1、提分专练 (二)圆的综合问题1.2018柳州 如图 T2-1,ABC 为O 的内接三角形,AB 为O 的直径,过点 A 作O 的切线交 BC 的延长线于点 D.图 T2-1(1)求证:DACDBA ;(2)过点 C 作O 的切线 CE 交 AD 于点 E,求证:CE= AD;12(3)若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点,连接 CF 交 AB 于点 G,且 AD=6,AB=3,求 CG 的 长.2.2016柳州 如图 T2-2,AB 为ABC 外接圆O 的直径,点 P 是线段 CA 延长线上一点,点 E 在圆上且满足 PE2=PAPC,连接 CE,AE,OE,OE 交 CA 于点 D.图 T
2、2-2(1)求证:PAEPEC;(2)求证:PE 为O 的切线;(3)若B=30,AP= AC,求证: DO=DP.123.2015柳州 如图 T2-3,已知四边形 ABCD 是平行四边形 ,AD 与ABC 的外接圆O 恰好相切于点 A,边 CD 与 O 相交于点 E,连接 AE,BE.图 T2-3(1)求证:AB=AC ;(2)若过点 A 作 AHBE 于点 H,求证: BH=CE+EH.4.2018南宁 如图 T2-4,ABC 内接于O , CBG=A,CD 为直径,OC 与 AB 相交于点 E,过点 E 作 EFBC,垂足为 F,延长 CD 交 GB 的延长线于点 P,连接 BD.图 T
3、2-4(1)求证:PG 与O 相切;(2)若 = ,求 的值;58 (3)在(2)的条件下, 若O 的半径为 8,PD=OD,求 OE 的长.5.2018桂林 如图 T2-5,已知O 是ADB 的外接圆,ADB 的平分线 DC 交 AB 于点 M,交O 于点 C,连接 AC,BC.图 T2-5(1)求证:AC=BC;(2)如图 ,在图 的基础上作O 的直径 CF,交 AB 于点 E,连接 AF,过点 A 作O 的切线 AH,若 AHBC ,求ACF 的度数;(3)在(2)的条件下,若ABD 的面积为 6 ,ABD 与ABC 的面积之比为 2 9,求 CD 的长.3参考答案1.解析 (1)在DA
4、C 和DBA 中寻找两组相等角即可证明它们相似;(2)根据切线的性质和等量代换,判定 EA=ED=EC,由此证明结论;(3)连接 AF,BF.根据已知条件计算 AF,BC 的长,判定AFG 与CBG 相似,列比例式求解.解:(1)证明:AD 是O 的切线,DAB= 90.AB 是O 的直径 ,ACB=90,即ACD=90.DAB= DCA.又ADC=BDA ,DACDBA.(2)证明:如 图,EA ,EC 都是O 的切线,EA=EC,1=2.又1+D=2+3=90,3=D,ED=EC,EA=ED=EC,即 CE= AD.12(3)连接 AF,BF.易证DAB ACB, = = .12点 F 为
5、直径 AB 下方半圆的中点,ACF=BCF,即 CG 是ABC 的角平分线,易证 = = .12又AB= 3,则 AG=2.AB 是直径,ACF=BCF ,ABF 是等腰直角三角形,AF= AB= .22 322在 Rt ABC 中,设 BC=a,则 AC=2a,a 2+4a2=9,解得:a= ,355即 BC= .355在AFG 和CBG 中,FAG= BCG,AFG= CBG,AFGCBG, = ,即 = ,解得:CG= . 2 355322 21052.证明:(1)PE 2=PAPC, = .又P=P ,PAE PEC.(2)(法一 )如图 ,过点 O 作 OFAE,垂足为 F.由垂径定
