1、郑州市 2019 年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试时间 120 分钟，满分 150分考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效交卷时只交答题卡第卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知集合 A 2，集合 Byy（ ） x ，xR，则集合 AB 等于x112A （1，3 ） Bl ，3） C0 ，3） D （0 ，3）2已知 z（1i） （2i ） ，则 z 2A2 i B3i C5 D103 “0 m
2、2” 是“方程 表示椭圆”的21xym A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4已知 cos（ ） ，（ ， ） ，则 cos201912A B C D2 32325我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数 的图象大致是41xf（ ） 6等比数列 的前 项和为 ，若 4（ ） （ ） ， nanS2n1a321na N1a2327 ，则 5A81 B24 C 81 D247某同学 10 次测评成绩的数据如茎叶图所示
3、，总体 的中位数为 12若要使该总体的标准差最小，则4x2y 的值是A12 B14C 16 D188关于圆周率，数学发展史上出现过许多 很有创意的求法，如著名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x，y ） （0x1 ，0y1 ） ；若卡片上的 x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为 m；根据统计数 n，m 估计 的值那么可以估计 的值约为A B C Dmnnm 4n（ ） 4n9已知函数 f（x）Asin（x ） ， （A0，0， ）的部分图象如图所示，则使 f（
4、ax）2f（a x）0 成立的 a 的最小正值为A B126C D4310如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体 的外接球的体积是A B195742654C D3311 F1， F2 是双曲线 （a0，b0 ）的左右焦点，若双曲线上存在点 P 满足 21xy 1Fa 2，则双曲线离心率的取值范围为2PA ，） B ，） C （1， D （1， 3 3212设函数 f（x ）在 R 上存在导函数 ， R，有 f（x）f（x ）x 3，在fx（ ） （0 ，）上有 0 ，若 f（m 2）f（m）3m 26m 4，则实数 m 的取23
5、fx（ ） 值范围为A1 ，1 B （，1 C 1，） D （，11，）第卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22 23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上 ）13已知向量 a（1，） ，b（，2） ，若（ab）（a b） ，则 _14 12 本相同的资料书分配给三个班级，要求 每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_种15设函数 h（ x）的定义域为 D，若满足条件：存在m，n D，使 h（x ）在m ，n上的值域为2m，2n，则称 h（x ）为
6、“倍胀函数” 若函数 f（x ） ax（a1）为“倍胀函数” ，则实数 a的取值范围是_16已知数列 满足 1， 2 1，若集合 M （ 1） （ 1） ，na1na nntna 中有 3 个元素，则实数 t 的取值范围是_N三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（一）必考题：共 60 分17 （本小题满分 12 分）在ABC 中，AB ，AC ，AD 为ABC 的内角平分线，AD223（）求 的值；BDC（）求角 A 的大小18 （本小题满分 12 分）如图，ABC，AB BC 2，ABC90，E ，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折
7、痕把 AEF折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE （）证明：EF 平面 PBE；（）设 N 为线段 PF 上动点，求直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值19 （本小题满分 12 分）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数 yi（单位：万元）与时间 ti （单位：年）的数据，列表如下：（）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果
8、精确到 001） （若r075，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案方案一：每满 500 元可减 50 元；方案二：每满 500 元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 ，中奖就可以获得 100 元现金奖励，25假设顾客每次抽奖的结果相互独立某位顾客购买了 1050 元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得 100 元现金奖励的概率某位顾客购买了 1500 元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回 150元现金，还是选择参加三次抽奖?说明理由20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 C：y 22px（p 0） ，圆 E：（x3 ） 2y
9、 21（）F 是抛物线 C 的焦点，A 是抛物线 C 上的定点， （0 ，2） ，求抛物线 C 的方程；AF（）在（）的条件下，过点 F 的直线 l 与圆 E 相切，设直线 l 交抛物线 C 于 P，Q 两点，则在 x 轴上是否存在点 M 使PMO=QMO（O 为坐标原点） ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由21 （本小题满分 12 分）已知函数 ，aRlnxefx（ ） （ ）（）当 ae 时，求 f（x）的最小值；（）若 f（x）有两个零点，求参数 a 的取值范围（二）选考题：共 l0 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满
