1、2.2.2 反证法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 反证法,思考1,王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”,答案,答案 运用了反证法思想.,本故事中王戎运用了什么论证思想？,思考2,反证法解
2、题的实质是什么？,答案,答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.,(1)定义：假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这样的证明方法叫做反证法. (2)反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.,梳理,不成立,假设错误,原命题成立,已知条件,假设,定义、公理、定理、事实,题型探究,例1 设an是公比为q的等比数列.设q1，证明：数列an1不是等比数列.,类型一 用反证法证明否定性命题,证明,证明 假设an1是等比数列，则对任意的kN*， (ak11)2(ak1)(ak21)，,a10，2qk
3、qk1qk1. q0，q22q10， q1，这与已知矛盾. 假设不成立，故an1不是等比数列.,(1)用反证法证明否定性命题的适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤,反思与感悟,证明,a，b，c成等比数列， b2ac， ,ac，从而abc. 这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立.,类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题,例2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明,证明 假设(2a)b，(2b)c，(2
4、c)a都大于1. 因为a，b，c(0,2)， 所以2a0,2b0,2c0.,即33，矛盾. 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,引申探究 已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 1 4 .,证明,证明 假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于 1 4 . a，b，c都是小于1的正数， 1a,1b,1c都是正数.,应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：,反思与感悟,跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数
5、，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,证明,证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点， 由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb， 得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0， 且3(2a)24bc0. 同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0， 所以2a22b22c22ab2bc2ac0， 所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc. 这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证.,类型三 用反证法证明唯一性命题,例3 求证
6、：方程2x3有且只有一个根.,证明 2x3，xlog23. 这说明方程2x3有根. 下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的. 假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)， 则2 3,2 3，两式相除得2 1， b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾. 假设不成立，从而原命题得证.,证明,用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.,反思与感悟,跟踪训练3 若函数f(x)在区间a，b上
7、是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设、为其中的两个实根.因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()b,2,3,4,5,1,答案,4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设 A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.ab D.a与b相交,2,3,4,5,1,证明,5.用反证法证明：关于x的方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，当a 3 2 或a1时，至少有一个方程有实数根.,证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，,2,3,4,5,1,规律与方法,用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法. (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.,本课结束,