1、2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项公式(一),第2章 2. 3 等比数列,1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 等比数列的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q0). 2.递推关系 在数列an中，若 an1 an q(nN*)，q为非0常数，则数列an是等比
2、数列.,答案,二,公比,q,思考1 下列数列一定是等比数列的是 . (1)1,3,32 ，33，3n1，； (2)1,1,2,4,8，； (3)a1，a2，a3，an，.,解析答案,解析 (1)记数列为an，显然a11，a23，an3n1，. 因为 an1 an 3n 3n1 3(n1，nN*)， 所以此数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为an，显然a11，a21，a32，. 因为 a2 a1 1 a3 a2 2， 所以此数列不是等比数列.,解析答案,(3)当a0时，数列为0,0,0，是常数列，不是等比数列； 当a0时，数列为a1，a2，a3，a4，an，显然此数列为等比数列，且公比为
3、a. 只有(1)一定是等比数列. 答案 (1),思考2 若数列an满足an12an(nN*)，那么an是等比数列吗？,答案,答案 不一定.当a10时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故an不一定为等比数列.,知识点二 等比中项的概念 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G ab . 知识点三 等比数列的通项公式 已知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，该等比数列的通项公式为 .,等比中项,答案,ana1qn1,思考1 已知等比数列an中，a11，a39，则a2 .,解析答案,解析 a3a1q2， 9q2， q3， a2a1q3.,3,思考2 除了采用不完全归纳
4、法，还能用什么方法求数列的通项公式.,答案,答案 还可以用累乘法.,ana1qn1(n2)， 又当n1时，a1a1q11，符合上式， 当n2时，a2a1q21，符合上式， ana1qn1(nN*).,返回,题型探究 重点突破,题型一 等比数列的通项公式及应用 例1 在等比数列an中， (1)已知an128，a14，q2，求n；,解析答案,解 ana1qn1，42n1128， 2n132， n15，n6.,(2)已知an625，n4，q5，求a1；,(3)已知a12，a38，求公比q和通项公式.,解析答案,反思与感悟,解 a3a1q2，即82q2， q24， q2. 当q2时，ana1qn122
5、n12n， 当q2时，ana1qn12(2)n1(1)n12n， 数列an的公比为2或2， 对应的通项公式分别为an2n或an(1)n12n.,a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.,反思与感悟,跟踪训练1 在等比数列an中， (1)已知a32，a58，求a7；,解析答案,解 a3a1q22， a5a1q48， q24， a1 1 2 ， a7a1q6 1 2 (q2)3 1 2 4332.,(2)已知a3a15，a5a115，求通项公式an.,解析答案,解 a3a1a1(q21)5， a5a
6、1a1(q41)15， q213，q24，a11， a11，q2， ana1qn1(2)n1.,题型二 等比数列的判定与证明 例2 已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列.,解析答案,反思与感悟,证明 由题意知f(an)42(n1)2n2logman， anm2n2，,m0且m1，m2为非零常数， 数列an是等比数列.,判断一个数列是不是等比数列的常用方法,反思与感悟,(3)通项公式法：ana1qn1(a10且q0)an为等比数列.,解析答案,解析答案,(2)求an的通项公式.,2an1(an1)an
7、(an1).,题型三 构造等比数列求数列的通项公式 例3 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,解析答案,证明 anSnn， an1Sn1n1. 得an1anan11， 2an1an1，2(an11)an1，,an1是等比数列. 又cnan1，,(2)求数列bn的通项公式.,解析答案,反思与感悟,(1)已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解. (2)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)，可得 B A1 ，这
8、样就构造了等比数列an.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 数列an满足a12，an1an6an6(nN*)，设cnlog5(an3). (1)求证：cn是等比数列；,证明 由an1an6an6，得an13(an3)2. log5(an13)log5(an3)22log5(an3)， 即cn12cn， 又c1log5510， cn1 cn 2， cn是等比数列.,2,2,解析答案,(2)求数列an的通项公式.,解 由(1)知，数列cn是以1为首项，以2为公比的等比数列， cn2n1， 即log5(an3)2n1， an3 . 故an 3.,解析答案,忽略等比数列中的项的符号致误,易错点,例4
9、已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，求 a2a1 b2 的值.,误区警示,返回,错解 1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d 1 4 (4)(1)1， 又1，b1，b2，b3，4成等比数列.,解析答案,误区警示,错因分析 注意b2的符号已经确定(与1同号)，忽略这一隐含条件，就易产生上述错误. 正解 1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，,误区警示,1，b1，b2，b3，4成等比数列，,若设公比为q，则b2(1)q2， b20，b22，,误区警示,等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同，求等比数列的某一项或者某些项时要注意符号的正负问题
10、.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在等比数列an中，a2 0158a2 012，则公比q的值为 .,解析 a2 0158a2 012a2 012q3，q38，q2.,2,解析答案,解析 (2 3 )(2 3 )1(1)2， 等比中项为1.,1,2,3,4,5,2.2 3 和2 3 的等比中项是 .,1,解析答案,1,2,3,4,5,3.若等比数列的首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，公比为 2 3 ，则这个数列的项数为 .,4,解析答案,1,2,3,4,5,答案,4.若数列an是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知an2n3n，判断数列a
11、n是不是等比数列？,解 不是等比数列.a121315，a2223213，a3233335，a1a3a2， 数列an不是等比数列.,2,课堂小结,1.等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零. (2) an1 an 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒. (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.,2.判断一个数列是不是等比数列的常用方法： (1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法. 3.等比中项的理解 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.,返回,4.等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列. (2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.,