1、 1 第七章 图形的变化第三节 图形的对称、平移、旋转与位似基础过关1. (2018 绵阳) 下列图形是中心对称图形的是( )2. (2018 重庆 A 卷)下列图形中一定是轴对称图形的是( )3. (2018 广州) 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )A. 1 条 B. 3 条 C. 5 条 D. 无数条第 3 题图 第 4 题图4. (2018 济宁) 如图，在平面直角坐标系中，点 A、 C 在 x 轴上，点 C 的坐标为(1，0) ，AC2.将 RtABC先绕点 C 顺时针旋转 90，再向右平移 3 个单位长度，则变换后点 A 的对应点坐标是( )A. (2，2) B.
2、(1，2) C. (1，2) D. (2，1)5. (2018 天津)如图，将一个三角形纸片 ABC 沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在AB 边上的点 E 处，折痕为 BD，则下列结论一定正确的是( )A. ADBD B. AEAC C. EDEBDB D. AECBAB6. (2018 抚顺)已知点 A 的坐标为(1，3)，点 B 的坐标为(2，1)，将线段 AB 沿某一方向平移后，点 A 的对应点的坐标为(2，1)则点 B 的对应点的坐标为( )A. (5，3) B. (1，2) C. (1，1) D. (0，1)7. (2018 西工大附中模拟)在平面直角坐标系中，已知点 A(4，2
3、) ，B(6，4)，以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是( )12A. (2，1) B. (2，1) 或(2，1) C. (8，4) D. (8，4)或(8，4)8. (2018 丽水)如图，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到 EDC，若点 A，D ，E 在同一条直线上，ACB20 ，则ADC 的度数是( )A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 2 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图9. 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 折叠，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若AGE32 ，则GHC 等于(
4、)A. 112 B. 110 C. 108 D. 10610. (2018 内江 )如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A 在第一象限，点 B、 C 的坐标分别为(2，1) 、(6，1)，BAC90 ，AB AC，直线 AB 交 y 轴于点 P，若 ABC 与ABC 关于点 P 成中心对称，则点 A的坐标为( )A. (4，5) B. (5，4) C. (3，4) D. (4，3)11. (2018 甘肃省卷)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE 2，则 AE 的长为( )A.
5、 5 B. C. 7 D. 23 29第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图12. (2018 山西)如图，在 RtABC 中，ACB 90 ，A60 ，AC 6，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB 边上，则点 B与点 B 之间的距离为( )A. 12 B. 6 C. 6 D. 62 313. (2018 西安交大附中模拟) 在边长为 2 的菱形 ABCD 中，C45，DE 为 BC 边上的高，将DCE 沿2DE 所在的直线翻折得DCE，CD 与 AB 边相交于点 F，则 CF 的长为( )A. 2 B. 2 2 C. 42 D. 2
6、2 2 2 214. (2018 宜宾)如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC 的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA1，则 AD 等于( )A. 2 B. 3 C. D. 23 3215. (2018 青海省卷)如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且 ，则OEEA 43_.FGBC16. 如图，已知AOB 中， OA 在 y 轴上，OB 在 x 轴上，且 OA2，OB 4，将AOB 沿着某直线 CD 折 3 叠后点 B 与点 A 重合，折痕 CD 与 x 轴交于点 C，则点 C 的坐标是_第 15 题图 第