6、理知 OF 平分AOE.PCE=EOF.PAE PEC,PEA=PCE.EOF= PEA.PEO= OEF+PEA=OEF+EOF=90 . PE 为O 的切线.(法二)如图 ,延长 EO,交O 于点 F,连接 AF.则EAF=90.PAE PEC,PEA=PCE.又F=PCE,F=PEA.PEO= FEA+PEA= FEA+ F=90.PE 为O 的切线.(3)如图 ,作 OHAC,垂足为 H.B=30,OH= BC= AC.12 32又AP= AC,12PE 2=PAPC= AC AC= AC2.12 32 34PE= AC=OH.32在ODH 和PDE 中, = , =90,=, ODH
7、PDE (AAS).DO=DP.3.证明:(1)易证ABE=DAE.又EAC=EBC,DAC=ABC.ADBC,DAC=ACB,ABC=ACB,AB=AC;(2)作 AFCD 于点 F,四边形 ABCE 是圆内接四边形,ABC=AEF.又ABC=ACB,AEF=ACB.又AEB=ACB,AEH= AEF.在AEH 和AEF 中,=,=,=, AEHAEF,EH=EF,CE+EH=CF.在ABH 和ACF 中,=,=,=, ABHACF,BH=CF=CE+EH.4.解:(1)证明:如图 ,连接 OB,则 OB=OD,BDC=DBO,BAC=BDC,BDC=GBC,GBC=DBO,CD 是O 的直
8、径,DBO+OBC=90,GBC+OBC=90,GBO=90,PG 与O 相切.(2)过点 O 作 OMAC 于点 M,连接 OA,则AOM= COM= AOC,12ABC= AOC=AOM,12又EFB= OMA=90,BEF OAM, = ,AM= AC,OA=OC,12 = ,12又 = ,58 =2 =2 = ; 5854(3)PD=OD,PBO=90,BD=OD=8,在 Rt DBC 中 ,BC= =8 ,2-2 3又OD=OB,DOB 是等边三角形 ,DOB=60,DOB=OBC+OCB,OB=OC,OCB=30, = , = ,123可设 EF=x,则 EC=2x,FC= x,3
9、BF=8 - x,3 3在 Rt BEF 中,BE 2=EF2+BF2, = ,BE=10,54100=x 2+(8 - x)2,3 3解得:x= 6 ,136+ 8,舍去 ,13x=6- ,13EC=12-2 ,13OE=8- (12-2 )=2 -4.13 135.解:(1)证明: DC 是ADB 的平分线,ADC=BDC,又ADC=ABC,BAC= BDC,ABC=BAC,AC=BC.(2)如图,连接 OA,AH 是O 的切线,OAH=90,OAC+CAH=90,OA=OC,OAC=OCA ,OCA+CAH=90, 即FCA+ CAH=90,CF 是O 的直径,FAC= 90,CFA+F
10、CA=90,CFA=CAH,又CFA=ABC,ABC= BAC ,HAC=ACB (由 AHBC 可证),ABC=BAC=ACB,ABC 是等边三角形,CFA=ABC=60,ACF=90-CFA=90-60= 30.(3)ABC 是等边三角形 ,BAC=60,即EAC=60,又FCA=30,即ECA=30,EAC+ECA=90,CEA=90,即 ABCF,AE=BE= AB,12S ABD =6 , = ,3 29S ABC =27 , ABCE=27 ,312 3AE CE=27 ,则在 RtAEC 中,3EAC=60,tanEAC= = ,3即 CE= AE, AE AE=27 ,3 3
11、3解得 AE=3 ,3AB=2 AE=6 ,3CE= AE=9,3在 R tAEC 中,EAC=60,C A=2AE=6 ,3CF= = =12,30 6332过点 D 作 DGCF 于点 G,过点 D 作 DPAB 于点 P,连接 OD,S ABD = ABDP= 6 DP=6 ,12 12 3 3DP=2,ABCF,DP AB,DGCF,DGE=GEP=DPE= 90 ,四边形 DGEP 是矩形,EG=DP=2,CG=EG+CE=2+ 9=11,则在 RtODG 中,OG=CG-OC=11- 6=5,OD=6,DG= = = ,2-2 62-52 11CD= = = =2 .2+2 ( 11)2+112 11+12133