1、分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列a n的前 n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解 决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例 1.若一条直线过点(5，2)，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( )A.xy70B.2x5y0C.xy70 或 2x5y0D.xy70 或 2y5x0例 2. 已知 Sn为数列a n的前 n 项和，且 Sn2a n2，则 S5S 4的值为 ( )A
2、.8 B.10 C.16 D.32来源:例 3.已知集合 A ，Bx|mx 10，mR，若 ABB，则所有符合条件的实 1，12数 m 组成的集合是( )A.0，1，2 B.12， 0， 1C.1，2 D. 1， 0，12例 4.设函数 f(x)Error!若 f(1)f(a)2，则实数 a 的所有可能取值的集合是_.题型二、图形位置、形状分类整合来源:图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例 5.已知正三 棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为( )A.
3、 B.4 C. D.4 或8 33 3 2 39 3 8 33例 6.已 知变量 x，y 满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k 等于( )A. B. C.0 D.0 或12 12 12例 7.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F 2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|F 1F2|PF 2|432，则曲线 C 的离心率为_.例 8.抛物线 y24px(p0)的焦点为 F，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为_.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题， 由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参
4、数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例 9.已知实数 a，x，a0 且 a1，则“a x1”的充要条件为( )A.01，x0 C.(a1)x0 D.x0例 10.若函数 f(x)ax 24x3 在0，2上有最大值 f(2)，则实数 a 的取值范围为( )A.(，1 B.1，)C.(，0) D.(0，)例 11.设函数 f(x)x 2axa3， g(x)ax2a，若存在 x0R，使得 f(x0)0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则 等于( )
5、1p 1qA.2a B. C.4a D. 来源:Z+xx+k.Com12a 4a例 3.已知函数 f(x)(a3 )xax 3在1，1上的最小值为3，则实数 a 的取值范围是( )A.(，1 B.12，)C.1，12 D.32， 12例 4.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则_.cos A cos C1 cos Acos C五、命题的等 价转化将 题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.例5.由命题“存在 x0R，使 0|1
6、exm0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数a 的值是( )A.(，1) B.(，2)C.1 D.2例 6.如图所示，已知三棱锥 PABC，PABC2 ，PBAC10，PCAB2 ，则三34 41棱锥 PABC 的体积为( )A.40 B.80C.160 D.240例 7.对于满足 0p4 的所有实数 p，使不等式 x2px4xp3 成立的 x 的取值范围是_.例 8.如果实数 x，y 满足等式(x2) 2y 21，那么 的取值范围是_.y 3x 1题型六、 函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟” ，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要
7、方程、不等式的协作.例 9.已知函数 f(x)lg ，若对任意 x2，)，恒有 f(x)0，则实数 a 的取(xax 2)值范围是_.例 10.在平面直角坐标系 xOy 中，A(12，0)，B(0，6)，点 P 在圆 O：x 2y 250 上，若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是_.PA PB 例 11.已知函数 f(x)x 33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数.对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0.若该曲线为椭圆，则有|PF 1|PF 2|6t2a，|F1F2|3t2c，e ；ca 2c2a 3t6t 12若该曲线为双曲线，则有|PF 1|P
8、F 2|2t2a，|F1F2|3t2c，e .ca 2c2a 3t2t 32综上，曲线 C 的离心率为 或 .12 32例 8.抛物线 y24px(p0)的焦点为 F，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为_.答案 4解析 当|PO|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置有两个；当|OP|OF|时，点 P 的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点 P 不存在.事实上，F(p，0)，若设 P(x，y)，则|FO|p，|FP| ，x p2 y2若 p，则有 x22pxy 20，x p2 y2又y 24px，x 22px0，解得
9、 x0 或 x2p，当 x0 时，不构成三角形.当 x2p(p0)时，与点 P 在抛物线上矛盾.符合要求的点 P 有 4 个.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例 9.已知实数 a，x，a0 且 a1，则“a x1”的充要条件为( )A.01，x0 C.(a1)x0 D.x0答案 C解析 由 ax1 知，a xa0，当 01 时，x0.故“a x1”的充要条件为“(a1)x0”.例 10.若函数 f(x)ax
