1、82.6 离散型随机变量的数学期望读教材填要点1离散型随机变量 X 的数学期望当离散型随机变量 X 有概率分布 piP( Xx j)，j0,1，n，就称 E(X)x 1p1x 2p2x npn为 X 的数学期望或均值如果 X 是从某个总体中随机抽取的个体，X 的数学期望 E(X)就是总体均值 .2数学期望的有关公式(1)若 YaXb，a，b 为常数，则 E(aXb)aE(X) b；(2)当 X 服从两点分布 B(1，p) 时，E(X)p；(3)当 X 服从二项分布 B(n，p) 时，E(X)np；(4)当 X 服从超几何分布 H(N，M，n)时，E( X)n .MN小问题大思维1随机变量 X
2、的均值 E(X)是一个常数还是一个变量？提示：随机变量 X 是可变的，可以取不同的值，而数学期望(或均值) 是不变的，它描述 X 取值的平均水平，由 X 的分布列唯一确定2若 c 为常数，则 E(c)为何值？提示：由离散型随机变量的均值的性质 E(aXb) aE (X)b 可知，若 a0，则 E(b)b，即若 c 为常数，则 E(c)c.3E(X) 与 X 的单位是否一致？提示：E( X)表示随机变量 X 的平均值，因此 E(X)与 X 的单位是一致的离散型随机变量的数学期望例 1 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的
3、球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：(1)顾客所获的奖励额为 60 元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；解 设顾客所获的奖励额为 X.(1)依题意，得 P(X60) ，C1C13C24 12即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 .12(2)依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60.P(X60) ，P(X20) ，12 C23C24 12即 X 的分布列为X 20 60P 12 12所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)20 60 40(元)12 12
4、解决此类问题的一般步骤为：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变量取各个值的概率；列出概率分布；利用均值公式进行计算1端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望解：(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个” ，则由古典概型的概率计算公式有 P(A) .C12C13C15C310 14(2)X 的所有可能值为 0,1,2，且P(X0) ，P(X1) ，C38C310 71
5、5 C12C28C310 715P(X2) .C2C18C310 115综上知，X 的分布列为X 0 1 2P 715 715 115故 E(X)0 1 2 .715 715 115 35(或 EX 3210 35)2某运动员投篮命中率为 p0.6.(1)求一次投篮时命中次数 X 的数学期望；(2)求重复 5 次投篮时，命中次数 Y 的数学期望解：(1)投篮一次，命中次数 X 的概率分布为：X 0 1P 0.4 0.6则 E(X)p0.6.(2)由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6) 则 E(Y)np50.63.均值性质的应用例 2 已知随机变量 X 的
6、概率分布为：X 2 1 0 1 2P 14 13 15 m 120(1)求 m 的值；(2)求 E(X)；(3)若 Y2X3，求 E(Y)解 (1)由随机变量概率分布的性质， m 1，解得 m .14 13 15 120 16(2)E(X)(2) (1) 0 1 2 .14 13 15 16 120 1730(3)法一：由公式 E(aXb)aE(X)b，得 E(Y)E (2X3)2E(X )32 3 .( 1730) 6215法二：由于 Y2X3，所以 Y 的概率分布为：Y 7 5 3 1 1P 14 13 15 16 120所以 E(Y)( 7) (5) ( 3) ( 1) 1 .14 13
7、 15 16 120 6215保持例题条件不变，若 YaX3，且 E(Y) ，求 a 的值112解：E(Y)E (aX3)aE(X )3 a3 ，1730 112a 15.求均值的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用均值的公式求解，对于 aXb 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aXb 的概率分布，再用定义求解3随机变量 X 可能取的值为 1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4) 又 X 的数学期望 E(X)3，求 E(aX b)的值解：由已知得(a1b)( a2b) (a3b)( a4b)1，即 10a4b1.又 E(X)3，故(ab
8、)1(2ab)2(3 ab)3(4ab)43，即30a10b3.联立，解得 b0，a ，110E(aXb)aE(X)b E(X) 30.3.110 110离散型随机变量的均值的实际应用例 3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元Y 表示经销一件该商品的利润(1)求事件 A“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A
9、)；(2)求 Y 的分布列及均值 E(Y)解 (1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知，表示事件 “购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” AP( )(10.4) 30.216，AP(A)1P( )10.2160.784.A(2)Y 的可能取值为 200 元，250 元，300 元P(Y200)P (X1)0.4，P(Y250)P (X2)P(X 3)0.20.20.4，P(Y300)P (X4)P(X 5)0.10.10.2，因此 Y 的分布列为Y 200 250 300P 0.4 0.4 0.2E(Y)2000.42500.43000.