7、16 题图 第 17 题图 第 18 题图17. (2018 江西 )如图，在矩形 ABCD 中，AD3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG，点B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DEEF，则 AB 的长为_ 18. (2018 西安高新一中模拟) 如图，在 ABC 中，ADBC，BC6，AD3，将ABC 沿射线 BC 的方向平移 2 个单位后，得到ABC，连接 AC，则ABC 的面积为_19. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE1，P 是对角线 AC 上的一动点，连接 PB、 PE，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长
8、的最小值是_第 19 题图 第 20 题图20. 如图，已知正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边长分别为 4 cm，1 cm，若将正方形 AEFG 绕点 A 旋转，则在旋转过程中，点 C、 F之间的最小距离为_cm.21. 在平面直角坐标系中， ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，3)，B(1，1) ，C (5， 1)(1)把ABC 平移后，其中点 A 移到点 A1(4，5) ，画出平移后得到的 A1B1C1；(2)把A 1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90，画出旋转后的A 1B2C2.22. (2018 阜新)如图，ABC 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(4，4)
9、，B (2，5)，C( 2，1) (1)平移ABC ，使点 C 移到点 C1(2，4)，画出平移后的A1B1C1，并写出点 A1，B 1 的坐标；(2)将ABC 绕点(0，3)旋转 180，得到 A2B2C2，画出旋转后的A2B2C2；(3)求(2)中的点 C 旋转到点 C2 时，点 C 经过的路径长( 结果保留 ) 4 满分冲关 1. (2018 西工大附中模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB 8，点 E 在 AD 上，且 AE4，连接 EC，将矩形ABCD 沿直线 BE 翻折，点 A 恰好落在 EC 上的点 A处，则 tanDEC 等于( )2. A. B. C. D. 43 34 35
10、 45第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图2. (2018 随州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，AOC60，若将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75，得到四边形 OABC，则点 B 的对应点 B的坐标为_3. (2018 潍坊)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30至正方形 ABCD的位置，BC与 CD 相交于点 M，则点M 的坐标为_4. 如图，矩形 OABC
11、的顶点坐标为 A(6，0) 、C (0，4)，点 D 为 OC 的中点，点 E、 F 在 OA 上，且点 E在点 F 的左侧，EF 2.当四边形 BDEF 的周长最小时，点 F 的坐标为_5. (2018 齐齐哈尔)综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图
12、，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 翻折，使点 B落在矩形 ABCD 所在平面内 ， BC 和 AD 相交于点E，连接 BD. 5 第 5 题图解决问题(1)在图中，BD 和 AC 的位置关系为_ ；将AEC 剪下后展开，得到的图形是_；(2)若图中的矩形变为平行四边形时( ABBC)，如图所示，结论和结论是否成立？若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为_；拓展应用(4)在图中，若B30 ， AB4 ，当ABD 恰好为直角三角形时，BC
13、 的长度为_3 6 参考答案及解析第七章 图形的变化第三节 图形的对称、平移、旋转与位似基础过关1. D 【解析】选项 逐项分析 正误A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 B 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D 不是轴对称图形，但是中心对称图形 2. D 【解析】A.40的直角三角形不是对称图形；B. 两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C.平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；D. 矩形是轴对称图形，有两条对称轴3. C 【解析】五角星的对称轴是过中心和每个顶角的直线，共 5 条故选 C.4. A 【解析】AC2，点 C 的坐标为(
