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河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理科试题(含答案)

1、郑州市 2019 年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分考试时间 120 分钟,满分 150分考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效交卷时只交答题卡第卷(选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1已知集合 A 2,集合 Byy( ) x ,xR,则集合 AB 等于x112A (1,3 ) Bl ,3) C0 ,3) D (0 ,3)2已知 z(1i) (2i ) ,则 z 2A2 i B3i C5 D103 “0 m

2、2” 是“方程 表示椭圆”的21xym A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4已知 cos( ) ,( , ) ,则 cos201912A B C D2 32325我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数 的图象大致是41xf( ) 6等比数列 的前 项和为 ,若 4( ) ( ) , nanS2n1a321na N1a2327 ,则 5A81 B24 C 81 D247某同学 10 次测评成绩的数据如茎叶图所示

3、,总体 的中位数为 12若要使该总体的标准差最小,则4x2y 的值是A12 B14C 16 D188关于圆周率,数学发展史上出现过许多 很有创意的求法,如著名的蒲丰试验受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值,试验步骤如下:先请高二年级 n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x,y ) (0x1 ,0y1 ) ;若卡片上的 x,y 能与 1 构成锐角三角形,则将此卡片上交;统计上交的卡片数,记为 m;根据统计数 n,m 估计 的值那么可以估计 的值约为A B C Dmnnm 4n( ) 4n9已知函数 f(x)Asin(x ) , (A0,0, )的部分图象如图所示,则使 f(

4、ax)2f(a x)0 成立的 a 的最小正值为A B126C D4310如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是 某几何体的三视图,已知其俯视图是正三角形,则该几何体 的外接球的体积是A B195742654C D3311 F1, F2 是双曲线 (a0,b0 )的左右焦点,若双曲线上存在点 P 满足 21xy 1Fa 2,则双曲线离心率的取值范围为2PA ,) B ,) C (1, D (1, 3 3212设函数 f(x )在 R 上存在导函数 , R,有 f(x)f(x )x 3,在fx( ) (0 ,)上有 0 ,若 f(m 2)f(m)3m 26m 4,则实数 m 的取23

5、fx( ) 值范围为A1 ,1 B (,1 C 1,) D (,11,)第卷(非选择题共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22 23 题为选考题,考生根据要求作答二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡上 )13已知向量 a(1,) ,b(,2) ,若(ab)(a b) ,则 _14 12 本相同的资料书分配给三个班级,要求 每班至少一本且至多六本,则不同的分配方法共有_种15设函数 h( x)的定义域为 D,若满足条件:存在m,n D,使 h(x )在m ,n上的值域为2m,2n,则称 h(x )为

6、“倍胀函数” 若函数 f(x ) ax(a1)为“倍胀函数” ,则实数 a的取值范围是_16已知数列 满足 1, 2 1,若集合 M ( 1) ( 1) ,na1na nntna 中有 3 个元素,则实数 t 的取值范围是_N三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(一)必考题:共 60 分17 (本小题满分 12 分)在ABC 中,AB ,AC ,AD 为ABC 的内角平分线,AD223()求 的值;BDC()求角 A 的大小18 (本小题满分 12 分)如图,ABC,AB BC 2,ABC90,E ,F 分别为 AB,AC 边的中点,以 EF 为折

7、痕把 AEF折起,使点 A 到达点 P 的位置,且 PBBE ()证明:EF 平面 PBE;()设 N 为线段 PF 上动点,求直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值19 (本小题满分 12 分)在我国,大学生就业压力日益严峻,伴随着政府政策引导与社会观念的转变,大学生创业意识,就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收,担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业,该专营店统计了近五年来创收利润数 yi(单位:万元)与时间 ti (单位:年)的数据,列表如下:()依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请计算相关系数r 并加以说明(计算结果

8、精确到 001) (若r075,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)()该专营店为吸引顾客,特推出两种促销方案方案一:每满 500 元可减 50 元;方案二:每满 500 元可抽奖一次,每次中奖的概率都为 ,中奖就可以获得 100 元现金奖励,25假设顾客每次抽奖的结果相互独立某位顾客购买了 1050 元的产品,该顾客选择参加两次抽奖,求该顾客获得 100 元现金奖励的概率某位顾客购买了 1500 元的产品,作为专营店老板,是希望该顾客直接选择返回 150元现金,还是选择参加三次抽奖?说明理由20 (本小题满分 12 分)已知抛物线 C:y 22px(p 0) ,圆 E:(x3 ) 2y

9、 21()F 是抛物线 C 的焦点,A 是抛物线 C 上的定点, (0 ,2) ,求抛物线 C 的方程;AF()在()的条件下,过点 F 的直线 l 与圆 E 相切,设直线 l 交抛物线 C 于 P,Q 两点,则在 x 轴上是否存在点 M 使PMO=QMO(O 为坐标原点) ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由21 (本小题满分 12 分)已知函数 ,aRlnxefx( ) ( )()当 ae 时,求 f(x)的最小值;()若 f(x)有两个零点,求参数 a 的取值范围(二)选考题:共 l0 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分22 (本小题满

10、分 10 分)选修 44 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,曲线 C1:21xy , 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为21y 4sin4 ()若直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,点 P 在 C1 上,求 的取值范围;BAP()若直线 l 与 C2 交于 M,N 两点,点 Q 的直角坐标为(2,1) ,求QMQN的值23 (本小题满分 10 分)选修 45 :不等式选讲已知函数 f(x)x 1 ax2()求 a1 时,f(x)3 的解集;()若 f(x)有最小值,求 a 的取值范围,

