1、11 命题及其关系11.1 命题的概念和例子读教材填要点1命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题2命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题(2)假命题：不成立的命题叫作假命题(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想小问题大思维1如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立2数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题命题的概念判断下列语句是否是命题，并说明理由(1)求证 是无理数；(2)若 xR，则 x24x50；(3)一个数的算术
2、平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？自主解答 (1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是1判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问
3、句，不是命题； (4)不能判断其是否成立，不是命题真假命题的判断判断下列命题的真假，并说明理由(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若 x3 或 x7，则( x3)(x7)0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若 a，b 都是奇数，则 ab 必是奇数自主解答 (1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题(2)是真命题，x3 或 x7 能得到(x3)(x7)0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形(4)是真命题，令 a2k 11，b2k 21(k 1， k2Z)，则 ab2(2k 1k2k 1k 2)1，显然 2k1k2k 1 k2
4、 是一个整数，故 ab 是奇数若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数” ，判断该命题的真假解：当 a ，b 时，a，b 都是无理数，但 ( )5 是有理数，故该命5 5 5 5题为假命题判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可2判断下列命题的真假，并说明理由(1)形如 a b 的数是无理数；6(2)一个等比数列的公比大于 1 时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除解：(1)假命题，反例：a
5、是有理数且 b0，则 a b 是有理数6(2)假命题若数列a n为等比数列，且 a11，q2，则该数列为递减数列(3)真命题根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称(4)假命题反例：如 2,6 能被 2 整除，但不能被 4 整除命题的综合问题试探究命题 “方程 ax2bx10 有实数解”为真命题时，a，b 满足的条件自主解答 方程 ax2bx 10 有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当 a0 时，方程 ax2bx 10 为 bx10，只有当 b 0 时，方程有实数解x ；1b当 a0 时，方程 ax2bx 10 为一元二次方程，方程有实数解的条件为b 2 4a0
6、.综上知，当 a0，b0 或 a0，b 24a0 时，方程 ax2bx10 有实数解(1)并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一3下面的命题中是真命题的是( )Aysin 2x 的最小正周期为 2B若方程 ax2bxc0(a 0)的两根同号，则 0caC如果 MN，那么 MNMD在ABC 中，若 0，则 B 为锐角AB BC 解析：选 B y sin 2x ，T ，故 A 为假命题；当 MN 时，1 cos 2x2 22MN N，故 C 为假命题；在三角形 ABC
7、中，当 0 时，向量 与 的夹角AB BC AB BC 为锐角，B 应为钝角，故 D 为假命题故选 B. 解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果 5x1a，那么 x1”是真命题，求实数 a 的取值范围巧思 “如果 5x1a，那么 x1”是真命题，则不等式 5x1a 的解集是 x1 的子集妙解 由 5x1a，得 x (1a)15命题 “如果 5x1a 那么 x1”是真命题， (1，)(1 a5 ， ) 1，即 a4.1 a5即 a 的取值范围是4，)1 “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思 ”这是唐代诗人王维的相思 ，这首诗中，在当时条件下，可以作为命
8、题的是( )A红豆生南国 B春来发几枝C愿君多采撷 D此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句， “愿君多采撷”是祈使句， “此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选 A.答案：A2下列命题中的真命题是( )A互余的两个角不相等B相等的两个角是同位角C若 a2b 2，则| a|b|D三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知 A、B、D 三项都是错误的答案：C3给出命题“方程 x2ax 10 没有实数根” ，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是( )A4 B2C0 D3解析：方程无实根时，应满足 a
9、 243 x 为真命题，求 x 的取值范围解： x223x ，x 23x 20.解得 x2 或 x0 的解集D作ABCEFG解析：A 选项是疑问句，不是命题， C、D 选项中的语句显然不是答案：B2已知命题“非空集合 M 中的元素都是集合 P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )M 中的元素都不是 P 的元素；M 中有不属于 P 的元素；M 中有属于 P 的元素；M 中的元素不都是 P 的元素A1 B2C3 D4解析：错误；正确答案：B3下列命题中，为真命题的是( )A对角线相等的四边形是矩形B若一个球的半径变为原来的 2 倍，则其体积变为原来的 8 倍C若两组数据的平均数相
10、等，则它们的标准差也相等D直线 xy10 与圆 x2y 21 相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故 A 中命题是假命题；由球的体积公式可知B 中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4” 的平均数相等，但标准差显然不相等；圆 x2 y21 的圆心 (0,0)到直线 xy 10 的距离 d x，则 x1；函数 yx 3 是指数函数其中假命题的个数为( )A1 B2C3 D4解析：中，显然 lm 或 l 与 m 重合，所以是假命题；由基本不等式，知是真命题；中，由 x2x，得 x1，所以是假命题；中，函数 yx 3 是幂函数，不是指数函数，所以是假命题故选 C.答案：
11、C二、填空题5下列语句：mx 22x10 是一元二次方程吗？抛物线 yax 22x 1 与 x 轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；若 m0，ab0，则 .b ma m ba其中真命题的序号为_解析：不是命题；错，可能没交点；正确，若 AB，BA，则 AB；显然正确，可以证明答案：6给出下列命题：方程 x2x10 有两个实根；对于实数 x，若 x20，则 x20；若 p0，则 p2p；正方形不是菱形其中真命题是_，假命题是_解析：假，因 0；真；假，p 时，p 2p；假，正方形是菱形，也是矩12形答案： 7函数 f(x)的定义域为 A，若当 x1，x 2A 且 f(x1)f(x 2)时，
12、总有 x1x 2，则称 f(x)为单函数例如，函数 f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数 f(x)x 2(xR)是单函数；指数函数 f(x)2 x(x R)是单函数；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(填序号)解析：由 x x ，未必有 x1 x2，故为假命题；对于 f(x)2 x，当 f(x1)f(x 2)时一定21 2有 x1x 2，故为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若 f(x1)f (x2)，则x1x 2”，故为真命题故真命题是.答案：8若命题“ax 22ax 30 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：ax 22 ax30 不成立，a
13、x 22ax 30 恒成立当 a0 时，30 恒成立；当 a0 时，则有Error!解得3a0.综上，3a0.答案：3,0三、解答题9判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由(1)一个数不是合数就是质数(2)大角所对的边大于小角所对的边(3)xy 是有理数，则 x，y 也都是有理数(4)求证 xR，方程 x2x10 无实根解：(1)是假命题，1 不是合数，也不是质数(2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中(3)是假命题，如 x ，y .2 2(4)祈使句，不是命题10判断命题：“若 ab2，则直线 xy0 与圆(xa) 2(yb) 22 相切”的真假解：由已知 ab2，圆心(a，b) 到直线 xy 0 的距离 d r，|a b|2 22 2所以直线与圆相切，即命题为真.