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2018年北京市初三数学二模分类汇编-第13讲:几何压轴题

1、第 13 讲 几何压轴题【2018西城二模】1. 如图 1,在等边三角形 ABC 中,CD 为中线,点 Q 在线段 CD 上运动,将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转,使得点 A 的对应点 E 落在射线 BC 上,连接BQ,设DAQ =(0 60且 30 ).(1)当 030时,在图 1 中依题意画出图形,并求BQE(用含 的式子表示) ;探究线段 CE,AC,CQ 之间的数量关系,并加以证明;(2)当 30 60时,直接写出线段 CE,AC ,CQ 之间的数量关系 . 【答案】 解:(1)当 0 30 时,画出的图形如图 9 所示 1分 ABC 为等边三角形, ABC=60 CD 为等边三角形

2、的中线,Q 为线段 CD 上的点,由等边三角形的对称性得 QA=QB DAQ =, ABQ=DAQ=,QBE= 60-图 1 备用图图 9 线段 QE 为线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转所得, QE = QA QB=QE可得 2 分1802(6)0 3 分证法一:如图 10,延长 CA 到点 F,使得 AF=CE,连接 QF,作 QHAC于点 H BQE=60+2 ,点 E 在 BC 上, QEC=BQE+QBE =(60+2)+( 60-)=120+ 点 F 在 CA 的延长线上,DAQ =, QAF=BAF+ DAQ=120+ QAF= QEC 又 AF =CE,QA=QE, QAFQEC

3、 QF=QC QHAC 于点 H, FH=CH,CF=2CH 在等边三角形 ABC 中,CD 为中线,点 Q 在 CD 上, ACQ= =30,12ACB即QCF 为底角为 30的等腰三角形 3coscos02HQC CEAFCH即 6 分思路二:如图 11,延长 CB 到点 G,使得 BG=CE,连接 QG,可得QBG QEC ,QCG 为底角为 30的等腰三角形,与证法一同理可得 CEABC3Q图 10 图 11 图 12(2)如图 12,当 3060时, 7 分【2018 石景山二模】2在 ABC 中,ABC=90,AB=BC=4,点 M 是线段 BC 的中点,点 N 在射线 MB 上,

4、连接 AN,平移ABN,使点 N 移动到点 M,得到DEM(点 D与点 A 对应,点 E 与点 B 对应) ,DM 交 AC 于点 P(1 )若点 N 是线段 MB 的中点,如图 1 依题意补全图 1; 求 DP 的长;(2 )若点 N 在线段 MB 的延长线上,射线 DM 与射线 AB 交于点 Q,若 MQ=DP,求CE 的长【答案】解:(1)如图 1,补全图形. 1 分 连接 AD,如图 2.在 Rt ABN 中,B=90,AB=4 ,BN=1, .17AN线段 AN 平移得到线段 DM,DM=AN = ,AD=NM=1,ADMC,ADPCMP. .21MCADP图 1NMABCNMABC

5、备用图图 1图 2 . 3 分317DP(2 )连接 ,如图 3.NQ由平移知: ,且 = .AMND , .P ,且 = .P四边形 是平行四边形.ANQ . .45BC又 ,90 . ,ANMQ .B又 是 的中点,且 ,C4ABC .42N (舍负).B .ME . 7 分C(2 )法二,连接 AD,如图 4.设 CE 长为 x,线段 AB 移动到得到线段 DE, ,ADBM.4BEADADPCMP. .2xMCPMQ=DP, .xDQ104QBMQAD, .xAB42解得 .x . 7 分2CE图 3PNQDEMACBPNQDEMACB图 4【2018海淀二模】3如图,在等边 中, 分

6、别是边 上的点,且ABC ,DE,ACB, ,点 与点 关于 对称,连接CDE30BF, 交 于 .AFG(1)连接 ,则 之间的数量关系是 ,DE;(2)若 ,求 的大小; (用 的式子表BCF示)(2)用等式表示线段 和 之间的数量关系,并证明.,GA【答案】(1) ; DEF(2)解:连接 , , 是等边三角形, ABC .60 , .12D点 与点 关于 对称,CFB , .0DFC .12由(1)知 .E , , 在以 为圆心, 为半径的圆上.FC . 602D(3) .理由如下: BGA连接 ,延长 , 交于点 ,FH 是等边三角形, C , .60BCA点 与点 关于 对称,D

7、, .BFGFEDCBAGFEDCBA .BFA .设 ,CD则 .602 .BAF . . C由(2)知 .60E .BGFDB , .1四边形 中,A.360120EAGF .HF 是等边三角形. G , .60 ,CDE .AB在 与 中, H ,.GEADB . .H ,FGA B【2018 丰台二模】4如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的一个动点,连接AE,将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90,得到 AF,连接 EF,交对角线 BD 于点G,连接 AG(1)根据题意补全图形;(2)判定 AG 与 EF 的位置关系并证明;(3)当 AB = 3,BE = 2 时,求

