1、圆简答题专题东城区23 如图， AB 为 OA的直径，点 C， D 在 OA上，且点 C 是 ABD的中点.过点 C 作 AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E.（1）求证： EF 是 的切线；（2）连接 BC. 若 AB=5， BC=3，求线段 AE 的长.23. （1）证明：连接 OC. ACDB1=3. O，1=2.3=2. AEC . F ， O . OC 是 A的半径， EF 是 的切线 . -2 分（2） AB 为 的直径， ACB=90.根据勾股定理，由 AB=5,BC=3,可求得 AC=4. AEF ， AEC=90. AEC ACB. CAB. 45AE. 16. -5
2、分西城区24如图， O的半径为 r， ABC内接于 O， 15BAC， 30B， D为 CB延长线上一点，AD与 相切，切点为 （1）求点 B到半径 的距离（用含 r的式子表示） （2）作 HOC于点 ，求 ADH的度数及BC的值A OBCD【解析】 （1）如图 4，作 BEOC于点 在 O的内接 A中， 15， 230BC在 RtE中， 9B， 30E， Br， 2r，点 B到半径 OC的距离为 2r（2）如图 4，连接 A由 E， DH，可得 BEDH A于 相切，切点为 ， O， 90 DHC于点 ， 在 OBC中， ， 30BOC，180752 3A， 4CBAC O， 5AE， 18
3、0290OA，四边形 HD为矩形， H， r 2BE， DH ， CBE，12图4HEDCBOA海淀区23如图， AB是 O的直径，弦 EFAB于点 C，过点 F作 OA的切线交 B的延长线于点 D.（1）已知 ，求 D的大小（用含 的式子表示） ；（2）取 E的中点 M，连接 ，请补全图形；若 30， 7M，求 A的半径.OFE DCBA23解：（1）连接 OE， F FAB ， 是 的直径， D 2 ， ， 1 分 F为 OA的切线， . 90D . + .2 2 分（2）图形如图所示.连接 OM. AB为 的直径， 为 中点， 90AEB 为 的中点， O ， 1=2. 3 分 30A，
4、 MB 26DF ， 90O. 4 分22+设 A的半径为 r 90EB， 3A， cos.OFE DCBAMOFE DCBA312FDECBAO1=32OMr 5 分 7F，22()+()r.解得 = （舍去负根） OA的半径为 2 6 分 丰台区23如图， A， B， C 三点在 O 上，直径 BD 平分 ABC，过点 D 作 DE AB 交弦 BC 于点 E，过点 D 作 O 的切线交 BC 的延长线于点 F（1）求证： EFED；（2）如果半径为 5，cos ABC = 35，求 DF 的长OABCEDF23 （1）证明： BD 平分 ABC，12. DE AB，23.13. BC 是
5、 O 的切线， BDF90. 1+ F90，3+ EDF90. F EDF. EFDE. .2 分（2）解：连接 CD. BD 为 O 的直径， BCD90. DE AB， DEF ABC.cos ABC=35，在 Rt ECD 中，cos DEC= CED=35.设 CE=3x，则 DE=5x .由（1）可知， BE= EF=5x. BF=10x ， CF=2x.在 Rt CFD 中，由勾股定理得 DF=25半径为 5， BD10. BFDC= FDBD， 1042xxA，解得 52. DF = 5=5. .5 分（其他证法或解法相应给分.）石景山区23如图， AB是 O的直径， BE是弦，
6、点 D是弦 BE上一点，连接 OD并延长交 于点 C，连接 B，过点 D作 F C交 的切线 F于点 （1）求证： 12；（2）若 的半径是 3，点 是 OC中点， 15BE，求线段 EF的长FDEBOAC23 （1）证明：连接 OE交 DF于点 H， 是 的切线， E是 O的半径， . 190. F OC， 32. 1， . 1 分 32CBE， 1F. 2 分H321FDEBOAC（2）解： 15CBE， 3230F. O的半径是 ，点 D是 OC中点， D.在 RtH中， cos3， 2. 3 分 E.在 RtF中， tanEF. 4 分 3623H. 5 分朝阳区23. 如图，在 O
7、中， C， D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，连接 CD 并延长，交过点 A 的切线于点 E（1）求证： AE CE（2）若 AE= ，sin ADE=31，求 O 半径的长 223. （1）证明：连接 OA， OA 是 O 的切线， OAE90. 1 分 C， D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点， CD 为 AOB 的中位线. CD OA E90. AE CE. 2 分12ECBAOD（2）解：连接 OD， ODB90. 3 分 AE= ，sin ADE=31，在 Rt AED 中， 23sinADE. CD OA，1 ADE.在 Rt OAD 中， 31sinO.4 分设 OD
8、x，则 OA3 x， 22ADO， xx.解得 231， （舍）. 9xA. 5 分即 O 的半径长为 . 燕山区25如图，在 ABC 中, AB=AC,AE 是 BC 边上的高线， BM 平分 ABC 交 AE 于点 M，经过 B， M 两点的 O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F ， FB 为 O 的直径 （1）求证： AM 是 O 的切线 （2）当 BE=3，cosC= 52时，求 O 的半径25.解： (1)连结 OM. EOMGFABC321OMGFABCEFHBODA PCBM 平分ABC1 = 2 又 OM=OB2 = 3 OM BC 2AE 是 BC 边上的高线AEBC,
