1、高中数学选修 2-3 知识点 第一章 计 数原理 1.1 分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。 分类要做到“不重不漏”。 分步 乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤。做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m n 种不同的方法。 分步要做到“步骤完整”。 n 元集合 A=a1， a2， an的不同子集有 2n个。 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 一般地，从 n 个不同元素中
2、取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列 (arrangement)。 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数 ，用符号 Anm表示。 排列数公式： n 个元素的全排列数 规定： 0!=1 1.2.2 组合 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合 (combination)。 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数
3、 ，用符号 Cnm或 (nm)表示。 组合数公式： Anm = Cnm Amm Anm = n!(nm)! = n(n1)(n2)(nm+1) Ann = n! 规定： = 组合数的 性质： 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 (binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与 这一项的二项式系数是两个不同的概念。 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 *表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性 (2) 当 n 是偶数时， 共有奇数项， 中间的一项 Cnn2+1取得最大值； 当 n 是奇数时， 共有偶数项， 中间的两项 Cnn12 ， Cnn+
4、12 同时取得最大值。 (3) 各二项式系数的和为 2n = Cn0 +Cn1 +Cn2 +Cnk +Cnn Cnm = AnmAmm =n!m!(nm)! =n(n1)(n2)(nm+1)m! kCnk = nCn1k1 Cnm = Cnnm (“构建组合意义” “殊途同归” ) Cn+1m = Cnm +Cnm1 （杨辉三角） *Cnk Cnkmk = Cnm Cmk Tk+1 = Cnkankbk (a+b)n = Cn0an +Cn1an1b+Cnkankbk +Cnnbn (nN*) 其中各项的系数 Cnk (k0， 1， 2， ， n)叫做 二项式系数 (binomial coef
5、ficient)； 式中的 Cnkankbk叫做 二项展开式的通项 ， 用 Tk+1表示通项展开式的第 k+1 项 ： (4) 二项式展开式中， 奇数项 二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和 ： Cn0 +Cn2 +Cn4 + = Cn1 +Cn3 +Cn5 + (5) 一般地， Crr +Cr+1r +Cr+2r +Cn1r = Cnr+1 (n ) 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 (random variable)。 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映
6、为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。 所有取值可以一一列出的随机变量，称为 离散型随机变量 (discrete random variable)。 概率分布列 (probability distribution series)，简称为 分布列 (distribution series)。 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 也 可用等式 表示： P(X = xi) = pi ， i = 1， 2， ， n 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： (1) pi0， i=1， 2， ， n； (2) pini=1 = 1
7、随机变量 X 的 均值 (mean)或 数学期望 (mathematical expectation)： E(X) = x1p1 +x2p2 +xipi +xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 随机变量 X 的 方差 (variance)刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度 D(X) = (xi E(X)2pini=1其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的 标准差 (standard deviation)。 E(aX+b) = aE(X)+b D(aX+b) = a2D(X) 若随机变量 X 的分布具有下表的形式，则称 X 服从 两点分布 (two-point d
8、istribution)，并称 p=P(X=1)为成功概率。 (两点分布又称 0-1 分布 。由于只有两个可能结果的随机试验叫 伯努利试验 ，所以两点分布又叫 伯努利分布 ) X 0 1 P 1-p p 若 X 服从两点分布，则 E(X) = p ， D(X) = p(1p) 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 ( = k) = CMk CNMnkCNn ， k=0， 1， 2， ， m X 0 1 m P CM0 CNMn0CNn CM1 CNMn1CNn CMmCNMnmCNn 其中 m=minM， n，且 nN， MN， n， M， NN*
9、 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从 超几何分布(hypergeometric distribution)。 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 一般地，设 A， B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A) = P(AB)P(A) 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的 条件概率 (conditional probability)。 如果 B 和 C 是两个 互斥事件 ，则 P(BC|A) = P(B|A)+P(C|A) 2.2.2 事件的相互独立性 设 A， B 为两个事件，若 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 与事件 B
10、相互独立 (mutually independent)。 可以证明， 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立。 2.2.3 独立重复试验与二项分布 一般地，在相同条件下重复做的 n次试验称为 n次独立重复试验 (independent and repeated trials)。 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2)P(An) 其中 Ai (i=1， 2， ， n)是第 i 次试验的结果。 一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X = k) = Cnkpk(1p)nk ，
11、 k = 0， 1， 2， ， n 此时称随机变量 X 服从 二项分布 (binomial distribution)，记作 XB(n， p)，并称 p为成功概率。 若 XB(n， p) ，则 E(X) = kCnkpkqnknk=0= npCn1k1pk1qn1(k1)nk=1= npCn1k pkqn1kn1k=0= np(p+q)n1 = np D(X) = np(1p) *随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机变量。 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。 2.4 正态分布 一般地，如果对于任何实数 a， b (a0， P(a R22 ，则模型 1 比模型 2 拟合效果更好；若 R12 w0时，就判断“ X 和 Y 有关系” ；否则，判断“ X 和 Y 没有关系”。这里 w0为正实数，且满足在“ X 和 Y 没有关系”的前提下 P(W2 w0) = 0.01