1、3.3.2 函数的极值与导数,第三章 3.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 极值点与极值的概念,思考 观察函数f(x) 2x的图象.,梳理 (1)极小值点与极小值 如图，函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.,f(x)0,(2
2、)极大值点与极大值 如(1)中图，函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧 ，右侧，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 、 统称为极值点， 和 统称为极值.,f(x)0,f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 .,知识点二 求函数yf(x)的极值的方法,极小值,极大值,思考辨析 判断正误 1.导数值为0的点一定是函数的极值点.( ) 2.极大值一定比极小值大.( ) 3.函数f(x) 有极值.( ) 4.函数的极值点一定是其导函数的变号零点.( ),题型探究,命题角度1 知图判断函数
3、的极值 例1 已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x),类型一 极值与极值点的判断与求解,答案,解析,A.在(，0)上为减函数 B.在x0处取极小值 C.在(4，)上为减函数 D.在x2处取极大值,解析 由导函数的图象可知：当x(，0)(2,4)时，f(x)0，当x(0,2)(4，)时，f(x)0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，)上为减函数，所以在x0处取得极大值，在x2处取得极小值，在x4处取得极大值，故选C.,反思与感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点.,跟踪
4、训练1 如图为yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是,答案,解析,f(x)在(3，1)上为增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上为减函数，在(1,2)上为增函数；x2是f(x)的极小值点. A. B. C. D.,解析 当x(3，1)时，f(x)0，f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2)上为增函数，不对； x1是f(x)的极小值点；当x(2,4)时，f(x)0，此时f(x)为增函数； 当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数. 故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.,(2)若函数f(x) x2ax1有极值点，则a的取值范围为_.,(，1),答案,解析
5、,解析 f(x)x22xa， 由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根， 44a0，解得a0. 所以f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)；单调减区间为(1,1)， f(x)在x1处取得极大值f(1)1，,因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1).,在x1处取得极小值f(1)3. 作出f(x)的大致图象如图所示.,解答,引申探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？,解 由本例解析可知当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点
6、.,反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.,跟踪训练4 已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.,解答,解 由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,x2x3m， 则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,当x变化时，g(x)，g
7、(x)的变化情况如下表：,达标检测,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x),答案,解析,1,2,3,4,5,解析 f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.,A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点,答案,2.已知函数f(x)x ，则f(x) A.有极大值2，极小值2 B.有极大值2，极小值2 C.无极大值，但有极小值2 D.有极大值2，无极小值,1,2,3,4,5,解析,当x1时
8、，f(x)0； 当1x0或0x1时，f(x)0， 解得a6或a0，f(x)在(，)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值. 当a0时，令f(x)0，得exa，xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0， 所以f(x)在(，ln a)上是单调递减的，在(ln a，)上是单调递增的， 故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值.,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.,规律与方法,