1、第2课时 平面与平面垂直,第一章 1.2.3 空间中的垂直关系,学习目标 1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形. 2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化. 3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面与平面垂直的定义,1.条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. 2.结论：两个平面互相垂直. 3.记法：平面，互相垂直，记作.,知识点二 平面与平面垂直的判定定理,思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙
2、与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？,答案 都是垂直.,梳理 平面与平面垂直的判定定理,垂线,a,知识点三 平面与平面垂直的性质定理,思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？,答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.,梳理,垂直于它们,交线的直线,思考辨析 判断正误 1.若l，则过l有无数个平面与垂直.( ) 2.若平面平面，任取直线l，则必有l.( ) 3.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交
3、线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.( ),题型探究,例1 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面 ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC平面PDB.,类型一 面面垂直的判定,证明,证明 设ACBDO，连接OE， ACBD，ACPD，PD，BD为 平面PDB内两条相交直线， AC平面PDB. 又AC平面AEC， 平面AEC平面PDB.,反思与感悟 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤,跟踪训练1 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.,证明,证明 由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC
4、， 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC. 由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190， 即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.,类型二 面面垂直的性质定理及应用,例2 如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC. 求证：BCAB.,证明,证明 如图，在平面PAB内， 作ADPB于D. 平面PAB平面PBC， 且平面PAB平面PBCPB. AD平面PBC. 又BC平面PBC，ADBC. 又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC， 又PAADA，BC平面PAB. 又AB平面P
5、AB，BCAB.,反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.,跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. 求证：(1)BG平面PAD；,证明 平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 又四边形ABCD是菱形且DAB60
6、， ABD是正三角形，BGAD. BG平面PAD.,证明,(2)ADPB.,证明 由(1)可知BGAD，PGAD. 又BGPGG， AD平面PBG，又PB平面PBG， ADPB.,证明,类型三 垂直关系的综合应用,例3 如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证： (1)DEDA；,解答,解 取CE的中点F，连接DF，易知DFBC， 因为CE平面ABC， 所以CEBC，所以CEDF. 因为BDCE，所以BD平面ABC， 所以BDAB. 在RtEFD和RtDBA中，,所以RtEFDRtDBA， 所以DEDA.,(2)平面BDMN平面
7、ECA；,解 因为EC平面ABC，所以ECBN， 因为ABC为正三角形，所以BNAC. 因为ECACC， 所以BN平面ECA. 又因为BN平面BDMN， 所以平面BDMN平面ECA.,解答,(3)平面DEA平面ECA.,解 因为M，N分别是AE，AC的中点，,解答,所以四边形MNBD是平行四边形， 所以DMBN， 由(2)知BN平面ECA， 所以DM平面ECA. 又因为DM平面DEA， 所以平面DEA平面ECA.,反思与感悟 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：,跟踪训练3 如图，在四
8、棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA底面ABCD；,证明 PAAD，平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.,证明,(2)BE平面PAD；,证明 ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点， 故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD. 又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.,证明,(3)平面BEF平面PCD.,证明,证明 在平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD. 由PA平面A
9、BCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD， CD平面PAD，故有CDPD. 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD， CDEF. 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF. 由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD.,达标检测,答案,1.下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行. 其中错误的命题有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,解析 垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如
10、正方体的一个顶角的三个边就不成立； 垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立.故选B.,2.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 PA平面ABCD，PABC.
11、又BCAB，PAABA， BC平面PAB，BC平面PBC， 平面PBC平面PAB. 由ADPA，ADAB，PAABA， 得AD平面PAB. AD平面PAD，平面PAD平面PAB. 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.,1,2,3,4,5,1,2,3,3.如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC内的正投影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.ABC内部,4,5,解析,解析 在四面体ABCD中，已知ABAC， BDAC，ABBDB， AC平面ABD. 又AC平面ABC， 平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB， D在面ABC内的射
12、影H必在AB上.故选A.,答案,1,2,3,4,5,4.如图所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，则EF_.,解析,解析 AF平面ABCD，DE平面ABCD， AFDE. 又AFDE，四边形AFED为平行四边形， 故EFAD6.,答案,6,5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点. 求证：平面EBD平面ABCD.,证明,证明 连接AC与BD交于O点，连接OE. O为AC的中点，E为SA的中点， EOSC. SC平面ABCD， EO平面ABCD. 又EO平面EBD， 平面EBD平面ABCD.,1,2,3,4,5,1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：,规律与方法,2.运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.,
