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2019年中考数学最后复习压轴训练:三角形综合(含答案解析)

1、2019 年中考数学最后一轮复习(压轴训练):三角形综合1在 ABC 中,点 E、 F 在边 BC 上,点 D 在边 AC 上,连接ED、 DF, m, A EDF120(1)如图 1,点 E、 B 重合, m1 时若 BD 平分 ABC,求证: CD2 CF CB;若 ,则 或 ;(2)如图 2,点 E、 B 不重合若 BE CF, m, ,求 m 的值解:(1) , AB AC, BD 平分 ABC, ABD DBF, BDC A+ ABD BDF+ CDF,且 A BDF120, ABD CDF DBF,且 C C, CDF CBD, , CD2 BCCF;如图 1,过 A 作 AG B

2、C 于 G,过 F 作 FH BC,交 AC 于 H, C30, CH2 F H,设 FH2 a, CH4 a,则 CF2 a, , BC15 a, CG a, AG a, AC15 a, AH11 a, BAD BDF DHF120, ADB+ FDH ADB+ ABD18012060, ABD FDH, ABD HDF, ,即 ,设 AD x,则 DH11 a x,30 a2 x(11 a x) ,x211 ax+30a20,( x5 a) ( x6 a)0,x5 a 或 6a, 或 ,故答案为: 或 ;(2)如图 2,过 E 作 EH AB,交 AC 于 H,过 D 作 DM EH 于

3、M,过 F 作 FG ED,交 AC于 G, BE CF, , , FG ED, ,设 CG3 a, DG7 a, m, A EDF120, ABC DFE, DEC C, DE DC10 a, FG DE, GFC DEF C, FG CG3 a,同理由(1)得: EHD DFG, ,即 ,DH ,Rt DHM 中, DHM60, HDM30, HM DH , DM a, EM a, EH a a a, m 2定义:在一个三角形中,若存在两条边 x 和 y,使得 y x2,则称此三角形为“平方三角形” , x 称为平方边(1) “若等边三角形为平方三角形,则面积为 是 真 命题;“有一个角为

4、 30且有一条直角边为 2 的直角三角形是平方三角形”是 假 命题;(填“真”或“假” )(2)若 a, b, c 是平方三角形的三条边,平方边 a2,若三角形中存在一个角为 60,求 c 的值;(3)如图,在 ABC 中, D 是 BC 上一点若 CAD B, CD1,求证, ABC 是平方三角形;若 C90, BD1, AC m, CD n,求 tan DAB (用含 m, n 的代数式表示)解:(1)等边三角形为平方三角形,根据平方三角形的定义可知:等边三角形的边长为 1,等边三角形的面积 ,是真命题当直角三角形中,30所对的直角边为 2 时,斜边为 4,满足平方三角形的定义,当直角三角

5、形中,和 30相邻的直角边是 2 时,不是平方三角形,故是假命题,故答案为真,假(2)因为 a, b, c 是平方三角形的三条边,平方边 a2,三角形中存在一个角为 60,只有 B 或 C60, A 不可能为 60,不妨设 B60, BC2,如图 1 中,当 c a2时, a2, c2 24如图 2 中,当 b a24 时,作 CH AB 于 H在 Rt BCH 中, B60, CHB90, BC2, BH BC1, CH BH ,在 Rt ACH 中, AH , c AB BH+AH1+ ,综上所述, c 的长为 4 或 1+ (3)如图 3 中, C C, CAD B, CAD CBA,

6、, AC2 CDCB, CD1, AC2 BC, ABC 是平方三角形如图 4 中,作 DH AB 于 H在 Rt ABC 中, C90, AC m, BC CD+BD1+ n, AB , DH AB, DHB90, B B, DHB C90, BHD BCA, , , DH , BH , AH ,tan DAB 3如图 1,在 ABC 中, AB AC, AD BC 于 D,分别延长 AC 至 E, BC 至 F,且 CE EF,延长 FE 交 A D 的延长线于 G(1)求证: AE EG;(2)如图 2,分别连接 B G, BE,若 BG BF,求证: BE EG;(3)如图 3,取 G

7、F 的中点 M,若 AB5,求 EM 的长证明:(1)如图 1,过 E 作 EH CF 于 H, AD BC, EH AD, CEH CAD, HEF G, CE EF, CEH HEF, CAD G, AE EG;(2)如图 2,连接 GC, AC BC, AD BC, BD CD, AG 是 BC 的垂直平分线, GC GB, GBF BCG, BG BF, GC BE, CE EF, CEF1802 F, BG BF, GBF1802 F, GBF CEF, CEF BCG, BCE CEF+ F, BCE BCG+ GCE, GCE F,在 BEF 和 GCE 中, , BEF GEC

