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2019届中考数学专题复习演练:圆的有关计算与证明(含答案)

1、圆的有关计算与证明解答题 1.ABC 的内切圆O 与 BC, CA,AB 分别相切于点 D、E、F ,且 AB=11cm,BC=16cm,CA=15cm,求AF、BD、CE 的长?2.如图,在 44 的方格纸中(共有 16 个小方格),每个小方格都是边长为 1 的正方形O、A、B 分别是小正方形的顶点,求扇形 OAB 的弧长,周长和面积(结果保留根号及 )3.如图,直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点 ,圆心 P 的坐标为(1,0),圆 P 与 y 轴相切于点 O.若将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相交时,求横坐标为整数的点 P 的个数.4.如图所示,已知 F

2、 是以 O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点, A 是弧 BF 的中点,ADBC 于点 D,求证:AD= BF5.如图,在ABC 中,BE 是它的角平分线,C=90,点 D 在 AB 边上,以 DB 为直径的半圆 O 经过点 E,交 BC 于点 F (1 )求证:AC 是O 的切线; (2 )已知 sinA= ,O 的半径为 3,求图中阴影部分的面积 6.如图,已知 是 的外角 的平分线,交 的延长线于点 ,延长 交 的外接圆于点 ,连接 , (1 )求证: (2 )已知 ,若 是 外接圆的直径, ,求 的长7.已知:如图,在ABC 中,AB=BC=10,以 AB 为直径作 O 分别交 AC

3、,BC 于点 D,E ,连接 DE 和 DB,过点 E 作 EFAB ,垂足为 F,交 BD 于点 P(1 )求证:AD=DE ; (2 )若 CE=2,求线段 CD 的长; (3 )在(2 )的条件下,求DPE 的面积 8.如图,AB 是半圆 O 的直径,AD 为弦,DBC=A(1 )求证:BC 是半圆 O 的切线; (2 )若 OCAD ,OC 交 BD 于 E,BD=6 ,CE=4 ,求 AD 的长 9.如图 1,在正方形 ABCD 中,以 BC 为直径的正方形内,作半圆 O,AE 切半圆于点 F 交 CD 于点 E,连接OA、OE (1 )求证:AOEO; (2 )如图 2,连接 DF

4、 并延长交 BC 于点 M,求 的值 10.如图,AD 是 O 的切线,切点为 A,AB 是O 的弦过点 B 作 BCAD,交O 于点 C,连接 AC,过点 C 作 CDAB,交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M,交过点 C 的直线于点 P,且BCP=ACD (1 )判断直线 PC 与O 的位置关系,并说明理由; (2 )若 AB=9,BC=6求 PC 的长 11.如图,点 A 在O 上,点 P 是O 外一点,PA 切O 于点 A,连接 OP 交O 于点 D,作 ABOP 于点C,交 O 于点 B,连接 PB (1 )求证:PB 是O 的切线; (2 )若 PC=9, AB=

5、6 , 求图中阴影部分的面积;12.如图,AB 是O 的直径,过点 A 作O 的切线并在其上取一点 C,连接 OC 交O 于点 D,BD 的延长线交 AC 于 E,连接 AD (1 )求证:CDECAD ; (2 )若 AB=2,AC=2 ,求 AE 的长 13.如图,AB 是O 的直径, C 是O 是一点,过点 B 作 O 的切线,与 AC 延长线交于点 D,连接BC, OE/BC 交O 于点 E,连接 BE 交 AC 于点 H(1 )求证:BE 平分ABC ;(2 )连接 OD,若 BH=BD=2,求 OD 的长14.如图,在平面直角坐标系中,圆心为 P(x,y)的动圆经过点 A(2,8

6、),且与 x 轴相切于点 B.图 图(1 )当 x0 ,y=5 时,求 x 的值; (2 )当 x = 6 时,求P 的半径; (3 )求 y 关于 x 的函数表达式,请判断此函数图象的形状,并在图中画出此函数的图象(不必列表,画草图即可). 15.如图,OAB 的底边经过O 上的点 C,且 OA=OB,CA=CB,O 与 OA、OB 分别交于 D、E 两点(1 )求证:AB 是O 的切线;(2 )若 D 为 OA 的中点,阴影部分的面积为 ,求O 的半径 r16.如图,在ABC 中,C=90,ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F,O 是BEF 的外