10、24x3 在0，2上有最大值 f(2)，则实数 a的取值范围为( )A.(，1 B.1，)C.(，0) D.(0，)答案 B例 11.设函数 f(x)x 2axa3，g(x)ax2a，若存在 x0R，使得 f(x0)0，解得 a6.又 g(x)ax2a 的图象恒过点(2，0)，故当 a6时，作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图 1 所示，当 a6 时，若 g(x0)7.当 a2，此时函数 f(x)x 2axa3 的图象的对称轴x 0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若线段 PF 与 FQ 的长度分 别为 p，q，则 等于( )1p 1qA.2a B. C.4a D. 来源:Z
11、xxk.Com12a 4a答案 C解析 抛物线 yax 2(a0)的标准方程为 x2 y(a0)，焦点 F .1a (0， 14a)过焦点 F 作直线垂 直于 y 轴，则|PF|QF| ， 4a.12a 1p 1q例 3.已知函数 f(x)(a3)xax 3在1，1上的最小值为3，则实数 a 的取值范围是( )A.(，1 B.12，)C.1，12 D.32， 12答案 D解析 当 a0 时，函数 f(x)3x，x1，1，显然满足条件，故排除 A，B；当 a 时，函数 f(x) x3 x，32 32 92f(x) x2 (x21)，92 92 92当1x1 时，f(x)0，所以 f(x)在1，1
12、上为减函数，所以 f(x)minf(1) 3，满足条件，故排除 C.32 92综上，选 D.例 4.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则_.cos A cos C1 cos Acos C答案 45解析 令 abc，则ABC 为等边三角形，且 cos Acos C ，12代入所求式子，得 .cos A cos C1 cos Acos C12 121 1212 45五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.例 5
13、.由命题“存在 x0R，使 0|1exm0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的值是( )A.(，1) B.(，2)C.1 D.2答案 C解析 命题“存在 x0R，使 0|1exm0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，e |x1| m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1.例 6.如图所示，已知三棱锥 PABC，PABC2 ，PBAC10，PCAB2 ，则三34 41棱锥 PABC 的体积为( )来源:Z#xx#k.ComA.40 B.80C.160 D.240答案 C解析 因为三棱锥 PABC 的三组对棱两两相等，则可将
14、此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥 PABC 补成一个长方体 AEBGFPDC，可知三棱锥 PABC 的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令 PEx，EBy，EAz，则由已知，可得Error!解得Error!从而知VPABC V AEBGFPDC V PAEB V CABG V BPDC V AFPC V AEBGFPDC 4V PAEB 68104 166810160.例 7.对于满足 0p4 的所有实数 p，使不等式 x2px4xp3 成立的 x 的取值范围是_.答案 (，1)(3，)解析 设 f(p)(x1)px 24x3，则当 x1 时，f(p)0，所以 x1.f(p
15、)在0，4上恒为正等价于Error!即Error!解得 x3 或 x0，则实数 a 的取(xax 2)值范围是_.答案 (2，)解析 根据题意，得 x 21 在2，)上恒成立，即 ax 23x 在2，)上恒成ax立，又当 x2 时，(x 23x) max2，所以 a2.例 10.在平面直角坐标系 xOy 中，A(12，0)，B(0，6)，点 P 在圆 O：x 2y 250 上，若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是_.PA PB 答案 5 ，12解析 方法一 因为点 P 在圆 O：x 2y 250 上，所以设 P 点坐标为(x， )(5 x5 ).50 x2 2 2因为 A(12，0)，B(
16、0，6)，所以 (12x， )或 (12x， )，PA 50 x2 PA 50 x2(x，6 )或 (x，6 ).PB 50 x2 PB 50 x2因为 20，先取 P(x， )进行计算，PA PB 50 x2所以(12x)(x)( )(6 )20，即 2x5 .50 x2 50 x2 50 x2当 2x50，即 x 时，上式恒成立.52当 2x50，即 x 时，(2x5) 250x 2，52解得 x1，故 x1.52同理可得 P(x， )时，x5.50 x2又5 x5 ，所以5 x1.2 2 2故点 P 的横坐标的取值范围为5 ，1.2方法二 设 P(x，y)，则 (12x，y)， (x，6
17、y).PA PB 20，PA PB (12x)(x)(y)(6y)20，即 2xy50.如图，作圆 O：x 2y 250，直线 2xy50 与O 交于 E，F 两点，P 在圆 O 上且满足 2xy50，点 P 在 AEDF上.由Error!得 F 点的横坐标为 1，又 D 点的横坐标为5 ，2P 点的横坐标的取值范围为5 ，1.2例 11.已知函数 f(x)x 33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数.对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_.例 12.已知函数 f(x)ln x.若不等式 mf(x)ax 对所有 m0，1，x 都成立，1e， e2则实数 a 的取值范围为_.答案 (，e 2来源:Z.xx.k.Com解析 由题意得，amln xx 对所有的 m0，1，x 都成立，1e， e2令 H(m)ln xmx，m0，1，x 是关于 m 的一次函数，1e， e2因为 x ，所以1ln x2，1e， e2所以Error!所以Error!所以Error!令 g(x)ln xx ，所以 g(x) ，(1e x e2) 1 xx所以函数 g(x)在 上是增函数，在1， e2上是减函数，1e， 1所以 g(x)ming(e 2)2e 2，所以 a2e 2.综上知 ae 2.