1、62.2 间接证明：反证法读教材填要点1反证法的定义先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法2反证法的一般步骤(1)反设；(2)归谬；(3) 结论小问题大思维1用反证法证明命题“若 p，则 q”时，綈 q 假，q 即为真吗？提示：是的在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈 q 是 q 的反面，若綈 q 为假，则 q 必为真2反证法与逆否命题证明的区别是什么？提示：反证法的理论依据是 p 与綈 p 真假性相反，通过证明綈 p 为假命题说明
2、 p 为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“pq”与“綈 q綈 p”是等价命题，通过证明命题“綈 q綈 p”为真命题来说明命题“pq”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定型命题直线 ykxm(m0) 与椭圆 W： y 21 相交于 A，C 两点，O 是坐标原x24点当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，求证：四边形 OABC 不可能为菱形自主解答 假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是 W 的顶点，且 ACOB，所以 k0.由Error!消去 y 并整理得(1 4k 2)x28kmx 4m 240.设 A(x1，y 1)，C( x2，y 2)，则 ，x1
3、x22 4km1 4k2k m ，y1 y22 x1 x22 m1 4k2设 AC 的中点为 M，则 M ，( 4km1 4k2， m1 4k2)因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0，k0，所以直线 OB 的斜率为 .14k因为 k 1，( 14k)所以 AC 与 OB 不垂直所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以四边形 OABC 不可能是菱形1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤1设函数 f(x)ax 2bx c (a0)中，
4、a，b，c 均为整数，且 f(0)，f (1)均为奇数求证：f(x) 0 无整数根证明：假设 f(x)0 有整数根 n，则 an2bnc0(nZ)，而 f(0)，f(1)均为奇数，即 c 为奇数， ab 为偶数，则 an2bnc 为奇数，即 n(anb) 为奇数n， anb 均为奇数，又ab 为偶数，ana 为奇数，即 a(n1)为奇数，n 1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾f(x)0 无整数根用反证法证明“至多” “至少”型命题已知 a1，求证三个方程：x 24ax4a30，x 2(a1)xa 20，x 22ax 2a0 中至少有一个方程有实数解自主解答 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：
5、它们的判别式都小于 0，即：Error!Error!这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解用反证法证明“至多” “至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多” “至少 ”“不可能”等字样时，常用反证法2已知 a1a 2a 3a 4100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4 中至少有一个数大于 25.证明：假设 a1，a 2，a 3，a 4 均不大于 25，即 a125，a 225，a 325，a 425，则 a1a 2
6、a 3a 425252525100，这与已知 a1a 2a 3a 4100 矛盾，故假设错误所以 a1，a 2，a 3，a 4 中至少有一个数大于 25.用反证法证明“唯一”型命题用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直线 a 平行自主解答 由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点 A 至少有一条直线与直线a 平行假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即 bbA，ba.因为 ba，由平行公理知 b b.这与假设 bbA 矛盾，所以假设错误，原命题成立巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有” “当且仅当” “唯一存在” “只有一个”等
7、形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性3设 a1，函数 f(x)(1x 2)exa.证明：f (x)在(，)上仅有一个零点证明：因为 a1，所以 f(0)1a0，所以 f(0)f(ln a)180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证
8、法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：6已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等差a b c数列证明：假设 ， ， 成等差数列，a b c则 2 ，即 ac2 4b，a c b ac而 b2ac，即 b ，ac所以 ac2 4 ，ac ac所以( )20，即 .a c a c从而 abc，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故 ， ， 不成等差数列a b c一、选择题1设 a，b，c( ，0)，则 a ，b ，c ( )1b 1c 1aA都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：因为 a b c 6，所以三者不能都大于2.1b
9、1c 1a答案：C2用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60”时，应假设( )A三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 60解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有” ，所以“三角形三个内角至少有一个不大于 60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于 60”即“三个内角都大于 60”答案：B3已知数列a n，b n的通项公式分别为 anan2，b nbn1(a，b 是常数) ，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A0 个 B1 个C2 个 D无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在
10、n 使得 anb n，由题意ab，nN ，则恒有 anbn ，从而 an2bn1 恒成立， 不存在 n 使 anb n.答案：A4有以下结论：已知 p3q 32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设 pq2；已知 a，bR，| a|b|2，故的假设是错误的；的假设是正确的答案：D二、填空题5用反证法证明命题“a，b 为整数，若 ab 不是偶数，则 a，b 都不是偶数”时，应假设为_解析：“a，b 都不是偶数”指“a，b 都是奇数” ，它的反面是“a，b 不都是奇数” 答案：a，b 不都是奇数6命题“a，bR，若| a1|b1| 0，则 ab1”用反证法证明时应假设为_解析：“ab1”的反面是“
11、a1 或 b1” ，所以设为 a1 或 b1.答案：a1 或 b17完成以下反证法证题的全过程设 a1，a 2，a 7 是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积 p(a 11)( a22)(a 77)为偶数证明：反设 p 为奇数，则 a11，a 22，a 77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但 0奇数，这一矛盾说明 p 为偶数解析：将 a11，a 22，a 77 相加后，再分组结合计算答案：(a 11) ( a22)(a 77)(a1a 2a 7)(1 27)8若下列两个方程 x2( a1) xa 20，x 22ax2a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_ 解析
12、：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比较复杂，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根” ，这样求得 a 的集合记为 A，那么原命题所求 a 的取值范围即为RA，解法如下 ：若两个方程都无实根Error!Error!2a1.则 Aa|2a1，故 RAa|a2 或 a1答案： ( ， 2 1， )三、解答题9已知二次函数 f(x)ax 2bxc (a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，f(c) 0，且当 00.(1)证明： 是函数 f(x)的一个零点；1a(2)试用反证法证明： c.1a证明：(1)f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)ax 2bxc0 有两个不等实根，设为 x1，
13、x 2.f(c)0 ，c 是 f(x)0 的一个根，不妨令 x1c.又 x1x2 ，cax2 ( c)，1a1a 是 f(x)0 的一个根，1a即 是函数 f(x)的一个零点1a(2)由(1)知 c ，故假设 0，又当 00，1af 0，与 f 0 矛盾，(1a) (1a)假设不成立， c.1a10已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 anS n2.(1)求数列a n的通项公式；(2)求证：数列a n中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当 n1 时，a1S 12a 12，则 a11.又 anS n2，所以 an1 S n1 2，两式相减得 an1 an，12所以a n是首项为 1，公比为 的等比数列，12所以 an .12n 1(2)证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1 ，a q1 ，a r1 (pqr，且 p，q，rN )，则 2 ，12q 12p 12r所以 22rq 2 rp 1.又因为 pqr，所以 rq，r pN .所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证