1、4 二次函数性质的再研究,第二章 函 数,学习目标 1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用. 2.理解由yx2到ya(xh)2k的图像变换方法. 3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式. 4.掌握二次函数的性质.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 二次函数的配方法,思考 y4x24x1如何配方？你能由此求出方程4x24x10的根吗？,令y0，即4x24x10，,知识点二 图像变换,思考 yx2和y2(x1)23的图像之间有什么关系？,答案 yx2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y2x2的图像； 再把y2x2的图像向左平移1个单
2、位长度，再上平移3个单位长度， 得y2(x1)23的图像.,知识点三 二次函数的三种形式,思考 我们知道yx22x(x1)21(x2)x，那么点(1，1)，数0,2是yx22x的什么？,答案 点(1，1)是yx22x的顶点，数0,2是方程x22x0的两根.,梳理 (1)二次函数的一般式yax2bxc(a0). (2)如果已知二次函数的顶点坐标为(h，k)，则可将二次函数设为ya(xh)2k. (3)如果已知方程ax2bxc0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为ya(xx1)(xx2).,知识点四 二次函数的性质,思考辨析 判断正误 1.若函数f(x)(a1)xb在R上为增函数，
3、则a1，bR.( ) 2.若函数yx2的图像向上平移1个单位长度，则所得图像对应的函数解析式为y(x1)2.( ) 3.二次函数yx2与y3x2的图像的形状相同.( ),题型探究,类型一 二次函数解析式的求解,解答,例1 已知二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴相交于点A(3,0)，对称轴为x1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式.,解 方法一 代入A(3,0)， 有9a3bc0， ,顶点M到x轴的距离为|abc0|2， ,方法二 因为二次函数图像的对称轴是x1， 又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(1,2)或(1，2)， 故可得二次函数的解析式为ya(x1)22或ya(x
4、1)22. 因为图像过点A(3,0)，,故所求二次函数的解析式为,方法三 因为二次函数图像的对称轴为x1， 又图像过点A(3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A(1,0)也在图像上， 所以可得二次函数的解析式为ya(x3)(x1). 由题意得顶点坐标为(1,2)或(1，2)，,故所求二次函数的解析式为,反思与感悟 求二次函数解析式的步骤,跟踪训练1 (1)yax26x8与直线y3x交于点A(1，m)，求a.,解答,解 把A(1，m)代入y3x，得m3， 把(1，3)代入yax26x8，得 a683，即a1.,(2)f(x)x2bxc，若f(4)f(0)，f(2)2，求f(x).,解答,又f(2
5、)2，顶点坐标为(2，2)， f(x)(x2)22x24x2. 方法二 由f(4)f(0)，可设f(x)x(x4)c. 代入x2，得2(24)c2，c2. f(x)x24x2.,类型二 二次函数的图像及变换,例2 由函数yx2的图像如何得到f(x)x22x3的图像.,解答,解 f(x)x22x3(x22x)3 (x22x11)3(x1)24， 由yx2的图象与yx2的图像关于x轴对称， 可得yx2的图像. 由yx2的图像向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度， 可得y(x1)24，即yx22x3的图像.,引申探究 利用f(x)x22x3的图像比较f(1)，f(2)的大小.,解答,解 f(x
6、)图像如图. 由图知越接近对称轴，函数值越大. 由|11|2|21|1， 即f(2)比f(1)更接近对称轴，f(2)f(1).,反思与感悟 处理二次函数yax2bxc(a0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系. 在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”.,跟踪训练2 将二次函数f(x)x2bxc的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f(x)x22x1的图像，则b_，c_.,6,6,解析 f(x)x22x1(x1)2，其图像顶点为(1,0). 将二次函数f(x)x22x1的图像向下
7、平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，3)， 得到的抛物线为y(x3)23，即f(x)x2bxc， (x3)23x2bxc，即x26x6x2bxc， b6，c6.,解析,答案,类型三 二次函数的性质,(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；,解 对函数右端的表达式配方，得,解答,(2)若x1,4，求函数值域.,解答,解 由于31,4，所以函数在区间1,3上是减函数，在区间3,4上是增函数，,反思与感悟 解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决.,跟踪训练3 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值
8、.,解 f(x)a(x1)21a. 当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；,当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.,解答,达标检测,1.二次函数f(x)ax2bxc(a0)与g(x)bx2axc(b0)的图像可能是下图中的,答案,解析,1,2,3,4,1,2,3,4,即f(x)，g(x)的图像的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B； 由C，D中给出的图像，可判定f(x)，g(x)的图像的开口方向相反，,即f(x)，g(x)的图像的对称轴都位于y轴右侧，排除C，故选D.,2.设二次函数yf(x)满足f(4x)f(4
9、x)，又f(x)在4，)上是减函数，且f(a)f(0)，则实数a的取值范围是 A.a4 B.0a8 C.a0 D.acf(1) B.f(1)f(1)f(1) D.cf(1)f(1),1,2,3,4,答案,解析,解析 因为f(1)f(3)，所以f(x)图像的对称轴为x1， 因此函数在区间(，1上是减函数， 又cf(0)，所以f(1)cf(1).,4.根据下列条件，求二次函数yf(x)的解析式. (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；,1,2,3,4,解答,解 由题意可设二次函数解析式为ya(x2)(x4)，,(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；,1,2,3,4,解答,解 由题意可设二次函数解析式为ya(x1)22， 将(0,4)代入得a2， 所求二次函数解析式为y2(x1)22.,(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5).,1,2,3,4,解答,解 由题意可设二次函数解析式为yax2bxc，,所求二次函数解析式为yx22x2.,1.配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁. 2.二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即：,规律与方法,