7、接圆 (1 )求证:AC 是O 的切线; (2 )过点 E 作 EHAB,垂足为 H,求证:CD=HF; (3 )若 CD=1,EH=3,求 BF 及 AF 长 17.如图,CD 为O 的直径,CDAB,垂足为点 F,AOBC,垂足为点 E,CE=2(1 )求 AB 的长; (2 )求O 的半径18.如图,在ABC 中,ABC=90,以 AB 的中点 O 为圆心,OA 为半径的圆交 AC 于点 D,E 是 BC 的中点,连接 DE,OE (1 )判断 DE 与O 的位置关系,并说明理由; (2 )求证:BC 2=2CDOE; (3 )若 cosBAD= ,BE= ,求 OE 的长 19.如图,

8、AB 为O 的直径,点 C 在O 上,过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 D,已知D 30.(1 )求A 的度数; (2 )若点 F 在 O 上,CF AB,垂足为 E,CF ,求图中阴影部分的面积 . 20.如图,在 RtABC 中,C=90 ,点 D,E,F 分别在 AC,BC ,AB 边上,以 AF 为直径的O 恰好经过D,E ,且 DE=EF(1 )求证:BC 为O 的切线; (2 )若B=40,求CDE 的度数; (3 )若 CD=2,CE=4,求O 的半径及线段 BE 的长 21.如图, 的圆心 在反比例函数 的图像上,且与 轴、 轴相切于点 、 ,一次函数 的图像经过

9、点 ,且与 轴交于点 ,与 的另一个交点为点 .(1 )求 的值及点 的坐标; (2 )求 长及 的大小; (3 )若将 沿 轴上下平移,使其与 轴及直线 均相切,求平移的方向及平移的距离. 参考答案 解答题1.解:ABC 的内切圆O 与 BC,CA,AB 分别相切于点 D、E 、F,AF=AE,BF=BD,CD=CE设 AF=AE=x,则 BF=BD=11x,EC=DC=15x根据题意得 11x+15x=16解得;x=5cm AF=5cmBD=11 x=115=6cm,EC=15x=10cmAF=5cm,BD=6cm ,EC=10cm 2.解:由图形可知,AOB=90,OA=OB= =2 ,

10、 = = ,扇形 OAB 的面积= =2弧 AB 的长是: = 周长=弧 AB 的长+2OA= +4 综上所述,扇形 OAB 的弧长是 ,周长是 +4 ,面积是 2 3.解:直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点 ,A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0, ),AB=2 .如图, 将圆 P 沿 x 轴向左移动 ,当圆 P 与该直线相切于 C1 时 ,连结 P1C1,则 P1C1=1,易知AP 1C1ABO, = ,AP 1=2,P 1 的坐标为 (-1,0),同理可得 P2 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和 -1)有:-4,-3,-2,故满足

11、题意的点 P 的个数是 3 4.证明:连接 OA,交 BF 于点 E,A 是弧 BF 的中点,O 为圆心,OABF,BE= BF,ADBC 于点 D,ADO=BEO=90 ,在OAD 与OBE 中, ,OADOBE(AAS),AD=BE,AD= BF 5. (1)证明:连结 OE,MISSING IMAGE: , BE 平分 ABC,ABC=2ABE,OB=OE,OBE=OEB ,AOE= OEB+OBE=2ABE,ABC= AOE ,又C=90,A+ABC=90,A+AOE=90,AEO=90,即 OE AC,AC 为O 的切线 . (2 )解:连结 OF,sinA= ,A=30,由(1)知

12、 OEAC,AOE= ABC=60 ,O 半径为 3,OD=OE=OF=OB=BF=3,BOF= EOF=ABC=60,S 扇形 OEF= , 在 RtAOE 中,AO=6 ,AE=3 , 在 RtACB 中,AB=9 ,BC= , AC= , CE=AC-AE= -3 , CF=BC-BF= -3= , S 梯形 OFCE= = = , S 阴 =S 梯形 OFCE-S 扇形 OEF= - . 6.(1)解:四边形 内接于圆, , , , 是 的外角 平分线, , , ,又 , (2 )解:由( )得 ,又 , , , , ,又 , , , 是直径, ,BD= ,又D=D,DBF DAC,

13、, CD=24,解得:CD= .7.(1)解:AB 是O 的直径,ADB=90,即 BDACAB=BC,ABDCBDABD= CBD在O 中,AD 与 DE 分别是ABD 与CBD 所对的弦AD=DE ;(2 )解:四边形 ABED 内接于O,CED= CAB,C=C,CED CAB, ,AB=BC=10, CE=2,D 是 AC 的中点,CD= ;(3 )解:延长 EF 交O 于 M,在 RtABD 中,AD= ,AB=10,BD=3 ,EMAB,AB 是O 的直径, ,BEP=EDB,BPEBED , ,BP= ,DP=BD-BP= ,S DPE:S BPE=DP:BP=13:32,S B