8、线段 BG 的长HGFEDCBA54321HMGFABDCEA BCED【答案】解:(1)图形补全后如图 1 分GFABDCE(2 )结论:AG EF 2 分证明:连接 FD,过 F 点 FMBC ,交 BD 的延长线于点 M四边形 ABCD 是正方形,AB=DA=DC=BC,DAB= ABE= ADC =90,ADB= 5=45 线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90,得到 AF,AE=AF,FAE=901= 2FDAEBA 3 分FDA=EBA=90,FD=BEADC=90,FDA+ADC=180。点 F、 D、C 三点共线ADB=3=45 FM BC,4= 5=45,FM=FD,FM=B

9、E FGM =EGB,FM=BE,4=5,FMG EGB FG=EGAE=AF,AG FE 4 分(3 ) 解:如图,DB 与 FE 交于点 GAB =3,BE =2,DC=3 ,CE=1,FD =2RtDAB 中,DB =3 2四边形 ABCD 是正方形,DH BC , ,即 ,DHFCE15DH = .25 ,即 ,GBE235BGBG= . 7 分52【2018 房山二模】5. 已知 AC=DC,AC DC,直线 MN 经过点 A,作 DBMN,垂足为 B,连接 CB.(1)直接写出D 与 MAC 之间的数量关系;(2 ) 如图 1,猜想 AB,BD 与 BC 之间的数量关系,并说明理由

10、; 如图 2,直接写出 AB,BD 与 BC 之间的数量关系;(3 )在 MN 绕点 A 旋转的过程中,当BCD=30,BD= 时,直接写出 BC 的值.2图 2CADBMN图 1CADBM N图 2CADBN【答案】27. 解:(1)相等或互补;2 分(注:每个 1 分)(2 ) 猜想:BD+ AB= 32BC分如图 1,在射线 AM 上截取 AE=BD,连接 CE.又D=EAC ,CD=ACBCDECA BC=EC,BCD=ECAACCDACD=90即ACB+BCD=90 ACB+ECA =90即ECB=90BE= 2BCAE+AB =BE= 2BCBD+AB= 4 分2BC AB BD=

11、 5 分2BC(3)BC= 或 7 分3+1 3 1【2018 东城二模】6. 如图所示,点 P 位于等边 的内部,且ACP =CBP ABC(1) BPC 的度数为_;(2) 延长 BP 至点 D,使得 PD=PC,连接 AD,CDNM图1ECADB依题意,补全图形;证明:AD+CD= BD;(3) 在(2)的条件下,若 BD 的长为 2,求四边形 ABCD 的面积【答案】解:(1)120. -2 分(2)如图 1 所示.在等边 中, ,ABC 60 .P =, 60. 18120.BCBPC .PD =, 为等边三角形. 60ACACPB, .DB在 和 中, ACPD, , . SB .

12、A -4 分 .CPD(3)如图 2,作 于点 , 延长线于点 .MA BNC N =60DB, .A C 3=.2BMND又由(2)得, =2ACB,BDCSS 四 边 形 +1AMCDBNA32CD-7 分 32.【2018 朝阳二模】7.如图,在ABC 中,AB=AC,BAC=90,M 是 BC 的中点,延长AM 到点 D,AE= AD,EAD=90,CE 交 AB 于点 F,CD=DF.(1)CAD= 度; (2)求CDF 的度数;(3)用等式表示线段 和 之间的数量关系,并证明.CE【答案】解:(1)45 1 分(2 )解:如图,连接 DB. , 是 的中点,90 ABC, MBCB

13、AD= CAD=45.BADCAD . 2 分DBA=DCA,BD = CD.CD=DF,BD =DF. 3 分DBA=DFB= DCA.DFB +DFA =180,DCA+DFA =180.BAC +CDF =180.CDF =90. 4 分(3 ) CE= CD. 5 分21证明: ,90 EADEAF=DAF=45.AD=AE,EAFDAF. 6 分DF=EF.由可知,CF= . 7 分2CDCE = CD.1【2018 昌平二模】8.如图,在 ABC 中,AB= ACBC,BD 是 AC 边上的高,点 C 关于直线BD 的对称点为点 E,连接 BE.(1 ) 依题意补全图形;若BAC

14、= ,求DBE 的大小(用含 的式子表示) ;(2 ) 若 DE=2AE,点 F 是 BE 中点,连接 AF,BD=4,求 AF 的长.(备用图)DCB A DCB A【答案】如图,在ABC 中,AB=AC BC,BD 是 AC 边上的高,点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E,连接 BE.(1)补全图形;若BAC= ,求DBE 的大小(用含 的式子表示) ;(2)若 DE=2AE,点 F 是 BE 中点,连接 AF,BD=4,求 AF 的长.(1)解:如图 1 分 AB=AC,BAC= , ABC= ACB=90- 12点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E,BD 是 AC 边上的高. BDCE,CD=DE BE= BC BEC= ACB=90- 2 分12DBE= 3 分(2)解:作 FGAC 于 G,BDCE,FGBD点 F 是 BE 中点, EG=DG 4 分1FBD2DE=2AE ,AE=EG= DG 5 分设 AE=EG=DG=x,则 CD=DE=2x,AC=5x ,AB=AC=5x BD=4x BD=4 ,x =1 6 分AG=2 =2,1FG=BD2AF= 7 分DCB AEEABCDF G