1、17.2 一元二次方程的解法,第17章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,17.2.1 配方法,学习目标,1.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p0)的方程. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. (重点) 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. (难点),1.如果 x2=a,则x叫做a的 .,导入新课,复习引入,平方根,2.如果 x2=a(a 0),则x= .,3.如果 x2=64 ,则x= .,8,4.任何数都可以作为被开方数吗？,负数不可以作为被开方数.,讲授新课,问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同
2、样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？,解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程,106x2=1500，,由此可得,x2=25，,开平方得,即x1=5，x2=5.,棱长不能是负值，正方体的棱长为5dm,x=5，,试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.,(1) x2=4,(2) x2=0,(3) x2+1=0,解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2.,解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0.,解:根据平方根的意义，得x2=-1, 负数没有平方根，原方程无解.,(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；
3、,(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ；,例1 利用直接开平方法解下列方程:,解：,（1） x2=6，,直接开平方，得,（2）移项，得,x2=900.,直接开平方，得,x=30，,x1=30, x2=30.,典例精析,在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到: (x+3)2=5 ， 得,对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5,探究交流,于是，方程(x+3)2=5的两个根为,上面的解法中 ，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.,解题归纳,例2 解下列方程： (1),即x
4、1=3，x2=-1.,解：移项，得,x-1是4的平方根，,x-1=2.,(2),解： 移项，得,两边都除以12，得,3-2x是0.25的平方根，,3-2x=0.5.,即3-2x=0.5,3-2x=-0.5.,1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn)2= p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.,2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.,探讨交流,问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.,(1) a2+2ab+b2=( )2；,(2) a2-2ab+b2=( )2.,a+b,a-b,探究交流,问题2.填上适当的
5、数或式,使下列各等式成立.,（1）x2+4x+ = ( x + )2,（2）x2-6x+ = ( x- )2,（3）x2+8x+ = ( x+ )2,（4）,x2- x+ = ( x- )2,你发现了什么规律？,22,2,32,3,42,4,二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.,归纳总结,想一想： x2+px+( )2=(x+ )2,配方的方法,探究交流,怎样解方程: x2+6x+4=0 (1),问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？,解：,x2+6x+4=0,x2+6x=-4,移项,x2+6x+9=-4+9,两边都加上9,二次项系数为1的完全平方式：
6、常数项等于一次项系数一半的平方.,方法归纳,在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.,问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？,不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.,方程配方的方法：,要点归纳,像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.,配方法的定义,配方法解方程的基本思路,把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解,配方法解方程的基本步骤,一移常数项；二配方配上 ； 三写成（x+n)2=p (p 0); 四直接开平方法解方程.,
7、例3 解下列方程：,解：（1）移项，得,x28x=1,配方，得,x28x+42=1+42 ,( x4)2=15,由此可得,即,配方，得,由此可得,二次项系数化为1，得,解：移项，得,2x23x=1,即,移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?,配方，得,实数的平方不会是负数，x取任何实数时，上式都不成立，原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为1，得,为什么方程两边都加12？,即,例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5的值必定大于零.,解：k24k5=k24k41,=(k-2)21,(k-2)20，(k-2)211.,k24k5的值必定大于零.,1. 方程2x2
8、- 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ）A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.,练一练,C,解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3.（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4.,归纳总结,配方法的应用,1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）,对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，
9、可知其最小值；当a0时，可知其最大值.,2.完全平方式中的配方,如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.,3.利用配方构成非负数和的形式,对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.,当堂练习,(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4,1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）,(A) x2=-2,解方程，得x=,(B) (x-2)2=4,解方程，
10、得x-2=2,x=4,D,(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 .,3. 解下列方程：(1)x2-810； (2)2x250； (3)(x1)2=4 .,x1=0.5,x2=-0.5,x13,x2-3,x12,x21,2.填空:,解：x19, x29.,解：x15, x25.,解：x11, x23.,4.解下列方程：,（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.,解：x2+2x+2=0，,(x+1)2=-1.,此方程无解.,解：x2-4x-12=
11、0，,(x-2)2=16.,x1=6,x2=-2.,解：x2+2x-3=0，,(x+1)2=4.,x1=-3,x2=1.,5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？,解：设道路的宽为xm, 根据题意得,(35-x)(26-x)=850，,整理得,x2-61x+60=0.,解得,x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.,答：道路的宽为1m.,6.若 ，求(xy)z 的值.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,7.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,ABC为等边三角形.,课堂小结,配方法,定义,通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.,步骤,一移常数项； 二配方配上 ； 三写成（x+n)2=p (p 0); 四直接开平方法解方程.,特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.,应用,求代数式的最值或证明,直接开平方法,利用平方根的定义求方程的根的方法,