1、课时作业(八)1.4 第 2 课时 角平分线性质定理的应用 一、选择题1下列说法：在ABC 中，AB 的垂直平分线是 A，B 两点的对称点；角的两边关于角平分线所在的直线对称；在等腰三角形 ABC 中，两腰 AB，AC 关于A 的平分线所在的直线对称；在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的对称轴上；一个角的对称轴上的点到这个角的两边的距离相等其中正确的有( )A5 个 B4 个 C3 个 D2 个2如图 K81，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC 交 CD 于点E，BC7.5，DE2，则BCE 的面积为 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K81A1
2、0 B7 C7.5 D43.在正方形网格中，AOB 的位置如图 K82 所示，到AOB 两边距离相等的点应是( )图 K82A点 M B点 N C点 P D点 Q4如图 K83，在ABC 中，C90，B30，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧相交于点12P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则有下列说法：AD 平分BAC；ADC60；点 D 在 AB的垂直平分线上；S DAC S ABC 13.其中正确的有( )图 K83A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5.如图 K84，ABC 的面积等于
3、6，边 AC3.现将ABC 沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落在直线 AD 上的点 C处，点 P 在直线 AD 上，则线段 BP 的长不可能是( )图 K84A3 B4 C5 D6二、填空题6如图 K85，ABCD，O 为BAC，ACD 的平分线的交点，OEAC 于点 E.若两平行线间的距离为 6，则 OE_图 K857在ABC 中，AB4，AC3，AD 是ABC 的角平分线，则ABD 与ACD 的面积之比是_8在 RtABC 中，C90，O 是三个内角平分线的交点，AC3，BC4，点 O 到三边的距离 r_三、解答题9如图 K86，某新建住宅小区里有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明
4、灯 P，使它到绿地各边的距离相等请你在图中画出安装照明灯 P 的位置.图 K8610如图 K87，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边的中点，且 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F.求证：12.图 K8711如图 K88，AE 平分BAC，BDDC，DEBC，EMAB，ENAC，垂足分别为 D，M，N.求证：BMCN.图 K8812如图 K89，OC 是AOB 的平分线，P 是 OC 上一点PDOA 交 OA 于点 D，PEOB 交OB 于点 E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF.求证：DFEF.图 K8913如图 K810，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂
5、足分别为 E，F.求证：AD 垂直平分 EF.图 K810分类探究观察、猜想、探究：在ABC 中，ACB2B.(1)如图 K811，当C90，AD 平分BAC 时，求证：ABACDC；(2)如图 K811，当C90，AD 平分BAC 时，线段 AB，AC，DC 之间又有怎样的数量关系？(3)如图 K811，当 AD 平分ABC 的外角时，线段 AB，AC，DC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明图 K811详解详析课堂达标1解析 B 在ABC 中，AB 的垂直平分线是 A，B 两点的对称轴，故错误；都正确2解析 C 过点 E 作 EKBC 于点 K.BE 平分ABC，
6、CDAB，EKDE2，BCE 的面积 BCEK 525.12 12故选 C.3A4解析 D 根据作图的过程可知，AD 平分BAC.故正确；在ABC 中，C90，B30，CAB60.又AD 平分BAC，BADCAD BAC30，12ADC90CAD60.故正确；BADB30，ADBD，点 D 在 AB 的垂直平分线上故正确；在 RtACD 中，CAD30，CD AD，12BCCDBD ADAD AD.12 32S DAC ACCD ACAD，S ABC ACBC AC AD ACAD，12 14 12 12 32 34S DAC S ABC ( ACAD)( ACAD)13，故正确14 34综上
7、所述，正确的结论是，共 4 个5解析 A 如图，过点 B 作 BEAC 于点 E，BEAC于点 E，易知 AB 平分DAC，先利用三角形的面积公式求出 BE4，得 BE4，由垂线段最短可知 BPBE，可得正确答案6答案 3解析 如图，过点 O 作 OFAB 于点 F，OGCD 于点 G.ACD 与BAC 的平分线相交于点 O，OEAC，OEOFOG.FG6，OE3.故答案为 3.7答案 43解析 如图，过点 D 作 DEAB，DFAC，E，F 为垂足，D 为BAC 的平分线 AD 上一点，则DEDF.由 AB4，AC3，ABD 的面积为 ABDE，ACD 的面积为 ACDF，从而得到ABD 与
8、12 12ACD 的面积之比即 AB 与 AC 之比，故答案为 43.819解：照明灯到绿地各边的距离相等，照明灯 P 的位置为ABC 的角平分线的交点，如图10证明：如图，连接 AD.ABAC，D 是 BC 边的中点，AD 平分BAC.DEAB，DFAC，DEDF，12.11证明：如图，连接 BE，EC.BDDC，DEBC，BECE.AE 平分BAC，EMAB，ENAC，EMEN，EMBENC90.在 RtBME 和 RtCNE 中，BECE，EMEN，RtBMERtCNE，BMCN.12证明：点 P 在AOB 的平分线 OC 上，PDOA，PEOB，PDPE，DOPEOP，PDOPEO90
9、，DPF90DOP，EPF90EOP，DPFEPF.在DPF 和EPF 中，PDPE，DPFEPF，PFPF，DPFEPF，DFEF.13证明：AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，DEDF，EADFAD，AEDAFD90，AEDAFD，AEAF，点 A 在线段 EF 的垂直平分线上又DEDF，点 D 在线段 EF 的垂直平分线上，AD 垂直平分 EF.素养提升解：(1)证明：过点 D 作 DEAB，垂足为 E.AD 平分BAC，DCAC，DEAB，DCDE.在 RtACD 和 RtAED 中，ADAD，DCDE，RtACDRtAED，ACAE.ACB2B，C90，B45.DEAB，
10、BDE45，BEDEDC.ABAEBE，ABACDC.(2)ABACDC.理由：在 AB 上截取 AGAC，连接 DG.AD 平分BAC，GADCAD.在ADG 和ADC 中，AGAC，GADCAD，ADAD，ADGADC，DGDC，AGDACB.ACB2B，AGD2B.又AGDBGDB，BGDB，BGDGDC，则 ABBGAGDCAC.即 ABACDC.(3)ABDCAC.证明：在 AF 上截取 AGAC，连接 DG.AD 平分FAC，GADCAD.在ADG 和ADC 中，AGAC，GADCAD，ADAD，ADGADC，DGDC，AGDACD，即ACBFGD.ACB2B，FGD2B.又FGDBGDB，BGDB，BGDGDC，则 ABBGAGDCAC.即 ABDCAC.