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【大师珍藏】高考理科数学一轮单元训练金卷:第十七单元 立体几何综合(B卷)含答案

1、一轮单元训练金卷高三数学卷(B)第 十 七 单 元 立 体 几 何 综 合注 意 事 项 :1 答 题 前 , 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 , 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 : 每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ,写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 : 用 签 字 笔 直 接 答

2、 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 , 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知不同直线 , , ,不同平面 , , ,则下列命题正确的是( )ablA若 , ,则 B若 , ,则ll C若 , ,则 D若 , ,则b ll2某几何体的三视图如图所示(单位: ) ,则该几何体的表面积是( )cmA B C D2245cm

3、23c22045cm28c3设 , 为两条不同的直线, , 为两个不同的平面,下列命题中,正确的是( )abA若 , ,则 B若 , , ,则 ab a bC若 , ,则 D若 , , ,则a 4在正方形 中, 为棱 的中点,则( ) 1ABCDECDA B C D1E1AEB1AEC5如图, 是直三棱柱, ,点 、 分别是 、 的中点,若190B1FB,则 与 所成角的余弦值是( )BC1DAFA B C D3011230151506已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A B C D34247 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著

4、,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)面 为矩形,棱 若此几何体中, , , 和 都是边长为 2BCDEFA 4AB2EFA BCF的等边三角形,则此几何体的表面积为( )A B C D838362386238已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A B C D123663129在三棱锥 中, , , ,则三棱锥 外接SAC41S5SBA34SABSABC球的表面积为( )A B100 C D25 050210某几何体的三视图如下图所示,该几何体的体积是( )A2 B4 C6 D811在正四棱锥 中,已知 ,若 、 、 、 、 都在球 的表面上,则PACD0PBP

5、ABCO球 的表面积是四边形 面积的( )OA2 倍 B 倍 C 倍 D 倍2212如图,在棱长为 1 的正方体 中,点 、 是棱 、 的中点, 是底面1ADBEFBC1P上(含边界)一动点,满足 ,则线段 长度的取值范围是( )BCDPEF1APA B C D51,253,21,32,3二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请把答案填在题中横线上)13若某几何体的三视图如图所示,其中左视图是一个边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是_14在正方体 中,点 为正方形 的中心,则异面直线 与 所成角为1ABCDEABCD1AE1BD_15在长方体 中, , ,点 ,

6、分别为 , 的中点,点112EFC1在棱 上,若 平面 ,则四棱锥 的外接球的体积为_G1ACG AEFGABCD16如图,在梯形 中, , , , 、 分别是 、BDB 90:2:34ABEFAB的中点,将四边形 沿直线 进行翻折,给出四个结论:CD ; ;平面 平面 ;平面 平面 在翻折过程中,FFCFCFC可能成立的结论序号是_三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)如图,在三棱锥 中, , ,平面 平面 ,点 ,ABCDABCDABCDE( 与 , 不重合)分别在棱 , 上,且 FEADEF求证:(1) 平面 ;(2) C1

7、8 (12 分)如图,在四棱锥 中, ,且 PABCD 90BAPCD(1)证明:平面 平面 ;(2)若 , ,且四棱锥 的体积为 ,求该四棱锥的侧面PAD9083积19 (12 分)如图,在三棱柱 中, 平面 ,底面三角形 是边长为 2 的等1ABC1ABCABC边三角形, 为 的中点D(1)求证: 平面 ;1BC 1(2)若直线 与平面 所成的角为 ,求三棱柱 的体积AB301ABC20 (12 分)如图,在四棱锥 中,侧面 底面 ,侧棱 ,底面PABCDPABCD2PA为直角梯形,其中 , , , 为 中点ABCD 22O(1)求证: 平面 ;PO(2)求异面直线 与 所成角的余弦值;B

8、(3)求点 到平面 的距离ACD21 (12 分)如图, 且 , , 且 , 且ADBC 2ADCEGA DCFG, 平面 , 2CDFG2(1)若 为 的中点, 为 的中点,求证: 平面 ;MNEGMN(2)求二面角 的正弦值;EBF(3)若点 在线段 上,且直线 与平面 所成的角为 ,求线段 的长PDBPADE60DP22 (12 分)如图,边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直, 是 上ABCDACDMACD异于 , 的点CD(1)证明:平面 平面 ;AM(2)当三棱锥 体积最大时,求面 与面 所成二面角的正弦值BCMAB一轮单元训练金卷高三数学卷答案(B)第 十 七 单

