1、62.2 间接证明:反证法读教材填要点1反证法的定义先假设原命题的否定成立,从这个假设出发,经过推理,得出与已知事实相矛盾的结论,这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立,从而间接肯定了原命题结论成立,这种间接证法称为反证法2反证法的一般步骤(1)反设;(2)归谬;(3) 结论小问题大思维1用反证法证明命题“若 p,则 q”时,綈 q 假,q 即为真吗?提示:是的在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一,綈 q 是 q 的反面,若綈 q 为假,则 q 必为真2反证法与逆否命题证明的区别是什么?提示:反证法的理论依据是 p 与綈 p 真假性相反,通过证明綈 p 为假命题说明
2、 p 为真命题,证明过程中要出现矛盾;逆否命题证明的理论依据是“pq”与“綈 q綈 p”是等价命题,通过证明命题“綈 q綈 p”为真命题来说明命题“pq”为真命题,证明过程不出现矛盾用反证法证明否定型命题直线 ykxm(m0) 与椭圆 W: y 21 相交于 A,C 两点,O 是坐标原x24点当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,求证:四边形 OABC 不可能为菱形自主解答 假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是 W 的顶点,且 ACOB,所以 k0.由Error!消去 y 并整理得(1 4k 2)x28kmx 4m 240.设 A(x1,y 1),C( x2,y 2),则 ,x1
3、x22 4km1 4k2k m ,y1 y22 x1 x22 m1 4k2设 AC 的中点为 M,则 M ,( 4km1 4k2, m1 4k2)因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m0,k0,所以直线 OB 的斜率为 .14k因为 k 1,( 14k)所以 AC 与 OB 不垂直所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾所以四边形 OABC 不可能是菱形1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤1设函数 f(x)ax 2bx c (a0)中,
4、a,b,c 均为整数,且 f(0),f (1)均为奇数求证:f(x) 0 无整数根证明:假设 f(x)0 有整数根 n,则 an2bnc0(nZ),而 f(0),f(1)均为奇数,即 c 为奇数, ab 为偶数,则 an2bnc 为奇数,即 n(anb) 为奇数n, anb 均为奇数,又ab 为偶数,ana 为奇数,即 a(n1)为奇数,n 1 为奇数,这与 n 为奇数矛盾f(x)0 无整数根用反证法证明“至多” “至少”型命题已知 a1,求证三个方程:x 24ax4a30,x 2(a1)xa 20,x 22ax 2a0 中至少有一个方程有实数解自主解答 假设三个方程都没有实根,则三个方程中:
5、它们的判别式都小于 0,即:Error!Error!这与已知 a1 矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方程有实数解用反证法证明“至多” “至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面,在使用反证法时,必须在假设中罗列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的(2)常用题型:对于否定性命题或结论中出现“至多” “至少 ”“不可能”等字样时,常用反证法2已知 a1a 2a 3a 4100,求证:a 1,a 2,a 3,a 4 中至少有一个数大于 25.证明:假设 a1,a 2,a 3,a 4 均不大于 25,即 a125,a 225,a 325,a 425,则 a1a 2
6、a 3a 425252525100,这与已知 a1a 2a 3a 4100 矛盾,故假设错误所以 a1,a 2,a 3,a 4 中至少有一个数大于 25.用反证法证明“唯一”型命题用反证法证明:过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直线 a 平行自主解答 由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点 A 至少有一条直线与直线a 平行假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行,即 bbA,ba.因为 ba,由平行公理知 b b.这与假设 bbA 矛盾,所以假设错误,原命题成立巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有” “当且仅当” “唯一存在” “只有一个”等
7、形式出现的命题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明(2)用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性3设 a1,函数 f(x)(1x 2)exa.证明:f (x)在(,)上仅有一个零点证明:因为 a1,所以 f(0)1a0,所以 f(0)f(ln a)180,这与三角形内角和为 180矛盾,故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角,不妨设A90,B90.上述步骤的正确顺序为_解析:由反证