11、并写出相应的最小值2019 年高中毕业年级第三次质量预测理科数学参考答案一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)1D 2D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡上13 14 . 15. 16 52(1,)e54t三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.解:(1)在 中,由正弦定理得: , 分ABDsini2BDA2 在 中,由正弦定理得: 分CsiinC4 因为 , 故 分sinsiADB3,2

12、,AB2DABC6 (2)在 中,由余弦定理得 分22cos1683cos228 在 中,ACD由余弦定理得 分22cos743cos22AADC10 又 ,解得 分21683cos472BCD3s1 又 ,故 分(0)2A,63A1 18.解:(1) 分别为 边的中点,所以 .1 分,EFBCEFBC因为 ,所以 .3 分90ABC P又因为 所以 4 分BEPEFPB平 面(2)取 的中点 ,连接 , O由(1)知 , ,F平 面 C平 面所以平面 PBE平 面因为 ,所以 ,POBE又因为 ,平面平 面 CFBE平 面所以 . .6 分 POCF平 面过 作 交 于 ,分别以 所在直线为

13、 轴建立空间直角坐标系,如MB ,OMPxyz图所示., .8 分 3(0,)2P1(,0)C1(,0)2F13(,2)C13(,)2F为线段 上一动点设 ,由 ,NNxyz0P得 , 9 分3(,(1)213(,()2B设平面 的法向量为 ,PCF)mxyz则 即 取 10 分01320xyz(1,3)设直线 与平面 所成角 ,BNPCF11 分2 2sin|co| 17515()482470358BNm直线 与 平面 所成角的正弦值的最大值为 .12 分BNPCF4703519解:(1)由题知 2 分555221113,4.7,8.,()0,().78i i iitytyty则 3 分r1

14、22()()niiiity4.7.4.0.9.558269故 与 的线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合4 分yt(2)顾客选择参加两次抽奖,设他获得 100 元现金奖励为事件 .A6 分123()5PAC设 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果相互独立,X则 8 分(3)B所以 10 分21.5Enp由于顾客每中一次可获得 100 元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为11 分1.20由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值 120 小于直接返现的 150 元,所以专营店老板希望顾客参加抽奖12 分20解:(1)抛物线 的焦点为 ,1 分C(,0)2

15、pF由 知 ,2 分(0,2)AF(,)p代入抛物线方程得 ,故抛物线 的方程为: 4 分24yx(2)当直线的斜率不存在时,过点 的直线不可能与圆 相切;(1,0)FE所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为 ,则所求的直线方程为 ,k()ykx所以圆心到直线 的距离为 , l2|1d当直线 与圆相切时,有 ,2|1kd3所以所求的切线方程为 或 6 分3()yx(1)yx不妨设直线 ,交抛物线于 两点,:(1)l1(,)P2()Qy联立方程组 ,得 .23()4yx2140x所以 , ,.8 分12x12假设存在点 使, 则 . 所以(0)MtPOQM0PQMk1212 12

16、211121212123()()3()() 3() 43()0()PQxxy xtxtkxtttt tt txtx即 故存在点 符合条件10 分t(,0)M当直线 时,3:1lyx由对称性易知点 也符合条件11 分(0)综上存在点 使 12 分1,MPOQM21.解析 :(1) ,定义域 ()(ln)xefa(0,)1 分2 21()x xeef x当 时, ,由于 在 恒成立,4 分a2()f x(0)故 在 单调递减, 在 单调递增. ()fx01()fx1,)故 5 分min()0.fae(2) 21)xfx当 时, 在 单调递减, 在 单调递增. ,ae()f0()fx1,)min()

17、(1)0fxfae只有一个零点6 分()fx当 时, ,故 在 恒成立,ex0xeae()故 在 单调递减, 在 单调递增. ()fx01()f1,)min(1)0.fxfae故当 时, 没有零点. 8 分ae()fx当 时,令 ,得 , , ,0xaxea()xe2(1)xe在 单调递减, 在 单调递增. ,10 分()x01()1,min(在 有两个零点 , ,)2x20x在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减,在 单调递增,()fx11()(1)2(,)x,又 ,0ae,+xfxf时 , 时此时 有两个零点,()fx综上 有两个零点,则 12 分ae22选修 4-4:坐标系与参数方程

18、( 本小题满分 10 分) 解: ( 1)由题意可知:直线 的普通方程为 , , ,l 01yxA10B的方程可化为 ,设点 的坐标为 , ,C012yxPsinco5 分12,04sinsinco BPA(2 )曲线 的直角坐标方程为: ,282yx直线 的标准参数方程为 ,代入 得: ,l 为 参 数myx212C072m设 , 两点对应的参数分别为 ,MN1, 故 , 异号,12m0721210 分1Qm23选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)解析:(1)当 时,1a23,2,()|1|11,xfx()3,fx当 时 解得2()23fx2,x当 时 恒成立,1当 时 解得x()f10,综上可得解集 5 分3,0(2)()2,2,()|1|2|11,axxfxax当 ,即 时, 无最小值;()0a()f当 ,即 时, 有最小值 ;11x1当 且 ,即 时, ()()amin()(1),fxfa当 且 ,即 时, 0a0i2综上:当 时, 无最小值;1()fx当 时, 有最小值 ;1当 时, amin()(),ffa当 时, 10 分1i2.x