10、分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C1：21xy ， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为21y 4sin4 （）若直线 l 与 x，y 轴的交点分别为 A，B，点 P 在 C1 上，求 的取值范围；BAP（）若直线 l 与 C2 交于 M，N 两点，点 Q 的直角坐标为（2，1） ，求QMQN的值23 （本小题满分 10 分）选修 45 ：不等式选讲已知函数 f（x）x 1 ax2（）求 a1 时，f（x）3 的解集；（）若 f（x）有最小值，求 a 的取值范围，
11、并写出相应的最小值2019 年高中毕业年级第三次质量预测理科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分）1D 2D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡上13 14 . 15. 16 52(1,)e54t三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.解：（1）在 中,由正弦定理得： , 分ABDsini2BDA2 在 中,由正弦定理得： 分CsiinC4 因为 , 故 分sinsiADB3,2
12、,AB2DABC6 （2）在 中,由余弦定理得 分22cos1683cos228 在 中,ACD由余弦定理得 分22cos743cos22AADC10 又 ,解得 分21683cos472BCD3s1 又 ,故 分(0)2A,63A1 18.解:（1） 分别为 边的中点,所以 .1 分,EFBCEFBC因为 ,所以 .3 分90ABC P又因为 所以 4 分BEPEFPB平 面（2）取 的中点 ,连接 , O由（1）知 , ,F平 面 C平 面所以平面 PBE平 面因为 ,所以 ,POBE又因为 ,平面平 面 CFBE平 面所以 . .6 分 POCF平 面过 作 交 于 ,分别以 所在直线为
13、 轴建立空间直角坐标系,如MB ,OMPxyz图所示., .8 分 3(0,)2P1(,0)C1(,0)2F13(,2)C13(,)2F为线段 上一动点设 ,由 ,NNxyz0P得 , 9 分3(,(1)213(,()2B设平面 的法向量为 ,PCF)mxyz则 即 取 10 分01320xyz(1,3)设直线 与平面 所成角 ,BNPCF11 分2 2sin|co| 17515()482470358BNm直线 与 平面 所成角的正弦值的最大值为 .12 分BNPCF4703519解：（1）由题知 2 分555221113,4.7,8.,()0,().78i i iitytyty则 3 分r1
14、22()()niiiity4.7.4.0.9.558269故 与 的线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合4 分yt（2）顾客选择参加两次抽奖,设他获得 100 元现金奖励为事件 .A6 分123()5PAC设 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果相互独立,X则 8 分(3)B所以 10 分21.5Enp由于顾客每中一次可获得 100 元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为11 分1.20由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值 120 小于直接返现的 150 元,所以专营店老板希望顾客参加抽奖12 分20解:（1）抛物线 的焦点为 ,1 分C(,0)2
15、pF由 知 ,2 分(0,2)AF(,)p代入抛物线方程得 ,故抛物线 的方程为： 4 分24yx（2）当直线的斜率不存在时,过点 的直线不可能与圆 相切；(1,0)FE所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为 ,则所求的直线方程为 ,k()ykx所以圆心到直线 的距离为 , l2|1d当直线 与圆相切时,有 ,2|1kd3所以所求的切线方程为 或 6 分3()yx(1)yx不妨设直线 ,交抛物线于 两点,:(1)l1(,)P2()Qy联立方程组 ,得 .23()4yx2140x所以 , ,.8 分12x12假设存在点 使, 则 . 所以(0)MtPOQM0PQMk1212 12
16、211121212123()()3()() 3() 43()0()PQxxy xtxtkxtttt tt txtx即 故存在点 符合条件10 分t(,0)M当直线 时,3:1lyx由对称性易知点 也符合条件11 分(0)综上存在点 使 12 分1,MPOQM21.解析 ：（1） ,定义域 ()(ln)xefa(0,)1 分2 21()x xeef x当 时, ,由于 在 恒成立,4 分a2()f x(0)故 在 单调递减, 在 单调递增. ()fx01()fx1,)故 5 分min()0.fae（2） 21)xfx当 时, 在 单调递减, 在 单调递增. ,ae()f0()fx1,)min()
17、(1)0fxfae只有一个零点6 分()fx当 时, ,故 在 恒成立,ex0xeae()故 在 单调递减, 在 单调递增. ()fx01()f1,)min(1)0.fxfae故当 时, 没有零点. 8 分ae()fx当 时,令 ,得 , , ,0xaxea()xe2(1)xe在 单调递减, 在 单调递增. ,10 分()x01()1,min(在 有两个零点 , ，)2x20x在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减,在 单调递增，()fx11()(1)2(,)x,又 ,0ae,+xfxf时 ， 时此时 有两个零点，()fx综上 有两个零点,则 12 分ae22选修 4-4：坐标系与参数方程
18、( 本小题满分 10 分) 解: （ 1）由题意可知：直线 的普通方程为 , , ，l 01yxA10B的方程可化为 ,设点 的坐标为 , ,C012yxPsinco5 分12,04sinsinco BPA（2 ）曲线 的直角坐标方程为： ，282yx直线 的标准参数方程为 ,代入 得： ，l 为 参 数myx212C072m设 , 两点对应的参数分别为 ,MN1, 故 , 异号，12m0721210 分1Qm23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）解析：（1）当 时,1a23,2,()|1|11,xfx()3,fx当 时 解得2()23fx2,x当 时 恒成立，1当 时 解得x()f10,综上可得解集 5 分3,0（2）()2,2,()|1|2|11,axxfxax当 ,即 时, 无最小值；()0a()f当 ,即 时, 有最小值 ；11x1当 且 ,即 时, ()()amin()(1),fxfa当 且 ,即 时, 0a0i2综上：当 时, 无最小值；1()fx当 时, 有最小值 ；1当 时, amin()(),ffa当 时, 10 分1i2.x
