1、2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷一.填空题1 （3 分）在等比数列a n中，已知 a24，a 616，则 a4 2 （3 分）已知 sinx ，x ， ，则 x 3 （3 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 Sn2n 2+n+1，则 an 4 （3 分）等差数列a n与b n的前 n 项和分别为 Sn，和 Tn，且 ，则 5 （3 分） （1+ + + ） 6 （3 分）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这
2、个正实数依次成等比数列，则这个正实数是 7 （3 分）化小数为最简分数：0.3 8 （3 分）若无穷等比数列a n的各项和为 ，则 a2 的取值范围是 9 （3 分）设方程 xcos x 的根是 x1，方程 x+arcsin（x ） 的根是 x2，则x1+x2 的值是 10 （3 分）在等差数列a n中，若即 sp+tmkn，s+tk，则有sap+tamka n， （s，t，k，p， m，nN*） ，对于等比数列b n，请你写出相应的命题： 二
3、.选择题11 （3 分）已知 a、b、c 是非零实数，则“a、b、c 成等比数列”是“b “的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件12 （3 分）下列四个命题中正确的是（ ）A若 an2A 2，则 anA第 2 页（共 13 页）B若 an0， anA，则 A0C若 anA，则 an2A 2D若 （a nb）0，则 an bn13 （3 分）设 Sk + + + ，则 Sk+1 为（ ）AS k+ BS k+ +CS k+ DS k+ 14 （3 分）已知数列 anarcsin（sinn） ，nN*，a n的前 n 项和
4、为 Sn，则当 1n2016时（ ）AS 1980S nS 90 BS 1800S nS 180CS 1980S nS 180 DS 2016 SnS 90三.解答题15已知关于 x 的方程 sin2x+cosx+m0，x 0，2） （1）当 m1 时，解此方程（2）试确定 m 的取值范围，使此方程有解16在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1， 2a2+2，5a 3 成等比数列（）求 d，a n；（）若 d0，求|a 1|+|a2|+|a3|+|an|17某公司自 2016 年起，每年投入的技术改造资金为 1000 万元，预计自 2016 年起第 n 年（20
5、16 年为第一年） ，因技术改造，可新增的盈利an （万元） 按此预计，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金18已知数列a n，满足 an+1 an2+an+1；（1）若 0， 1，a 13，求a n的通项公式；（2）若 0， 2，a 11，求a n的前 n 项和为 Sn；（3）若 1，a 11，a n满足 an+an+10 恒成立，求 的取值范围第 3 页（共 13 页）2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1 （3 分）在等比数列a n中，已知 a24，a 61
6、6，则 a4 8 【分析】由等比数列通项公式得 ，由此能求出 a4【解答】解：在等比数列a n中，a 24，a 616， 41664，且 a40，解得 a48故答案为：8【点评】本题考查等比数列的第 4 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （3 分）已知 sinx ，x ， ，则 x +arcsin 【分析】先将 x， ，化为 x ，再利用诱导公式 sin（x）sinx，求出 x arcsin （ ）arcsin ，然后计算得解【解答】解：因为 x， ，所以 x ，由 sinx ， sin（x ） sinx，所以 sin（ x
7、） ，即 x arcsin （ ） arcsin ，所以 x+arcsin ，故答案为：+arcsin 【点评】本题考查了解三角方程，及正弦的主值区间，属简单题3 （3 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 Sn2n 2+n+1，则 an 第 4 页（共 13 页）【分析】根据数列的递推公式即可求出通项公式【解答】解：当 n1 时，a 1S 121 2+1+14，当 n2 时，a nS nS n1 2n 2+n+12 （n1） 2+n1+14n1，当 n1 时，a 134，故 an ，故答案为： 【点评】本题考查了数列的递推公式，属于基础题4 （3 分）等差数列
8、a n与b n的前 n 项和分别为 Sn，和 Tn，且 ，则 【分析】由等差数列的性质和求和公式可得 ，代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得 ，故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题5 （3 分） （1+ + + ） 2 【分析】求出数列通项公式的表达式，求出数列的和，然后求解数列的极限即可【解答】解： 2（ ） ， （1+ + + ） 2（1 +） （2 ）2故答案为：2【点评】本题考查数列的和，数列的极限的求法，考查计算能力6 （3 分）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则这个第 5 页（共 13 页）正实数是
9、; 【分析】根据题意，这个数为 a，则整数部分 aq，则小数部分为 aaq，结合等比数列的性质可得 a2q2a（aaq） ，即 q2+q10，解可得 q 的值，又由 aq 为正整数且aq21，设 aq 这个正整数为 m，则有 a m 且 m（ ）（ ）21，解可得 m 的值，变形可得 a 的值，即可得答案【解答】解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，不妨设这个数为 a，则整数部分 aq，则小数部分为 aaq，则 q0，则有 a2q2a（aaq） ，即 q2+q10，解得 q ，q （舍去） ，又由 aq 为正整数，设 aq 这个正整数为 m，则 a m ，又由 aq21
