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人教B版高中数学必修二课件:1.2.3 空间中的垂直关系 第2课时 平面与平面垂直

1、第2课时 平面与平面垂直,第一章 1.2.3 空间中的垂直关系,学习目标 1.理解面面垂直的定义,并能画出面面垂直的图形. 2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理,并能进行空间垂直的相互转化. 3.掌握面面垂直的证明方法,并能在几何体中应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面与平面垂直的定义,1.条件:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. 2.结论:两个平面互相垂直. 3.记法:平面,互相垂直,记作.,知识点二 平面与平面垂直的判定定理,思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙

2、与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?此时铅锤线与地面什么关系?,答案 都是垂直.,梳理 平面与平面垂直的判定定理,垂线,a,知识点三 平面与平面垂直的性质定理,思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?,答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.,梳理,垂直于它们,交线的直线,思考辨析 判断正误 1.若l,则过l有无数个平面与垂直.( ) 2.若平面平面,任取直线l,则必有l.( ) 3.已知两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交

3、线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.( ),题型探究,例1 如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面 ABCD,点E在棱PB上,求证:平面AEC平面PDB.,类型一 面面垂直的判定,证明,证明 设ACBDO,连接OE, ACBD,ACPD,PD,BD为 平面PDB内两条相交直线, AC平面PDB. 又AC平面AEC, 平面AEC平面PDB.,反思与感悟 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤,跟踪训练1 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB90,AC AA1,D是棱AA1的中点.证明:平面BDC1平面BDC.,证明,证明 由题设知BCCC1,BCAC,CC1ACC

4、, 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1,所以DC1BC. 由题设知A1DC1ADC45,所以CDC190, 即DC1DC.又DCBCC,所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1,所以平面BDC1平面BDC.,类型二 面面垂直的性质定理及应用,例2 如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,平面PAB平面PBC. 求证:BCAB.,证明,证明 如图,在平面PAB内, 作ADPB于D. 平面PAB平面PBC, 且平面PAB平面PBCPB. AD平面PBC. 又BC平面PBC,ADBC. 又PA平面ABC,BC平面ABC,PABC, 又PAADA,BC平面PAB. 又AB平面P

5、AB,BCAB.,反思与感悟 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.,跟踪训练2 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点. 求证:(1)BG平面PAD;,证明 平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD, 又四边形ABCD是菱形且DAB60

6、, ABD是正三角形,BGAD. BG平面PAD.,证明,(2)ADPB.,证明 由(1)可知BGAD,PGAD. 又BGPGG, AD平面PBG,又PB平面PBG, ADPB.,证明,类型三 垂直关系的综合应用,例3 如图所示,ABC为正三角形,CE平面ABC,BDCE,且CEAC2BD,M,N分别是AE,AC的中点,求证: (1)DEDA;,解答,解 取CE的中点F,连接DF,易知DFBC, 因为CE平面ABC, 所以CEBC,所以CEDF. 因为BDCE,所以BD平面ABC, 所以BDAB. 在RtEFD和RtDBA中,,所以RtEFDRtDBA, 所以DEDA.,(2)平面BDMN平面

7、ECA;,解 因为EC平面ABC,所以ECBN, 因为ABC为正三角形,所以BNAC. 因为ECACC, 所以BN平面ECA. 又因为BN平面BDMN, 所以平面BDMN平面ECA.,解答,(3)平面DEA平面ECA.,解 因为M,N分别是AE,AC的中点,,解答,所以四边形MNBD是平行四边形, 所以DMBN, 由(2)知BN平面ECA, 所以DM平面ECA. 又因为DM平面DEA, 所以平面DEA平面ECA.,反思与感悟 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下:,跟踪训练3 如图,在四

8、棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点,求证: (1)PA底面ABCD;,证明 PAAD,平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD, 由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.,证明,(2)BE平面PAD;,证明 ABCD,ABAD,CD2AB,E和F分别是CD和PC的中点, 故四边形ABED为平行四边形,故有BEAD. 又AD平面PAD,BE平面PAD,BE平面PAD.,证明,(3)平面BEF平面PCD.,证明,证明 在平行四边形ABED中,由ABAD可得,ABED为矩形,故有BECD. 由PA平面A

9、BCD,可得PAAB,再由ABAD可得AB平面PAD, CD平面PAD,故有CDPD. 再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EFPD, CDEF. 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD平面BEF. 由于CD平面PCD,平面BEF平面PCD.,达标检测,答案,1.下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行; 垂直于同一个平面的两条直线相互平行; 垂直于同一条直线的两个平面相互平行; 垂直于同一个平面的两个平面相互平行. 其中错误的命题有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,解析 垂直于同一条直线的两条直线相互平行,不正确,如

10、正方体的一个顶角的三个边就不成立; 垂直于同一个平面的两条直线相互平行,根据线面垂直的性质定理可知正确; 垂直于同一条直线的两个平面相互平行,根据面面平行的判定定理可知正确; 垂直于同一个平面的两个平面相互平行,不正确,如正方体相邻的三个面就不成立.故选B.,2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 PA平面ABCD,PABC.

11、又BCAB,PAABA, BC平面PAB,BC平面PBC, 平面PBC平面PAB. 由ADPA,ADAB,PAABA, 得AD平面PAB. AD平面PAD,平面PAD平面PAB. 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直,故选A.,1,2,3,4,5,1,2,3,3.如图,在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么D在面ABC内的正投影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.ABC内部,4,5,解析,解析 在四面体ABCD中,已知ABAC, BDAC,ABBDB, AC平面ABD. 又AC平面ABC, 平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABDAB, D在面ABC内的射

12、影H必在AB上.故选A.,答案,1,2,3,4,5,4.如图所示,已知AF平面ABCD,DE平面ABCD,且AFDE,AD6,则EF_.,解析,解析 AF平面ABCD,DE平面ABCD, AFDE. 又AFDE,四边形AFED为平行四边形, 故EFAD6.,答案,6,5.如图所示,在四棱锥SABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC平面ABCD,E为SA的中点. 求证:平面EBD平面ABCD.,证明,证明 连接AC与BD交于O点,连接OE. O为AC的中点,E为SA的中点, EOSC. SC平面ABCD, EO平面ABCD. 又EO平面EBD, 平面EBD平面ABCD.,1,2,3,4,5,1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:,规律与方法,2.运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.,