9、 元 立 体 几 何 综 合一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 【答案】D【解析】对于 A,若 , ,则 , 平行、相交或异面均有可能,不正确;alblab对于 B,若 , ,则两个平面可能平行、相交,不正确;对于 C,若 , ,则 或 ,不正确;b b对于 D,垂直于同一直线的两个平面平行,正确,故选 D2 【答案】C【解析】由题意,根据给定的几何体的三视图可知,该几何体下半部分表示一个边长为 2 的正方体,其对应的表面积为 ;21250cmS上半部分表示一个底边边长为 2 的正方形,高为 2 的正四棱锥,所

10、以其斜高为 ,h其正四棱锥的侧面积为 ,145cmSch所以几何体的表面积为 ,故选 C21203 【答案】C【解析】在 A 中,若 , ,则 与 相交、平行或异面,故 A 错误;在 B 中,可以举出反 b ab例,如图示,在正方体 中,1BCDA令 为 ,面 为面 , 为 ,面 为面 ,满足 , , ,但是1ADaBC1Ab1BCDa b不成立,故 B 错误;在 C 中,因为 ,所以由 可得,在平面 内存在一条直线 ,a b使得 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 C 正确;在 D 中,若 , , ,ab bab a则由面面垂直的判定定理得 ,故 D 错误;故选 C4 【答案】C【解析】根据三垂线

11、定理的逆定理,可知平面内的线垂直于平面的斜线,则也垂直于斜线在平面内的射影,A若 ,那么 ,很显然不成立;B若 ,那么 ,1AEC1EC1AEBDAE显然不成立;C若 ,那么 ,成立,反过来 时,也能推出 ,B1C1C所以 C 成立;D若 ,则 ,1A显然不成立,故选 C5 【答案】A【解析】取 的中点 ,连结 , ,则 ,B1DF1BDF据此可得 (或其补角)即为所求,设 ,1DF120CAm则 , , ,在 中应用余弦定理可得 故选5Am516m1 130cosDFAA6 【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得: , ,1AC2B结合勾股定理,底面半径 ,213r由圆柱的体

12、积公式,可得圆柱的体积是 ,故选 B22314Vrh7 【答案】B【解析】过 作 平面 ,垂足为 ,取 的中点 ,连结 ,FOABCDOBCPF过 作 ,垂足为 ,连结 QQ 和 都是边长为 2 的等边三角形,ADE , , ,1=12OPBF( ) 3P1OBC , ,22FQ3 ,4EFBAEFDCS梯 形 梯 形又 , ,3C 428ABCDS矩 形几何体的表面积 ,故选 B23S8 【答案】A【解析】由三视图知,该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成,故体积为,故选 A21134346,4V9 【答案】C【解析】对棱相等的三棱锥可以补为长方体(各个对面的面对角线) ,设长方体的长、宽、高分

13、别是 , , ,则有 ,abc2415 3abc三个式子相加整理可得 ,所以长方体的对角线长为 ,22502所以其外接球的半径 ,所以其外接球的表面积 ,故选 C52R2450SR10 【答案】B【解析】则 ,故选 B12324V11 【答案】D【解析】设正四棱锥的底面 的边长为 ,则四边形 的面积为 ,ACDaABCD2a从 向 作 平面 ,则垂足 为底面 的中心,PABCOBO因为 ,所以侧面都是边长为 的等边三角形,60, ,则 ,a2a2Pa所以 ,所以球的表面积 ,OABCDOR24SRa所以 ,所以选 D2ABDSa12 【答案】D【解析】因为 平面 , 平面 ,所以 ,又因为 ,

14、C1BEF1BCDEF1BC, 所以可得 平面 ,当点 在线段 上时,总有 ,1BEFAPCAPEF所以 的最大值为 , 的最小值为 ,可得线段 长度的取值范围是AP1=3A1P121A,故选 D2,3二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请把答案填在题中横线上)13 【答案】 3【解析】该几何体为四棱锥,所以体积为 13=14 【答案】 2【解析】如图所示:连接 , ,则 , 的交点为 ,连接 ,由正方体的性质易得 ,BDACE1A1ABD,又因为 ,所以 面 ,所以 ,故 ,即异面直1ABD1BDEE线 与 所成角为 ,故答案为 1E12215 【答案】 3【解析】当

15、 是 中点时,连接 交 于点 ,则 是 的中点,又因为 别为 的中G1AGDAFHGDECD点,所以 ,从而根据线面平行的判定定理可得 平面 ,所以四棱锥 的CEHC AFGAB外接球就是以 , , 为棱的正方体的外接球,设外接球的半径为 ,则外接球直径等于正B R方体对角线长,所以 , ,故答案为 23R342VR3216 【答案】【解析】作出翻折后的大致图形,如图所示对于, , 与 相交,但不垂直, 与 不垂直,故错误;ADBC FBCDF对于,设点 在平面 上的射影为点 ,则翻折过程中, 点所在的直线平行于 ,当PPBE时,有 ,而 可使条件满足,故正确;BPF:2:34ADBC对于,当

