定有两个数差 16 / 10详解：构造差为 1 的抽屉：（1,2） 、 （3,4） 、 （99,100） ，共 50 个抽屉。必有两数来自一组，即差为 1.6从 1，2，3，21 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12详解：构造差为 4 的抽屉：（1,5） 、 （2,6） 、 （3,7） 、 （4,8） 、 （9,13） 、 （10，14） 、 （11，15） 、 （12,16） 、（17,21） 、 （18） 、 （19） 、 （20）
11、共 12 个抽屉，最多取 12 个数。7从 1 至 11 这 11 个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为 12？答案：7详解：构造和为 12 的抽屉：（1,11） 、 （2,10） 、 （3,9） 、 （4,8） 、 （5,7） 、 （6）共 6 个抽屉，至少取 7个。8(1)任给 4 个自然数，请说明：一定有两个数的差是 3 的倍数；详解：将全部自然数按照除以 3 的余数分成 3 组，则 4 个数中必有两数来自于同一组，即除以 3 同余，那么这两个数的差是 3 的倍数。(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是 7 的倍数？详解：将全部自然数按照除以 7 的余
12、数分成 7 组，则 8 个数中必有两数来自于同一组，即除以 7 同余，那么这两个数的差是 7 的倍数。9至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数答案：12详解：即差是 11 的倍数，将全部自然数按照除以 11 的余数分成 11 组，那么至少取出 12 个数，才能保证必有两数来自于同一组。10在一个边长为 2 厘米的等边三角形内（包括边界）选出 5 个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于 1详解：顺次连接三角形的各边中点，将原三角形分成 4 个相等的边长为 1 的小等边三角形，选 5 个点，必有两点来自同一个小三角形，那么这两点的距离肯
13、定不超过 1.拓展篇7 / 101如图 242，将 2 行 5 列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的详解：图形共有 5 列，而每列染色的情况共有 4 种：白白、白黑、黑白、黑黑，必有重复。2任意写一个由数字 l、2、 3 组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等详解：由数字 1、2、3 组成的三位数共 33=27 种，三十位数可截取 28 个三位数，必有重复。327 只小猴分 140 颗花生，每只小猴最少分 1 颗，最多分 9 颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗
14、数一样多？答案：4详解：129=45,14045=35，3 1=4 只。4能否在 44 方格表的每个格子中填 l、2、3 中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？答案：不能详解：4 行、4 列、2 条对角线，共需要 10 个不同的和，而由 1、2、3 中取出 4 个数的和有4、5、12，共只有 9 种，所以不能。5从 l 至 99 这 99 个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于 100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 5？答案：50,50详解：和为 100 的抽屉共有 50 个， （1,99） 、 （2,98） 、 （50） ，
15、最多取 50 个数。差为 5 的抽屉共 50 个(10 个数一大组，每大组分 5 小组) ，最多取 50 个数。6如果在 1，2，n 中任取 19 个数，都可以保证其中必有两个数的差是 6，那么 n 最大是多少？答案：36详解：12 个数一大组，每大组分成差为 6 的 6 个小组，每组 2 数。取 19 个数，最多 18 组，那么n=36.7从 1 至 50 这 50 个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？答案：268 / 10详解：相邻两个自然数互质，构造抽屉：（1,2） 、 （3,4） 、 （49,50） ，共 25 个抽屉。至少取 26个数。8从 1 至 30 这 3
16、0 个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除请问：最多能取出多少个数？答案：15详解：按照除以 7 的余数构造抽屉：（余 1:5 个） 、 （余 2：5 个） 、 （余 3:4 个） 、 （余 4:4 个） 、 （余5:4 个） 、 （余 6:4 个） 、 （余 0:4 个） ，余 1 组和余 6 组不能同时选择，所以选择元素个数多的余 1 组，同理选择余 2 组，余 3 组和余 4 组任选一组，余 0 组最多从中选 1 个元素，那么 5541=15个。9请说明：任意 5 个数中必有 3 个数的和是 3 的倍数详解：将全部自然数按照除以 3 的余数分成 3 组，那么如果
