1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（一）17已知 na的前 项和24nS（1）求数列 n的通项公式；（2）求数列72na的前 项和 nT【答案】 （1） 5na；（2） 1362nn【解析】 （1）当 时， 21415nnSnn，当 n时， 13aS适合上式， 52na（2）解：令 172nnb，所以 232145n nT，23114nnT，两式相减得：2111 32222nnn nT，故 136nn18在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，已知sincosab，35（1）求 的值；（2）若 5a，D 为 AB 边上的点，且 2ADB，求 CD 的长
2、【答案】 （1）20；（2） 13CD【解析】 （1）由 sincosaBbA得： insicosBA，A、B、C 是 的内角， si0，因此， tan1，故4由3cos5得：234sin15B又 cosCAAB；也就是2cossins410（2）解：由2cos10C得：27sin10，由正弦定理得：572sin410c，2143BDc，在 ABC 中，22551469D， 1C19如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，12AECD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示（1）求证： /EM平面 ABC；（2）求出该
3、几何体的体积【答案】 （1）见解析；（2）4【解析】 （1） 为 DB的中点，取 C中点 G，连接 EM、 G、 A；则 /MGC，且12， /MAE且 ，故四边形 AE为平行四边形， ，又 平面 B， 平面 BC， /平面 ABC（2）解：由己知， 2， 4D， ，且 2，EA平面 C， EA，又 ， 平面 DE，B是四棱锥 的高，梯形 ACDE的面积2462DSAC，143BACEV，即所求几何体的体积为 420动点 P到定点 0,F的距离比它到直线 2y的距离小 1，设动点 P的轨迹为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两个不同的点，过点 A、B 分别作曲线 C 的切线，且
4、二者相交于点 M（1）求曲线 C 的方程；（2）求证： 0ABMF；（3）求ABM 的面积的最小值【答案】 （1）24xy；（2）见解析；（3）4【解析】 （1）由已知，动点 P在直线 2y上方，条件可转化为动点 P到定点0,F的距离等于它到直线 1距离， 动点 P的轨迹是以 0,1F为焦点，直线 y为准线的抛物线，故其方程为24xy（2）证：设直线 AB的方程为： 1ykx，由21ykx得： 240kx，设 ,Axy， ,xy，则 4AB， 4AB由2y得：214，2yx， 直线 AM的方程为：214AAxyx，直线 B的方程为：214BBxyx，得：2 214BABBAxxx，即2ABxk
5、，将 2ABx代入得：2 21144BAABAxy，14ABy，故 2,1Mk，2,MFk， ,BABAxkx，20AB ， MF1（3）解：由（2）知，点 M到 AB的距离2dk，224AABFykx，322214112Sdk，当 0k时， ABM 的面积有最小值 421已知函数lnexmf（m、n 为常数， e2.718是自然对数的底数） ，曲线 yf在点 1,f处的切线方程是y（1）求 m、n 的值；（2）求 fx的最大值；（3）设eln12xgf（其中 fx为 f的导函数） ，证明：对任意 0x，都有 ex （注：1ln）【答案】 （1） 2n， m；（2）max2ef；（3）见解析【
6、解析】 （1）由lexnf，得ln0exf，由已知得0enf，解得 m又21ef， ， 2m（2）解：由（1）得：21lnexfx，当 0,x时， 10， l0，所以 l0x；当 ,时， x， lnx，所以 1ln，当 0,1x时， 0f；当 ,时， 0fx，f的单调递增区间是 ,1，单调递减区间是 1,， 1时，max2ef（3）证明：eln1ln102xxxgf对任意0x，21e等价于 2elxx，令ln0px，则 l2，由 ln20px得： 2ex，当 0,ex时， 0， 单调递增；当2,时， px， x单调递减，所以 px的最大值为 22e1，即 2ln1ex 设 lnq，则0xq，当 0,x时， x单调递增， q，故当 0,x时， ln10qx，即 1lnx，22e1ln1lx，对任意 x，都有 21egx