16、点 落在 上时, 平面 ,平面 平面 ,故正确;FFBFC对于,点 的射线不可能在 上,不成立,故错误;综上所述,可能成立的结论序号是三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 【答案】 (1)见解析;(2)见解析【解析】证明:(1)在平面 内,因为 , ,所以 ABDADEFEFAB又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 EFCBC C(2)因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 , ,DDCB所以 平面 因为 平面 ,所以 BAAA又 , , 平面 , 平面 ,DBBB所以 平面 ,又因为 平面 ,所以 CCC18 【答案】 (1)见解析;(2)

17、 623【解析】 (1)由已知 ,得 , 90BAPDABPD由于 ,故 ,从而 平面 ABCD 又 平面 ,所以平面 平面 (2)在平面 内作 ,垂足为 PADEE由(1)知, 面 ,故 ,可得 平面 BABPABCD设 ,则由已知可得 , x2x2x故四棱锥 的体积 PACD 3113PABCDVE由题设得 ,故 从而 , , 318x2x22ADBC2PC四棱锥 的侧面积为 B11sin60319 【答案】 (1)见解析;(2) 26【解析】 (1)连接 交 于 点,连接 1ACED因为 , 分别为 , 的中点,所以 ,DEB1BC又 平面 , 平面 ,所以 平面 1B11 A(2)等边

18、三角形 中, ,ACDA 平面 , ,且 ,111B 平面 则 在平面 的射影为 ,CD1B11DA故 与平面 所成的角为 1ACA在 中, , ,算得 ,Rt 1=30AD31=3tan0C ,21=2所以 的体积 1ABC12326ABCVS20 【答案】 (1)见解析;(2) ;(3) 6【解析】 (1)在 中 , 为 中点,所以 PD ODPOAD又侧面 底面 ,平面 平面 , 平面 ,ABCABC 所以 平面 O(2)连结 ,在直角梯形 中, , ,有 且 , 2ABC ODBC所以四边形 是平行四边形,所以 BDOBD由(1)知 , 为锐角,所以 是异面直线 与 所成的角PPP因为

19、 ,在 中, , ,所以 ,22ACRtA 1A2B在 中,因为 , ,所以 ,RtO O在 中, , ,tPB 23PB26cos3OPB所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 CD6(3)由(2)得 ,在 中, ,2OBRtPC 2+P所以 , 又PCD324PCDS 12ACDSB设点 到平面 的距离 ,由AhACDPV得 ,即 ,解得 1133CDPCDSOS 1332h321 【答案】 (1)见解析;(2) ;(3) 0【解析】依题意,可以建立以 为原点,分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向的空间直角坐标系(如图) ,DACGxyz可得 , , , , , , , ,0,(

20、 ) 2,0( ) 1,20B( ) ,C( ) 2,0E( ) ,12F( ) 0,G( ) 30,12M1,2N( )(1)依题意 , 0,2DC( ) 2,0E( )设 为平面 的法向量,则 即0()xyz, ,n 0 DCEn20 yxz不妨令 ,可得 ,又 ,可得 ,101,( )n31,MN0MNn又因为直线 平面 ,所以 平面 MNCDE C(2)依题意,可得 , , ,B( ) ,2B,12F( )设 为平面 的法向量,则 即xyz( , , )n 0 En 0xyz不妨令 ,可得 10,1( )n设 为平面 的法向量,则 即xyz( , , )mBCF0 BCFm 20xyz

21、不妨令 ,可得 10,21( )因此有 ,于是 3cos, mn10sin,所以,二面角 的正弦值为 EBCF10(3)设线段 的长为 ,则点 的坐标为 ,DP,2h P0,h( )可得 ,易知, 为平面 的一个法向量,1,20,( ) ADGE故 ,2cos 5BCPh 由题意,可得 ,解得 23sin605h30,2 所以线段 的长为 DP322 【答案】 (1)见解析;(2) 25【解析】 (1)由题设知,平面 平面 ,交线为 因为 , 平面 ,CMDABCDBCABCD所以 平面 ,故 BCB因为 为 上异于 , 的点,且 为直径,所以 MADM又 ,所以 平面 C而 平面 ,故平面 平面 AMDB(2)以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dx Dxyz当三棱锥 体积最大时, 为 的中点MABCMACD由题设得 , , , , ,0,D2,0,20B,0,1M, ,2,1,设 是平面 的法向量,则 即,xyznMAB0 ABn20 xyz可取 , 是平面 的法向量,因此 , ,1,02DC5cosDA,n25sin,DA所以面 与面 所成二面角的正弦值是 AB25