10、2240(元) 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并求出随机变量的概率分布，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值4某游戏射击场规定：每次游戏射击 5 发子弹；5 发全部命中奖励 40 元，命中4 发不奖励，也不必付款，命中 3 发或 3 发以下，应付款 2 元现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值解：(1)设 5 发子弹命中 X(X0,1,2,3,4,5)发，则由题意有 P(X5)C 5 .5(12) 132(2)X 的分布列为X 0
11、1 2 3 4 5P 132 532 1032 1032 532 132设游客在一次游戏中获得奖金为 Y 元，于是 Y 的分布列为Y 2 0 40P 2632 532 132故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(Y)(2) 0 40 0.375(元).2632 532 132解题高手 妙解题某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成400 万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为 0.9 和 0.85，若预防方案允许甲、乙两种措施单独
12、采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的均匀值)尝试 巧思 用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少，分别求出单独采用甲措施，单独采用乙措施，联合采用甲乙措施的总费用，然后选取最小者即可妙解 不采取预防措施时，总费用损失期望值为 4000.3120(万元)；若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45 万元，发生突发事件的概率为10.90.1，损失期望值为 4000.140(万元) ，所以总费用为 454085(万元 )若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为 30 万元，发生突发事件的概率为10.850.15，损失均匀值为 4000.156
13、0(万元) ，所以总费用 306090(万元 )若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用 453075(万元) ，发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.015，损失均值为 4000.0156(万元 )，所示总费用为 75681(万元 )综合，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少1随机变量次品数 X 的概率分布为：X 0 2 4P 0.4 0.3 0.3则 E(5X4)等于( )A13 B11 C2.2 D2.3解析：选 A E(X )00.420.340.31.8，E(5X4)5E(X) 451.8413.2口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大
14、小和形状相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的期望为( )A. B. C2 D.13 23 83解析：选 D X2,3.P(X2) ，P(X3) .1C23 13 C12C23 23E(X )2 3 .13 23 833一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8，则他独立射击 3 次中靶次数 X 的均值为( )A0.8 B0.8 3 C3 D2.4解析：选 D 射手独立射击 3 次中靶次数 X 服从二项分布，即 XB(3,0.8) ，E(X)30.82.4.4某人共有 5 发子弹，他射击一次命中目标的概率为 ，击中目标射击停止，射击次12数 X 为随机变量，则 E(X)_.解析
15、：由题易知，X 的概率分布为：X 1 2 3 4 5P 12 14 18 116 116可知 E(X)1 2 3 4 5 .12 14 18 116 116 3116答案：31165.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)等于( )A. B.126125 65C. D.168125 75解析：选 B 由题意 X 可取 0,1,2,3，且 P(X0) ，P( X1)33125 27125 ，P(X 2) ，P (X3) .故 E(X)96125 54125 312125 3612
16、5 8125 2 3 .54125 36125 8125 656根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望解：记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，
17、P (B)0.3，CAB ，P(C)P( AB) P(A)P(B )0.8.(2)D ，P( D)1P( C)10.80.2，C XB(100,0.2)，即 X 服从二项分布，所以期望 E(X)1000.220.一、选择题1已知 XB ，Y B .且 E(X)15，则 E(Y)等于( )(n，12) (n，13)A5 B10C15 D20解析：选 B 因为 XB ，所以 E(X) ，(n，12) n2又 E(X)15，则 n30.所以 YB ，(30，13)故 E(Y)30 10.132已知随机变量 X 的概率分布为：X 4 a 9 10P 0.3 0.1 b 0.2E(X)7.5，则 a 等
18、于( )A5 B6 C 7 D 8解析：选 C E(X) 40.30.1a9b27.5，030.1b0.21，a7，b0.4.3袋中有 7 个球，其中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中任取 3 个球，以 X 表示取出的红球数，则 E(X)为( )A. B. C. D.6135 127 2235 1835解析：选 B 随机变量 X 的取值分别为 0,1,2,3，且 P(X0) ，P(X1) ，C3C37 135 C14C23C37 1235P(X2) ，P (X 3) ，C24C13C37 1835 C34C37 435E(X )0 1 2 3 .135 1235 1835 435 1274节日
19、期间，某种鲜花的进价是每束 2.5 元，售价是每束 5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6 元处理根据前 5 年节日期间对这种鲜花销售情况需求量 X(束) 的统计(如下表)，若进这种鲜花 500 束在今年节日期间销售，则期望利润是( )X 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15A706 元 B690 元C754 元 D720 元解析：选 A 节日期间这种鲜花需求量的均值为 E(X)2000.203000.354000.305000.15340(束 )设利润为 Y，则 Y5X1.6(500X)5002.53.4X450，所以 E(Y)3.4E( X)4503
20、.4340450706(元)二、填空题5若随机变量 XB(40 ，p)，且 E(X)16，则 p_.解析：E( X)16，40p16， p0.4.答案：0.46同时抛掷 2 枚均匀的硬币 100 次，设两枚硬币都出现正面的次数为 X，则 E(X)_.解析：掷两枚均匀的硬币，两枚硬币都出现正面的概率为 p ，所以 XB12 12 14.(100，14)故 E(X)np100 25.14答案：257某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让23其面试是相互独立的记 X 为该毕业生得到面试的
21、公司个数若 P(X0) ，则随机变112量 X 的数学期望 E(X)_.解析：P( X0) (1p )2 ，p ，随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3，因此112 13 12P(X0) ，P(X1) 22 2 ，P(X2)112 23 (12) 13 (12) 13 22 2 ， P(X3) 2 ，因此 E(X)1 2 3 .23 (12) 13 (12) 512 23 (12) 16 13 512 16 53答案：538有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，从中任意抽出 3 张卡片，设 3张卡片上的数字之和为 X，则 X 的数学期望是_解析：X 的取值为 6,9
22、,12，相应的概率为P(X6) ，P(X9) ，P (X12) ，E(X) 6 9C38C310 715 C28C12C310 715 C18C2C310 115 71512 7.8.715 115答案：7.8三、解答题9某小组共 10 人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望解：(1)由已知，有 P(A) .C
23、13C14 C23C210 13所以事件 A 发生的概率为 .13(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0) ，C23 C23 C24C210 415P(X1) ，P(X2) .C13C13 C13C14C210 715 C13C14C210 415所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 415 715 415随机变量 X 的数学期望E(X)0 1 2 1.415 715 41510已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二
24、次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用( 单位：元) ，求 X 的分布列解：(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，P( A) .A12A13A25 310(2)X 的可能取值为 200,300,400.P(X200) ，A2A25 110P(X300) ，A3 C12C13A2A35 310P(X400)1P(X200) P(X300)1 .110 310 610故 X 的分布列为X 200 300 400P 110 310 610E(X)200 300 400 350.110 310 610