14、 1，0)，点 A 的坐标为(3，0) ，将 RtABC 绕点 C 顺时针旋转90，得到 A的坐标为 (1， 2)，再将 RtABC 向右平移 3 个单位可得 A的坐标为(2，2)，故选 A.5. D 【解析】BD 为折痕，点 C 的对应点为点 E，BECB ，点 E 在边 AB 上， AEBEAB，AE CBAB.6. C 【解析】由题意可知，点 A 到其对应点的变化为横坐标向左平移了 3 个单位，纵坐标向下平移了 2 个单位，点 B 对应点的变化与其相同，即(1，1) 故选 C. 7 7. B8. C 【解析 】点 A、 D、 E 在同一条直线上，且旋转角是 90，ACE90，ACEC，A
15、CE 是等腰直角三角形，EEAC45，由旋转性质可得DCEACB20，ADCDCE E 20 4565.9. D 【解析】AGE32，EGD18032 148 ，由折叠性质可知，EGHHGD 74 ，四边形 ABCD 是矩形，AD BC，GHC 180HGD 18074106.10. A 【解析】如解图，过点 A 作 AMy 轴，过点 A作 ANy 轴，ABC 是等腰直角三角形，且点B(2，1) ，C (6， 1)，A ，直线 AB 的解析式为 yx1，P ，由于ABC 与 ABC关于点(4，3) (0， 1)P 对称，PNPM4，ANAM4，A(4，5) 第 10 题解图11. D 【解析】
16、由旋转性质可知ABFADE，S 正方形 ABCDS 四边形 AECF25，解得AD5，DE2，由勾股定理得 AE .AD2 DE2 52 22 2912. D 【解析】如解图，连接 BB，在 RtABC 中，ACB90，A60 ，AC6，BCACtanA6 6 ，由旋转性质知，ACAC ，BCBC，AAC 是等边三角形，3 3则旋转角BCBACA60，BCB是等边三角形，则点 B 与点 B之间的距离等于 BC 的长，即为 6 .3第 12 题解图13. B 【解析】在边长为 2 的菱形 ABCD 中，C45 ，DE 为 BC 边上的高，DEEC2，由折2叠易得DCC为等腰直角三角形，CB2CE
17、BC 4 2 ，ADCB，FBCA45，又2由折叠的性质知，C C 45，CFB 为等腰直角三角形，CF2 2.214. A 【解析】如解图，设 AB、AC 分别交 BC 于点 E、 F，ABC 是由ABC 平移得到的，ABAB, ACAC， AEDABD， AFDACD， ， ， ，BDDC ， EDDF，AD 是AEF 边 EF 的中EDBD ADAD DFDC ADAD EDBD DFDC线易证AEFABC ， ( )2.设 ADx，则 ADADAAx1. ( )SABCSAEF ADAD 94 x 1x2，x0， ，解得 x2.x 1x 32 8 第 14 题解图15. 【解析】四边形
18、 ABCD 与四边形 EFGH 是位似图形，且点 O 是位似中心， ， 47 OEEA 43 OEOE EA，即 ，EF AB，OEF 与OAB 是位似图形， ，又FGBC，OFG 与44 3 OEOA 47 OFOB OEOA 47OBC 是位似图形， .FGBC OFOB 4716. ( ，0) 【解析】设 C(a，0) ，OCa，OA2，OB 4，AC BC4a，在 RtAOC 中，32AC2OA 2OC 2，(4a) 2a 22 2，解得 a ，点 C 的坐标为( ，0)32 3217. 3 【解析】ADEFDE3，D90 ，AE 2AD 2DE 218，ABAE 3 .2 18 21
19、8. 6 【解析】ADBC ，BC6，AD3，将ABC 沿射线 BC 的方向平移 2 个单位，BB2，BCBCBB 624，ABC 的高 AD ABC的高ABC 的高3，S ABC 436.1219. 6 【解析 】根据正方形的性质可知点 D 和点 B 关于对角线 AC 对称，则 BPDP，如解图，连接 DE交 AC 于点 P，此时PBE 的周长最小，CD4，CE413，DE5，则PBE 周长的最小值为 BPPEBEDEBE 6.第 19 题解图20. 3 【解析】当点 F 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上时，CFAC AF ；当点 F 不在正方形的对角线2上时，由点 A、 C、 F 构
20、成的三角形的三边关系可知 ACAFCF ACAF.当点 F 在正方形 ABCD的对角线 AC 上时，C 、 F 两点之间的距离最小，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边长分别为 4 cm、1 cm，AC4 cm，AF cm，CF 最小 ACAF4 3 cm.2 2 2 2 221. 解：(1)画出 A1B1C1 如解图；(2)画出A 1B2C2 如解图 9 第 21 题解图22. 解：(1)如解图所示，则A 1B1C1 即为所求作的三角形，A 1(4，1) ，B 1(2，0)；(2)如解图所示， A2B2C2 即为所求作的三角形第 22 题解图(3)点 C 经过的路径长即为以点(0，3)