8、法的一般步骤可知,正确的顺序应为.答案:6已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: , , 不成等差a b c数列证明:假设 , , 成等差数列,a b c则 2 ,即 ac2 4b,a c b ac而 b2ac,即 b ,ac所以 ac2 4 ,ac ac所以( )20,即 .a c a c从而 abc,与 a,b,c 不成等差数列矛盾,故 , , 不成等差数列a b c一、选择题1设 a,b,c( ,0),则 a ,b ,c ( )1b 1c 1aA都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析:因为 a b c 6,所以三者不能都大于2.1b
9、1c 1a答案:C2用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60”时,应假设( )A三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 60解析:因为“至少有一个”的反面是“一个也没有” ,所以“三角形三个内角至少有一个不大于 60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于 60”即“三个内角都大于 60”答案:B3已知数列a n,b n的通项公式分别为 anan2,b nbn1(a,b 是常数) ,且ab,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A0 个 B1 个C2 个 D无穷多个解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在
10、n 使得 anb n,由题意ab,nN ,则恒有 anbn ,从而 an2bn1 恒成立, 不存在 n 使 anb n.答案:A4有以下结论:已知 p3q 32,求证 pq2,用反证法证明时,可假设 pq2;已知 a,bR,| a|b|2,故的假设是错误的;的假设是正确的答案:D二、填空题5用反证法证明命题“a,b 为整数,若 ab 不是偶数,则 a,b 都不是偶数”时,应假设为_解析:“a,b 都不是偶数”指“a,b 都是奇数” ,它的反面是“a,b 不都是奇数” 答案:a,b 不都是奇数6命题“a,bR,若| a1|b1| 0,则 ab1”用反证法证明时应假设为_解析:“ab1”的反面是“
11、a1 或 b1” ,所以设为 a1 或 b1.答案:a1 或 b17完成以下反证法证题的全过程设 a1,a 2,a 7 是 1,2,7 的一个排列,求证:乘积 p(a 11)( a22)(a 77)为偶数证明:反设 p 为奇数,则 a11,a 22,a 77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数_0.但 0奇数,这一矛盾说明 p 为偶数解析:将 a11,a 22,a 77 相加后,再分组结合计算答案:(a 11) ( a22)(a 77)(a1a 2a 7)(1 27)8若下列两个方程 x2( a1) xa 20,x 22ax2a0 中至少有一个方程有实根,则实数 a 的取值范围是_ 解析
12、:两个方程至少有一个方程有实根,考虑起来比较复杂,可以考虑其反面,即“两个方程都无实根” ,这样求得 a 的集合记为 A,那么原命题所求 a 的取值范围即为RA,解法如下 :若两个方程都无实根Error!Error!2a1.则 Aa|2a1,故 RAa|a2 或 a1答案: ( , 2 1, )三、解答题9已知二次函数 f(x)ax 2bxc (a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,f(c) 0,且当 00.(1)证明: 是函数 f(x)的一个零点;1a(2)试用反证法证明: c.1a证明:(1)f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)ax 2bxc0 有两个不等实根,设为 x1,
13、x 2.f(c)0 ,c 是 f(x)0 的一个根,不妨令 x1c.又 x1x2 ,cax2 ( c),1a1a 是 f(x)0 的一个根,1a即 是函数 f(x)的一个零点1a(2)由(1)知 c ,故假设 0,又当 00,1af 0,与 f 0 矛盾,(1a) (1a)假设不成立, c.1a10已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 anS n2.(1)求数列a n的通项公式;(2)求证:数列a n中不存在三项按原来顺序成等差数列解:(1)当 n1 时,a1S 12a 12,则 a11.又 anS n2,所以 an1 S n1 2,两式相减得 an1 an,12所以a n是首项为 1,公比为 的等比数列,12所以 an .12n 1(2)证明:反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap1 ,a q1 ,a r1 (pqr,且 p,q,rN ),则 2 ,12q 12p 12r所以 22rq 2 rp 1.又因为 pqr,所以 rq,r pN .所以式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立所以假设不成立,原命题得证