14、CD= 3 =15,S BDE:S BCD=BE:BC=4 :5,S BDE=12,S DPE= 8.(1)证明:AB 是半圆 O 的直径D=90A+DBA=90DBC=ADBC+DBA=90BC ABBC 是半圆 O 的切线(2 )解:BEC=D=90,BD AD,BD=6,BE=DE=3,DBC=A,BCEBAD, ,即AD=4.5 9.(1)证明:四边形 ABCD 为正方形, B=C=90,ABCD,AB 和 CD 为O 的切线,AE 切半圆于点 F,OA 平分BAE,OE 平分AEC ,而 AB CD,BAE+ AEC=180 ,OAE+ OEA=90,AOE=90,OAOE(2 )解

15、:作 FHCD 于 H,如图,设正方形 ABCD 的边长为 4a, 则 AF=AB=4a,OB=OC=2a,AOE=90,AOB+COE=90,AOB+OAB=90,OAB=EOC,RtABORtOCE,AB : OC=OB:CE,即 4a:2a=2a :CE,解得 CE=a,EF=EC=a,EA=5a,ED=3a ,FH AD,EFHEAD, = = ,即 = = ,FH= a,EH= a,DH=3a a= a,CH=4a a= a,FH CM, = = 10.( 1)解: PC 与圆 O 相切,理由为: 过 C 点作直径 CE,连接 EB,如图,CE 为直径,EBC=90,即E+BCE=9

16、0,AB DC,ACD=BAC,BAC= E, BCP= ACDE= BCP,BCP+BCE=90,即PCE=90,CEPC,PC 与圆 O 相切;(2 )解:AD 是O 的切线,切点为 A, OAAD,BC AD,AM BC ,BM=CM= BC=3,AC=AB=9,在 RtAMC 中, AM= =6 ,设O 的半径为 r,则 OC=r,OM=AM r=6 r,在 RtOCM 中,OM 2+CM2=OC2 , 即 32+(6 r) 2=r2 , 解得 r= ,CE=2r= ,OM=6 = ,BE=2OM= ,E= MCP,RtPCMRt CEB, = ,即 = ,PC= 11.( 1)证明:

17、如图 1,连接 OB, OPAB,OP 经过圆心 O,AC=BC,OP 垂直平分 AB,AP=BP ,OA=OB ,OP=OP,APOBPO(SSS),PAO=PBO,PA 切O 于点 A,APOA,PAO=90,PBO=PAO=90,OBBP ,又点 B 在O 上,PB 与O 相切于点 B;(2 )解:如图 1, OPAB,OP 经过圆心 O,BC= AB=3 ,PBO=BCO=90,PBC+OBC=OBC+BOC=90 ,PBC=BOC,PBCBOC, OC= = =3,在 RtOCB 中,OB= = =6,tanCOB= = ,COB=60,S OPB= OPBC= =18 ,S 扇 D

18、OB= =6,S 阴影 =SOPBS 扇 DOB=18 6;若点 E 是O 上一点,连接 AE,BE,当 AE=6 时,BE= 3 3 或 3 +3 12.( 1)证明:AB 是O 的直径, ADB=90,B+BAD=90,AC 为O 的切线,BA AC,BAC=90,即BAD+CAD=90,B=CAD ,OB=OD,B=ODB ,而ODB=CDE,B=CDE ,CAD=CDE,而ECD=DCA,CDECAD(2 )解:AB=2 , OA=1 ,在 RtAOC 中,AC=2 ,OC= =3,CD=OCOD=31=2,CDECAD, = ,即 = ,CE= AE=AC CE=2 = 13.( 1

19、)证明:AB 为O 的直径,ACB=90,OE/BC,OE AC, = ,1= 2,BE 平分 ABC(2 )解:BD 是O 的切线,ABD=90,ACB=90,BH=BD=2,CBD=2,1= 2=CBD,CBD=30, ADB=60,ABD=90,AB=2 ,OB= ,OD 2=OB2+BD2 , OD= 14.( 1)解 : 由 y=5,得到 P( x,5),连接 AP,PB, 圆 P 与 x 轴相切,PBx 轴, 即 PB=5, 由 AP=PB,由勾股定理得,x=2+ =2+4=6, x=6(2 )解: 由 x=6,得到 P(6,y ),连接 AP,PB,圆 P 与 x 轴相切,PBx