8、( SAS) , BE EG;(3)如图 3,连接 DM,取 AC 的中点 N,连接 DN,由(1)得 AE EG, GAE AGE,在 Rt ACD 中, N 为 AC 的中点, DN AC AN, DAN ADN, ADN AGE, DN GF,在 Rt GDF 中, M 是 FG 的中点, DM FG GM, GDM AGE, GDM DAN, DM AE,四边形 DMEN 是平行四边形, EM DN AC, AC AB5, EM 4 【阅读材料】小明遇到这样一个问题:如图 1,点 P 在等边三角形 ABC 内,且 APC150,PA3, PC4,求 PB 的长小明发现,以 AP 为边作

9、等边三角形 APD,连接 BD,得到 ABD;由等边三角形的性质,可证 ACP ABD,得 PC BD;由已知 APC150,可知 PDB 的大小,进而可求得PB 的长(1)请回答:在图 1 中, PDB 90 , PB 5 【问题解决】(2)参考小明思考问题的方法,解决下面问题:如图 2, ABC 中, ACB90, AC BC,点 P 在 ABC 内,且PA1, PB , PC2 ,求 AB 的长【灵活运用】(3)如图 3,在 Rt ABC 中, ACB90, BAC,且 tan ,点 P 在 ABC外,且 PB3, PC1,直接写出 PA 长的最大值解:(1)如图 1 中, ACP AB

10、D, PDB APC150, PC BD4, AD AP3, ADP 为等边三角形, ADP60, DP AD3, BDP1506090, PB 5故答案为:90,5;(2)如图 2 中,把 ACP 绕点 C 逆时针旋转 90得到 BCD由旋转性质可知; BD PA1, CD CP2 , PCD90, PCD 是等腰直角三角形, PD PC 2 4, CDP45, PD2+BD24 2+1217, PB2( ) 217, PD2+BD2 PB2, PDB90, BDC135, APC CDB135, CPD45, APC+ CPD180, A, P, D 共线, AD AP+PD5,在 RtA

11、DB 中, AB (3)如图 3 中,作 CD CP,使得 CD PC ,则 PD ,tan BAC , , ACB PCD90, ACD BCP, ACD BCP, , AD , PA + , PA , PA 的最大值为 5一节数学课后,老师布置了一道课后练习: ABC 是等边三角形,点 D 是线段 BC 上的点,点 E 为 ABC 的外角平分线上一点,且 ADE 如图,当点 D 是线段 BC 上(除B, C 外)任意一点时,求证: AD DE(1)理清思路,完成解答本题证明思路可以用下列框图表:根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程;(2)特殊位置,计算求解当点 D 为 BC 的中点时

12、,等边 ABC 的边长为 6,求出 DE 的长;(3)知识迁移,探索新知当点 D 在线段 BC 的延长线上,且满足 CD BC 时若 AB2,请直接写出 ADE 的面积(不必写解答过程)(1)证明:如图中,过点 D 作 DF AC,交 AB 于点 F ABC 是等边三角形, AB BC, B ACB ABC60,又 DF AC, BDF BFD60, BDF 是等边三角形, BF BD, BFD60, AF CD, AFD120, EC 是外角的平分线, DCE120 AFD, ADC 是 ABD 的外角, ADC B+ FAD60+ FAD, ADC ADE+ EDC60+ EDC, FAD

13、 EDC,在 AFD DCE 中, AFD DCE( ASA) , AD DE(2)如图中, ABC 是等边三角形, AB AC BC6, BD DC3, AD BC, ADB90, AD 3 ,由(1)可知: DE AD3 (3)如图 3 中, CA CD CB2, BAD90, AD 2 , ABD DCE, BAD EDC90, ABD60, ADB30, ADE60, AD DE, ADE 是等边三角形, S ADE (2 ) 23 6已知如图 1,在 ABC 中, ACB90, BC AC,点 D 在 AB 上, DE AB 交 BC 于 E,点F 是 AE 的中点(1)线段 FD

14、与线段 FC 的数量关系 DF FC ,位置关系 DF FC ;(2)如图 2,将 BDE 绕点 B 逆时针旋转 a(0 a90) ,其它条件不变,线段 FD与线段 FC 的关系是否变化,写出你的结论并证明;(3)将 BDE 绕点 B 逆时针旋转一周,如果 BC4, BE2 ,直接写出线段 BF 的范围解:(1)如图 1 中, ADE ACE90, AF FE, DF AF EF CF, FAD FDA, FAC FCA, DFE FDA+ FAD2 FAD, EFC FAC+ FCA2 FAC, CA CB, ACB90, BAC45, DFC EFD+ EFC2( FAD+ FAC)90,