21、 为圆心，2 为半径的半圆弧长，2点 C 经过的路径长为 2r2 .12 2满分冲关1. A 【解析】四边形 ABCD 是矩形，ABCD8，AD90 ，ADBC，AD BC，DECACB ，由折叠的性质，得ABAB8，AE AE4，BAEA90，ABCD，BACD90，在ABC 和 DCE中， ，ABCDCE(AAS) ，ACDE，设 ACDEx，则 ACB DEC BAC DAB CD )BCADDE AEx4，在 RtABC 中，AB 2AC 2BC 2，即 82x 2(x 4) 2，解得x6，ACDE6，tanDEC .CDDE 86 432. ( ， ) 【解析】 如解图，连接 OB，
22、OB ，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 B作 BDx 轴于点6 6D，四边形 ABCO 是菱形， AOC60，OCBC2，BOD30 ，BCE 60 ，则CE1，BE ，OE 3，根据勾股定理可得 OB 2 ，由旋转的性质得3 OE2 BE2 3 10 OBOB2 ，BOB 75，COBBOBBOE45，ODBD，在 RtODB中，根3据勾股定理得 OD2BD 2OB 2，即 2OD212，解得 OD ，即 BD ，点 B在第四象限，6 6点 B的坐标为( ， )6 6第 2 题解图3. (1， ) 【解析】如解图，过点 B作 BEAB 于点 E，连接 AM，设点 M 坐标为( 1，m
23、)，正方形33ABCD是由正方形 ABCD 逆时针旋转 30得到的，ABAD，AMAM，ADM ABM，ABMADM，BAMMADDAD 30 ，则 BC所在直线的斜率 k ，设 BC所在直线33解析式为 y xb，正方形 ABCD 的边长为 1，B( ， )，将( ， )代入直线解析式，可33 12 32 12 32得 BC所在直线解析式为 y x ，当 x1 时， y ，即 m ，故点 M 的坐标为( 1，33 233 33 33)33第 3 题解图4. ( ，0) 【解析】如解图，将点 B 向左平移 2 个单位长度得到 B(4，4)，作点 D 关于 x 轴的对称点103D(0，2)，连接
24、 BD，与 x 轴的交点为 E，此时四边形 BDEF 的周长最小，四边形 BDEF 的周长为 BDDEEF BF，BD 与 EF 是定值，当 BFDE 最小时，四边形 BDEF 的周长最小，BFEDBEED B D，设直线 BD的解析式为 y kxb(k 0)，将点 B(4，4)、D(0，2) 分别代入 BD的解析式中，得 ，解得 ，直线 BD的解析式为 y x2，令 y0，得4k b 4b 2) k 32b 2) 32x ，OE ，EF2，OFOE EF 2 ，点 F 的坐标为( ，0)43 43 43 103 103 11 第 4 题解图5. 解：(1)BD AC( 或相互平行) ；【解法
25、提示】由折叠得BCA BCA，由矩形 ABCD 知ADBC，BCADAC，DACBCA，即EAC ECA，AECE，又由题知ADBCBC，ADAE BCCE, 即 DE BE，BEDAEC，EBDEDBEAC ECA ，BDAC.菱形；【解法提示】由(1)知 AECE，即 AEC 是等腰三角形，剪开后得到四条边相等的四边形即菱形(2)结论仍成立若选择结论，证明：BC AD，AECE，BEDE，CBDADB，AECBED，ACBCAD，ADBDAC，BDAC；第 5 题解图若选择结论，证明：如解图所示，设点 E 的对应点为点 F，四边形 ABCD 是平行四边形，CFAE，DACACF，由折叠可得
26、ACEACF，DACACE，AECE，即AEC 是等腰三角形， 12 剪开后得到四条边相等的四边形即菱形；(3)11 或 1；3【解法提示】如解图， 两次折叠后得轴对称图形即AOD 是等腰直角三角形，第 5 题解图DAC45，ADCD，矩形长宽之比是 11.如解图，两次折叠后得轴对称图形，CDE ADB，CDB 2ADB ，即CDB 2DBC，又CDB DBC90，BDC60， tan60 ，BCCD 3矩形长宽之比是 1.3第 5 题解图(4)4 或 6 或 8 或 12.【解法提示】情况 1：如解图，当ABD90时，即 BDAB.第 5 题解图同(1)中易知 BDAC，ACAB，即BAC9
27、0 ， 13 由折叠知BACBAC90，在 RtABC 中，B 30，AB4 ，3BC 8.ABcos30情况 2：如解图，当BAD90时，第 5 题解图由翻折得BABC30，ABAB4 ，3在 RtBAE 中，ABE 30，AB 4 ，3则 BE 8，AE4.ABcos30同(1)中易知 AEC 和B ED 都是等腰三角形，DEBE8，BCADAE DE4812.情况 3：如解图，当BDA90时，即 BDAD ，第 5 题解图由 ACBD 得 ACAD 即 ACBC ，在 RtACB 中，B30，AB4 ，3BCABcos306.情况 4：如解图，当BAD 90时，第 5 题解图由ABCD 得BAD 180 30150，BAB BADBAD15090 60，BAC BAC 60230 ，同(1)中易知 AEC 和BED 都是等腰三角形， 14 BDCBAC ACE30，CEB BACACE60 ，CBEB30，ECB 180 CEB CBE 90，在 RtBCD 中，BDC 30，CD4 ，3BCBC CDtan304 4.333