20、 轴,即 PB=y,由AP=PB,得到 =y, 解得:y=5,则圆 P 的半径为 5(3 )解: 同(2),由 AP=PB,得到(x 2) 2+(8y ) 2=y2 , 整理得: = , 即图象为抛物线, 画出函数图象,如图所示; 15.( 1)证明:连 OC,如图,OA=OB ,CA=CB,OC AB,AB 是 O 的切线;(2 )解:D 为 OA 的中点,OD=OC=r,OA=2OC=2r,A=30,AOC=60,AC= r,AOB=120 ,AB=2 r,S 阴影部分 =SOABS 扇形 ODE= OCAB = , r2 r r2= ,r=1,即O 的半径 r 为 116. (1)证明:

21、如图,连接 OE BE EF,BEF=90,BF 是圆 O 的直径BE 平分 ABC,CBE=OBE,OB=OE,OBE=OEB ,OEB=CBE,OE BC,AEO= C=90,AC 是O 的切线;(2 )证明:如图,连结 DE CBE=OBE,ECBC 于 C,EH AB 于 H,EC=EHCDE+BDE=180,HFE+BDE=180 ,CDE=HFE 在CDE 与HFE 中,CDEHFE(AAS),CD=HF(3 )由(2 )得 CD=HF,又 CD=1, HF=1,在 RtHFE 中,EF= = ,EFBE,BEF=90,EHF=BEF=90,EFH=BFE,EHFBEF, = ,即

22、 = ,BF=10,OE= BF=5,OH=5 1=4,RtOHE 中,cos EOA= ,RtEOA 中,cosEOA= = , = ,OA= ,AF= 5= 17.( 1)解: , 在 中 , 是 的直径, (2 )解: 是 的半径, , , , . , 又 即 的半径是 18.( 1)证明:连接 OD,BD, AB 为圆 O 的直径,ADB=90,在 RtBDC 中,E 为斜边 BC 的中点,CE=DE=BE= BC,C=CDE,OA=OD,A=ADO,ABC=90,即C+ A=90,ADO+CDE=90,即ODE=90,DE OD,又 OD 为圆的半径,DE 为圆 O 的切线;(2 )

23、证明:E 是 BC 的中点,O 点是 AB 的中点, OE 是 ABC 的中位线,AC=2OE,C=C,ABC=BDC,ABC BDC, ,即 BC2=ACCDBC 2=2CDOE(3 )解:cosBAD= , sinBAC= = ,又BE= , E 是 BC 的中点,即 BC= ,AC= 又AC=2OE,OE= AC= 19.( 1)解:连接 OC,CD 切O 于点 COCD=90D=30COD=60OA=OCA=ACO=30;(2 )解:CF 直径 AB,CF=4 CE=2 在 RtOCE 中,tan COE= ,OE= =2,OC=2OE=4S 扇形 BOC= ,S EOC= 22 =2

24、 S 阴影 =S 扇形 BOC-SEOC= -2 20.( 1)证明:连接 OD、OE、DF ,如图,AF 为直径,ADF=90,而C=90,DFBC,DE=EF , = OE DF,OE BC,BC 为 O 的切线(2 )解:OEB=90,B=40,BOE=9040=50,OFE= (18050)=65,CDE=AFE=65(3 )解:易得四边形 CDHE 为矩形,HE=CD=2,DH=CE=4,设O 的半径为 r,则 OH=OEHE=r2,OD=r ,在 RtOHD 中,( r2) 2+42=r2 , 解得 r=5,OHDF,HF=DH=4,HF BE,OHFOEB,HF : BE=OH:

25、OE,即 4:BE=3:5,BE= 21.( 1)解:如图 1 中,连接 AC、ABA 与 x 轴、y 轴相切于点 B、C,ACOC,ABOB,AC=AB,四边形 ABOC 是正方形,设 A(m,m),点 A 在 y= 上,m 2=3,m0,点 A 坐标( , ),OC= ,点 C 坐标(0, ),一次函数 y= x+b 的图象经过点 C,b= ,一次函数的解析式为 y= ,令 y=0 得 x=-3, D (-3 ,0),b= (2 )解:如图 2 中,连接 BC、BE ,作 AMCE 于 M在 RtDOC 中,tanCDO= ,CDO=30,ACBD,ECA=CDO=30,CAM=60,AM CE,CAM=EAM=60 ,CAE=120,在 RtAMC 中, CM=ACcos30= ,CE=2CM=3 ,CBE= CAE=60(3 )解:如图 3 中,当A与直线 y= 相切于点 E,AB 与直线 CD 交于点 K,AB OC,AKE=DKB=DCO=60,在 RtAEK 中,AE= ,AK=AEcos30=2 ,在 RtCKA 中,AK=CAtan30=1,AA=AK+AK=1+2=3,A 向上平移 3 的单位A 与 y 轴及直线 y= 均相切同理可得A 向下平移 1 个单位A与 y 轴及直线 y= 均相切