15、 DF FC, DF FC,故答案为: DF FC, DF FC(2)结论不变理由:如图 2 中,延长 AC 到 M 使得 CM CA,延长 ED 到 N,使得 DN DE,连接BN、 BM EM、 AN,延长 ME 交 AN 于 H,交 AB 于 O BC AM, AC CM, BA BM,同法 BE BN, ABM EBN90, NBA EBM, ABN MBE, AN EM, BAN BME, AF FE, AC CM, CF EM, FC EM,同法 FD AN, FD AN, FD FC, BME+ BOM90, BOM AOH, BAN+ AOH90, AHO90, AN MH,

16、FD FC(3)如图 3 中,当点 E 落在 AB 上时, BF 的长最大,最大值3如图 4 中,当点 E 落在 AB 的延长线上时, BF 的值最小,最小值 综上所述, BF3 7 【操作发现】(1)如图 1,将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到 ADE,连接 BD,则 ABD 的度数是 45 【类比探究】(2)如图 2,在等腰直角三角形 ABC 内取一点 P,使 APB135,将 ABP 绕顶点 A逆时针旋转 90得到 ACP,连接 PP请猜想 BP 与 CP有怎样的位置关系,并说明理由【解决问题】(3)如图 3,在等腰直角三角形 ABC 内任取一点 P,连接 PA、 PB、 PC求

17、证:PC+ PA PB解:(1)如图 1,由旋转得: BAD90, AB AD, BAD 是等腰直角三角形, ABD45,故答案为:45;(2) BP CP,理由是:如图 2,由旋转得: AB AC, AP AP, BAC PAP90, ABP ACP( SAS) , APB APC135, AP AP, PAP90, APP是等腰直角三角形, APP45, APB+ APP180, B、 P、 P三点共线, CPB1354590, BP CP;(3)如图 3,将 ABP 绕点 A 逆时针旋转 90得到 ACP, ACP ABP, PC PB, PA PA,连接 PP, PAP90, PP P

18、A,在 PCP中, PC+PP PC, PC+ PA PB8如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0) ,以线段 OA 为边在第四象限内作等边三角形 AOB,点 C 为 x 正半轴上一动点( OC2) ,连接 BC,以线段 BC 为边在第四象限内作等边三角形 CBD 连接 DA 并延长交 y 轴于点 E(1)在点 C 的运动过程中, OBC 和 ABD 全等吗?请说明理由;(2)在点 C 的运动过程中, CAD 的度数是否会变化?如果不变,请求出 CAD 的度数;如果变化请说明理由;(3)探究当点 C 运动到什么位置时,以 A, E, C 为顶点的三角形是等腰三角形?解:(1) OB

19、C 和 ABD 全等,理由是: AOB, CBD 都是等边三角形, OB AB, CB DB, ABO DBC, OBC ABD,在 OBC 和 ABD 中, , OBC ABD( SAS) ;(2)点 C 在运动过程中, CAD 的度数不会发生变化,理由如下: AOB 是等边三角形, BOA OAB60, OBC ABD, BAD BOC60, CAD180 OAB BAD60;(3) OBC ABD, BOC BAD60,又 OAB60, OAE180606060, EAC120, OEA30,以 A, E, C 为顶点的三角形是等腰三角形时, AE 和 AC 是腰,点 A 的坐标为(2,

20、0) , OA2,在 Rt AOE 中, OEA30, AE4, AC AE4, OC2+46,当点 C 的坐标为(6,0)时,以 A, E, C 为顶点的三角形是等腰三角形9如图 1, ABC 中, CD AB 于 D,且 BD: AD: CD2:3:4(1)试说明 ABC 是等腰三角形;(2)已知 S ABC40 cm2,如图 2,动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 M 向点A 运动,同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC 向点 C 运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止,设点 M 运动的时间为 t(秒) 若 DMN 的边与 BC 平行,求 t 的值;在点