10、，即 m（ ） （ ） 21，解可得 m ，又由 m 为整数，则 m1，则 a m ，故答案为： 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比中项的计算，注意分析 q 的范围，属于基础题7 （3 分）化小数为最简分数：0.3 【分析】由 0.3 0.3+0.045+0.0045+，可得等号右边的数从 0.045 起为公比为 0.01的无穷等比数列，运用无穷递缩等比数列的求和公式，计算可得所求值【解答】解：0.3 0.3+0.045+0.0045+0.3+ 0.3+ 故答案为： 【点评】本题考查循环小数化为分数的方法，考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于
11、基础题第 6 页（共 13 页）8 （3 分）若无穷等比数列a n的各项和为 ，则 a2 的取值范围是 （1，0）（0， 【分析】由题意 ，|q |1，从而 q12a 1，进而 a2a 1q（12q）qq2q 22（q ） 2+ ，利用1q1，能求出 a2 的取值范围【解答】解：无穷等比数列a n的各项和为 ， ，|q |1，q12a 1，a2a 1q（12q）qq2q 22（q ） 2+ ，1q1，a2 的取值范围是（1，0）（0， 故答案为：（1，0）（0， 【点评】本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9 （3 分）
12、设方程 xcos x 的根是 x1，方程 x+arcsin（x ） 的根是 x2，则x1+x2 的值是 【分析】先将两方程变形为： sin ， arcsin，由ysin，yarcsin 互为反函数，其图象关于直线 yx 对称，则方程组 ，由对称性及中点坐标公式可得，解的横坐标为 ，得解【解答】解：由 xcos x ，可化为： xsin （x ） ，x+arcsin（x ） ，可化为： xarcsin（x ） ，设 x ，则有： sin， arcsin，由 ysin ，yarcsin，互为反函数，第 7 页（共 13 页）其图象关于直线 yx 对称，联立 ，得：x ，即
13、 1+2 ，所以 x1 +x2 ，则 x1+x2 ，故答案为： 【点评】本题考查了函数与其反函数图象关于直线 yx 对称的性质，属中档题10 （3 分）在等差数列a n中，若即 sp+tmkn，s+tk，则有sap+tamka n， （s，t，k，p， m，nN*） ，对于等比数列b n，请你写出相应的命题： 若 sp+tmkn ，s+ tk，则有 bpsbmtb nk， （s，t ，k，p ，m ，nN*） 【分析】利用类比推理可得【解答】解：利用类比推理可得，对于等比数列b n，若 sp+tmkn ，s +tk，则有 bpsbmtb nk， （s，t，k ，p，m，nN*） ，
14、故答案为：若 sp+tmkn，s+tk，则有 bpsbmtb nk， （s，t，k ，p，m，nN*）【点评】本题考查了类比推理的问题，属于基础题二.选择题11 （3 分）已知 a、b、c 是非零实数，则“a、b、c 成等比数列”是“b “的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】由举例 1，1，1 可得“a、b、c 成等比数列”不能推出“b “，由等比中项概念可得：当 a、b、c 是非零实数， “b “，可推出“a、b、c 成等比数列” ，故“a、b、c 成等比数列”是“b “的必要不充分条件【解答】解：当“a、b、c 成等比数列”时，不
15、妨取“1，1，1“，则不满足“b“，第 8 页（共 13 页）即“a、b、c 成等比数列”不能推出“b “，当 a、b、c 是非零实数， “b “，由等比中项概念可得：“a、b、c 成等比数列”即“a、b、c 成等比数列”是“b “的必要不充分条件，故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质及充分，必要条件，属简单但易错题12 （3 分）下列四个命题中正确的是（ ）A若 an2A 2，则 anAB若 an0， anA，则 A0C若 anA，则 an2A 2D若 （a nb）0，则 an bn【分析】此题可采用排除法法，可取 an（1） n，排除 A；取 an ，排除 B；取anb n
16、n，排除 D 得到答案【解答】解：取 an（1） n，排除 A；取 an ，排除 B；取 anb nn，排除 D故选：C【点评】考查学生认识极限及运算的能力，以及学会采用排除法做选择题13 （3 分）设 Sk + + + ，则 Sk+1 为（ ）AS k+ BS k+ +CS k+ DS k+ 【分析】先利用 Sk + + + ，表示出 Sk+1，再进行整理即可得到结论【解答】解：因为 Sk + + + ，所以 sk+1 + + + +第 9 页（共 13 页） + + + s k 故选：C【点评】本题主要考查数列递推关系式，属于易错题，易错点在与整理过程中，不能清楚哪些项有，哪些
17、项没有14 （3 分）已知数列 anarcsin（sinn） ，nN*，a n的前 n 项和为 Sn，则当 1n2016时（ ）AS 1980S nS 90 BS 1800S nS 180CS 1980S nS 180 DS 2016 SnS 90【分析】由 yarcsinx 的值域为 ， ，考虑数列 an的周期为 360，一个周期内的和，即可得到所求最小值和最大值【解答】解：由 yarcsinx 的值域为 ， ，当 n 取 1 到 90 的自然数可得：S90 + + ；当 n 取 91 到 180 的自然数可得：a91+a92+a180 + + +0；当 n 取 181 到 27