17、5 个数中存在 3 个数除以 3 的余数相同，那这 3 个数之和是 3 的倍数；如果 5 个数中不存在 3 个数除以 3 同余，则必然存在 3 个数除以 3 分别余 0、1、2，那这 3 个数的和是 3 的倍数。10任选 7 个不同的数，请说明：其中必有 2 个数的和或者差是 10 的倍数。详解：按除以 10 的余数分类，构造 6 个抽屉：（0） 、 （1,9） 、 （2,8） 、 （3,7） 、 （4,8） 、 （5） ，选 7 个数，必有 2 数来自于同一组。11有 9 个人，每人至少与另外 5 个人互相认识试证明：可以从中找到 3 个人，他们彼此相互认识详解：设这 9 人为 A、B、C、
18、D、E、F、G、H 、I ，不妨设 A 认识 B、C 、D 、E、F 这 5 人，B 除了认识 A 外还认识 4 人，这 4 人必然有一人是 C、D、E、F 这 4 人中的一人。12(1)在一个边长为 1 的正方形里放入 3 个点，以这 3 个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？答案： 2详解：正方形内最大的三角形是与正方形等底等高的三角形，面积是正方形面积的一半。(2)在一个边长为 1 的正方形中随意放入 9 个点，这 9 个点任何三点不共线，请说明：这 9 个点中一定有 3 个点构成的三角形面积不超过 81详解：将正方形等分成 4 个小正方形，9 个点至少有 3 个点落入同一个小正方形，然
19、后利用9 / 10（1）的结论。超越篇1从 l 至 12 这 12 个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？答案：6详解：根据倍数关系构造抽屉：（1,2,4,8） 、 （3,9） 、 （5,10） 、 （6,12） 、 （7） 、 （11）共 6 个抽屉，所以最多能选出 6 个数。2(1)请说明：在任意的 68 个自然数中，必有两个数的差是 67 的倍数；详解：将全部自然数按照除以 67 的余数分成 67 组，则 68 个数中必有两数来自于同一组，即除以 67 同余，那么这两个数的差是 67 的倍数。(2)请说明：在 1，11，111，1111，这一列数中必
20、有一个是 67 的倍数详解：将这列数按照除以 67 的余数分成 67 组，则必有两数来自于同一组，即这两个数的差是67 的倍数，而这两个数的差定是形如 111000 这样的数，那么前面那若干个 1 组成的数必定是67 的倍数，即属于此数列。3求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a、b、c、d、e、f ，使得(a b)(c d)(e f)是 105 的倍数详解：这 8 个数中必有两数是除以 7 同余的，即它们的差是 7 的倍数，剩下的 6 个数中，必有两个数是除以 5 同余的，即它们的差是 5 的倍数，再剩下的 4 个数中，必有两个数是除以 3 同余的，即它们的差是 3 的
21、倍数，这三个差相乘，便为 105 的倍数。4从 l 至 25 这 25 个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于另两个不同数的乘积答案：22详解：这 25 个数中 2 的倍数最多，其次是 3 的倍数，当去掉 2、3、4 时，结论成立。525 名男生与 25 名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生详解：将每个位置 150 编号，则至少有 13 个女生在奇数号或偶数号，不妨设在奇数号，那么总共25 个奇数中选出 13 个，必有相邻两奇数号上坐女生。6时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，11，12 这 12 个数，在其上任意做 n 个
22、120的扇形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好10 / 10取出 3 个，这 3 个扇形能覆盖整个钟面的全部 12 个数，求 n 的最小值答案：9详解：全部的可能情况共 4 种：，先保证从每组里都选出两个，那么这是 3,210987,654,17,3,21098,65,9754,21再选一个，无论来自哪组，都可凑出一整组。241=9 个。7(1)将一个 55 的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个顶点处的四个方格同色；详解：总共 25 个格子，颜色多的至少有 13 个，不妨设黑色多，而且至少有 3 行比白
23、色多，假设其中的 2 行如下图 1 所示，这 2 行中必有 1 列两个都是黑色，称为特殊列，那么黑色多的第 3 行至少有 3 个，若这 3 个都没有在特殊列，则结论成立，若这 3 个有 1 个落在特殊列，那么另 2 个不论落在哪列，特殊列都会与之搭配。(2)将一个 419 的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个顶点处的四个方格同色详解：颜色最多的至少有 26 个，而且至少是（7,7,6,6）这样组合，如果前 3 行按照（7,7,6）排列的话，至少产生一个特殊列，将表格分成 4 部分，那第四行的 6 个必有两个在同一区域，则结论成立。8从 1 至 2000 这 2000 个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于 4 也不等于 7?答案：910详解：取出这些数从小到大排列，只需讨论相邻两数的差。这些差形成如下数列：1,2,3,4,2,1,2,3,3,2不难发现，循环节是 1,2,3,3,2 。12332=11， 200011=181 92123=8， 98=1，即当循环节顺序为 2,1,2,3,3 且第一个数为 1 时，可取数最多，有1815 41=910 个。