21、M、 N 运动的过程中, AMN 能否成为直角三角形?若能,直接写出 t 的值;若不能,请说明理由解:(1)设 BD2 x, AD3 x, CD4 x,则 AB5 x,在 Rt ACD 中, AC 5 x, AB AC, ABC 是等腰三角形;(2) S ABC 5x4x40 cm2,而 x0, x2 cm,则 BD4 cm, AD6 cm, CD8 cm, AC10 cm当 MN BC 时, AM AN,即 10 t t, t5;当 DN BC 时, AD AN,得: t6;若 DMN 的边与 BC 平行时, t 值为 5 或 6由题意知 AM AD DM6 t, AN t,如图 1,当 A

22、MN90时, AMN ADC,则 ,即 ,解得: t ;如图 2,当 ANM90时, AMN ACD,则 ,即 ,解得: t ;综上, t 或 时, AMN 是直角三角形10在 ABC 中, AB AC10,sin BAC ,过点 C 作 CD AB,点 E 在边 AC 上,AE CD,联结 AD, BE 的延长线与射线 CD、射线 AD 分别交于点 F、 G设 CD x, CEF的面积为 y(1)求证: ABE CAD(2)如图,当点 G 在线段 AD 上时,求 y 关于 x 的函数解析式及定义域(3)若 DFG 是直角三角形,求 CEF 的面积解:(1) CD AB, BAC ECD,又

23、AE CD, AB AC, DAC EBA( SAS) , ABE CAD;(2)过点 E 作 EH AB,垂足为 H,由题意知 CE AC AE10 x, EH AEsin CAB x, AH x,则 S ABE ABEH 10 x3 x, CF BA, CEF AEB, ( ) 2,即 , y (0 x5 5) ;(3)由于 DFG EBA ABC,所以 DFG 不可能为直角,当 DGF90时, EGA90,由 GAE GBA 知 GAE GBA,tan GBA ,在 Rt EHB 中,tan GBA , ,解得: x0(舍)或 x5, S CEF 15;当 GDF90时, BAG90,由

24、知 GAE GBA,则 AEB GEA90, BE ABsin BAC10 6, AE 8, CE AC AE2,由 CEF AEB 知 ,即 ,则 EF , S CEF EFCE 2 ,综上所述,若 DFG 是直角三角形,则 CEF 的面积为 15 或 11已知:等边三角形 ABC(1)如图 1, P 为等边 ABC 内一点,且 PAE 为等边三角形,则 BP EC(填“” ,“”或“” )(2)如图 2, P 为等边 ABC 外一点,且 BPC120试猜想线段 BP、 PC、 AP 之间的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图 3, P 为等边 ABC 内一点,且 APD120求证: PA+

25、PD+PC BD解:(1) APE 为等边三角形, AP AE, PAE60, ABC 为等边三角形, AC BC, BCA60 BAP CAE ABP ACE( SAS) BP CE,故答案为: (2)猜想: AP BP+PC,证明:延长 BP 至 E,使 PE PC,连接 CE, BPC120 CPE60又 PE PC, CPE 为等边三角形, CP PE CE, PCE60, ABC 为等边三角形, AC BC, BCA60 ACB PCE ACB+ BCP PCE+ BCP ACP BCE, ACP BCE( SAS) AP BE, BE BO+PE AP BP+PC(3)在 AD 外

26、侧作等边 ABD,则点 P 在三角形 ABD 外,连接 PB, BC, APD120由(1)得 PB AP+PD,在 PBC 中,有 PB+PC CB, PA+PB+PC CB, ABD、 ABC 是等边三角形, AC AB, AB AD BAD CAB ABD ACB( SAS) CB BD, PA+PD+PC BD12如图,在 ABC 中,点 D 在边 AB 上,点 E 在边 AC 上, CE BD,连接 CD, BE, BE 与 CD相交于点 F(1)如图 1,若 ACD 为等边三角形,且 CE DF,求 CEF 的度数;(2)如图 2,若 AC AD,求证: EF FB;(3)如图 3

27、,在(2)的条件下,若 CFE45, BCD 的面积为 4,求线段 CD 的长(1)解: CE BD, CE DF, BD DF, DFB B, ACD 为等边三角形, ADC C60, DFB B30, CEF90;(2)证明:作 BG AC 交 CD 的延长线于 G, C G, AC AD, C ADC, BDG G, BD BG, CE BD, BD CE, BG AC,在 CFE 和 GFB 中, CFE GFB, EF FB;(3)解:作 EP CD 于 P, BH CD 交 CD 的延长线于 H,设 EP x, GH a, CFE45, FP EP x, CFE GFB, BH EP x,则 FH BH x, BD BG, BH CD, DH GH a, CF FG x+a, DF x a, CD CF+DF2 x,由题意得, CDBH4,即 2xx4,解得, x2,则 CD2 x4