9、AMOMAM 是 O 的切线3（2）AB=ACABC = C AEBC,E 是 BC 中点 EC=BE=3cosC= 52= ACEAC= EC= 1 4 OM BC，AOM =ABEAOMABE ABOEM又ABC = C AOM =C在 RtAOM 中 cosAOM = cosC= 52 52AMAO= O25AB= M+OB= 7而 AB= AC= 1门头沟区23. 如图， AB 为 O 直径，过 O 外的点 D 作 DE OA 于点 E，射线 DC 切 O 于点 C、 交 AB 的延长线于点P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CH AB 于点 H（1）求证： D=2 A；（2）若
10、HB=2，cos D=35，请求出 AC 的长EFHBODA PC（1）证明：连接 OC，射线 DC 切 O 于点 C， OCP=90 DE AP， DEP=90 P+ D=90， P+ COB=90 COB= D 1 分 OA=OC, A= OCA COB= A+ OCA COB=2 A D=2 A 2 分（2）解：由（1）可知： OCP=90， COP= D，cos COP=cos D=35， 3 分 CH OP， CHO=90，设 O 的半径为 r，则 OH=r2在 Rt CHO 中，cos HOC=OHC= 2=35， r=5， 4 分 OH=52=3，由勾股定理可知： CH=4， A
11、H=AB HB=102=8在 Rt AHC 中， CHA=90，由勾股定理可知： AC=45 5 分大兴区23.已知：如图，在 OAB中， ， O 经过 AB的中点 C，与 OB 交于点 D,且与 BO 的延长线交于点E，连接 CD， （1）试判断 与 O 的位置关系，并加以证明；（2）若 1tan2， O 的半径为 3，求 的长A BCDEO23. （1） AB 与 O 的位置关系是相切 1 分证明：如图，连接 OC AB， C 为 AB 的中点， 是 O 的切线 2 分（2） ED是直径， 90C 又 BO， CDO， DE又 C， B E 2CD 3 分1tan， 2EBC ， 1D 4
12、 分设 x，则 2x又 2BCE， ()6)解得 10x， 2BD， 235OA 5 分平谷区24如图，以 AB 为直径作 O，过点 A 作 O 的切线 AC，连结 BC，交 O 于点 D，点 E 是 BC 边的中点，连结AE（1）求证： AEB=2 C；（2）若 AB=6， 3cos5B，求 DE 的长 DEOACB24（1）证明： AC 是 O 的切线， BAC=90 1点 E 是 BC 边的中点， AE=EC C= EAC， 2 AEB= C+ EAC， AEB=2 C 3（2）解：连结 AD AB 为直径作 O， ABD=90 AB= 6， 3cos5B， BD=18 4在 Rt AB
13、C 中， AB=6， 3cos5， BC=10点 E 是 BC 边的中点， BE=5 5DEOACB 75DE 6怀柔区23.如图，AC 是O 的直径，点 B 是O 内一点，且 BA=BC，连结 BO 并延长线交O 于点 D，过点 C 作O 的切线 CE，且 BC 平分DBE.(1)求证：BE=CE；(2)若O 的直径长 8，sinBCE= 45，求 BE 的长.23. (1)BA=BC，AO=CO,BDAC.CE 是O 的切线,CEAC.CEBD. 1 分ECB=CBD.BC 平分DBE,CBE=CBD.ECB=CBE.BE=CE. 2 分(2)解：作 EFBC 于 F. 3 分O 的直径长
14、 8，CO=4.sinCBD= sinBCE= 45=OCB. 4 分BC=5，OB=3.BE=CE,FEDOA CBEDOA CBBF= 152BC.BOC=BFE=90，CBO=EBF,CBOEBF. BEFCO.BE= 256. 5 分延庆区23如图， AB是 O 的直径， D 是 O 上一点，点 E是弧 AD的中点，过点 A作 O 的切线交 BD的延长线于点 F连接 E并延长交 F于点 C（1）求证： ； （2）如果 AB=5， 1tan2，求 的长OFEDCBA23证明：（1）连接 BE AB 是直径， AEB=90 CBE+ ECB=90 EBA+ EAB=90点 E是 AD的中点
15、， CBE = EBA ECB = EAB 1 分 AB=BC 2 分（2） FA 作 O 的切线， FA AB FAC+ EAB=90 EBA+ EAB=90， FAC= EBAABCDEFOHA BCDEFO 1tan2FAC AB=5， 5E B 4 分过 C 点作 CH AF 于点 H， AB=BC AEB=90， AC=2AE=2 5 1tanFA， CH=2 5 分 CH AB AB=BC=5， 25FC FC= 3106 分顺义区24如图，等腰 ABC 是 O 的内接三角形， AB=AC，过点 A 作 BC 的平行线 AD 交 BO 的延长线于点 D（1）求证： AD 是 O 的
16、切线；（2）若 O 的半径为 15，sin D35，求 AB 的长24 （1）证明：连接 AO，并延长交 O 于点 E，交 BC 于点 F AB=AC， ABC AE BC AD BC， AE AD AD 是 O 的切线 2 分（2）解法 1： AD BC， D=1sin D=35， sin1= 35AOBC1EFDCOAB AE BC， OFB=35 O 的半径 OB=15， OF=9， BF=12 AF=24 AB=125 5 分3解法 2：过 B 作 BH DA 交 DA 延长线于 H AE AD， sin D=5， OA=3 O 的半径 OA=15， OD=25， AD=20 BD=40 BH=24， DH=32 AH=12 AB=125 5 分HEFDCOAB