18、0 的自然数可得：a181+a182+a270（ + + ） ；当 n 取 271 到 360 的自然数可得：a271+a272+a360（ + + +0） 由a n的周期为 360，可得 S3600，且 S1800，且为最大值；而 S1800S 36050，S 2016S 2160，S 1980S 1800，则故排除 A，C，D故选：B【点评】本题考查反正弦函数值的求法，以及数列的求和，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于中档题第 10 页（共 13 页）三.解答题15已知关于 x 的方程 sin2x+cosx+m0，x 0，2） （1）当 m1 时，解此方程（2）试确定 m
19、的取值范围，使此方程有解【分析】 （1）由 sin2x+cos2x1，则 sin2x+cosx+m0 可化为：cos 2xcos x1m0，将 m1 代入解一元二次方程可得解，（2）分离 m 与 cosx，用值域法可得解，即 1+mcos 2x cosx，再用配方法求cos2x cosx 的值域即可得解【解答】解：（1）sin 2x+cosx+m0，所以 cos2xcosx 1m0，当 m1 时，方程为：cos 2x cosx20，所以 cosx1 或 cosx2，又 cosx1，1，所以 cosx1，又 x0，2） 所以 x ，故方程的解集为：（2）由（1）得，cos 2xcos x1m0
20、有解，即 1+m cos2xcos x 有解，又 1+m cos2xcos x（cosx ） 2 ，又 cosx1，1，所以（cosx ） 2 ，即 1+m ，即 m ，故答案为： 【点评】本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域，与方程有解问题，属中档题16在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1， 2a2+2，5a 3 成等比数列第 11 页（共 13 页）（）求 d，a n；（）若 d0，求|a 1|+|a2|+|a3|+|an|【分析】 （）直接由已知条件 a110，且 a1，2a 2+2，5a 3 成等比数列列式求出公差，则通项公式 an 可求；（）利用（）中的结论
21、，得到等差数列a n的前 11 项大于等于 0，后面的项小于0，所以分类讨论求 d0 时|a 1|+|a2|+|a3|+|an|的和【解答】解：（）由题意得 ，即，整理得 d23d40解得 d1 或 d4当 d1 时，a na 1+（n1）d10（n1）n+11当 d4 时，a na 1+（n1）d10+4（n1）4n+6 所以 ann+11 或 an4n+6；（）设数列a n的前 n 项和为 Sn，因为 d0，由（）得 d1，a nn+11 则当 n11 时， 当 n12 时，|a 1|+|a2|+|a3|+|an|S n+2S11 综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+|an| 【点评】
22、本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题17某公司自 2016 年起，每年投入的技术改造资金为 1000 万元，预计自 2016 年起第 n 年（2016 年为第一年） ，因技术改造，可新增的盈利an （万元） 按此预计，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起，新增盈利累计总额超过累计技术改造金【分析】 （1）计算 n1，2，3，4，5，6，7 即可得到所求结论；（2）考虑 1 到 5 年不符题意；n5 时，可得 1500+2000n5 第 12 页（共 13 页）1000n
23、，结合 n 的特殊值，计算可得结论【解答】解：（1）新增的盈利 an （万元） ，可得 a10，a 2150，a 3300，a 4450，a 5600，a 62000（10.6）800，a72000（10.36）12801000，则第 7 年起，当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由 n5 时，a 1+a2+a515005000，可得所求 n 超过 5，可得 1500+2000n5 1000n，化简可得 n+30.6n5 11.5，由于 30.6n5 随着 n 的增大而减小，当 n11 时，11+30.6 611.5，当 n12 时，12+30.6 711.5，则第 12 年起，新增盈利累
24、计总额超过累计技术改造金【点评】本题考查数列在实际问题中的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题18已知数列a n，满足 an+1 an2+an+1；（1）若 0， 1，a 13，求a n的通项公式；（2）若 0， 2，a 11，求a n的前 n 项和为 Sn；（3）若 1，a 11，a n满足 an+an+10 恒成立，求 的取值范围【分析】 （1）由题意可得数列为等差数列，即可得到所求通项公式；（2）由条件可得 an+1+12（ an+1） ，由等比数列的定义和通项公式、求和公式，计算可得所求；（3）由条件可得 an2+（1+ ） an+10 恒成立，即（a n+ ） 2+1 0 恒
25、成立，结合首项成立，以及二次函数的最值，计算可得所求范围【解答】解：（1）0， 1，a 13，可得 an+1a n+1，第 13 页（共 13 页）即有 an3+n1n+2 ；（2）若 0， 2，a 11，可得 an+12a n+1，即有 an+1+12（a n+1） ，可得 an+12 n，即 an2 n1，前 n 项和为 Sn（2+4+2 n）n n2 n+12n；（3）若 1，a 11，a n满足 an+an+10 恒成立，可得 an+1a n2+an+1，即有 an2+（1+ ）a n+10 恒成立，即（a n+ ） 2+1 0 恒成立，由 a11，可得 1（1+） +10，即有 1；又（a n+ ） 2+1 1 ，可得 1 0，可得31，综上可得 的范围是（ 3，1） 【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题