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2016年辽宁省丹东市中考数学试卷含答案解析

1、第 1 页(共 26 页)2016 年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的每小题 3 分,共 24 分)13 的倒数是( )A3B C D322016 年 1 月 19 日,国家统计局公布了 2015 年宏观经济数据,初步核算,全年国内生产总值为 676000 亿元676000 用科学记数法表示为( )A6.7610 6B6.76 105C67.610 5D0.67610 63如图所示几何体的左视图为( )A B C D4一组数据 8,3,8,6,7,8,7 的众数和中位数分别是( )A8,6B7,6C7,8D8,75下列计算结果正确的是( )Aa 8a4

2、=a2B a2a3=a6C (a 3) 2=a6D (2a 2) 3=8a66二元一次方程组 的解为( )A B C D7如图,在ABCD 中,BF 平分ABC ,交 AD 于点 F,CE 平分BCD,交 AD 于点E,AB=6 ,EF=2,则 BC 长为( )A8B10C 12D148如图,在ABC 中,AD 和 BE 是高, ABE=45,点 F 是 AB 的中点,AD 与 FE、BE分别交于点 G、H,CBE= BAD有下列结论:FD=FE ;AH=2CD;BCAD=AE2;S ABC=4SADF其中正确的有( )第 2 页(共 26 页)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题

3、(每小题 3 分,共 24 分)9分解因式:xy 2x= 10不等式组 的解集为 11一个袋中装有两个红球、三个白球,每个球除颜色外都相同从中任意摸出一个球,摸到红球的概率是 12反比例函数 y= 的图象经过点(2,3) ,则 k= 13某公司今年 4 月份营业额为 60 万元,6 月份营业额达到 100 万元,设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x,则可列方程为 14观察下列数据:2, , , , ,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第 11 个数据是 15如图,正方形 ABCD 边长为 3,连接 AC,AE 平分 CAD,交 BC 的延长线于点E,FA AE,交 CB 延长线于

4、点 F,则 EF 的长为 16如图,在平面直角坐标系中,A 、B 两点分别在 x 轴、y 轴上,OA=3,OB=4,连接AB点 P 在平面内,若以点 P、A、B 为顶点的三角形与 AOB 全等(点 P 与点 O 不重合),则点 P 的坐标为 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分)第 3 页(共 26 页)17计算:4sin60+|3 |( ) 1+(2016) 018在平面直角坐标系中,ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形) (1)将ABC 沿 x 轴方向向左平移 6 个单位,画出平移后得到的 A1B1C1;(2)将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90,画出

5、旋转后得到的 AB2C2,并直接写出点B2、C 2 的坐标四、 (每小题 10 分,共 20 分)19为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项) 为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:(1)此次共调查了多少人?(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;(3)请将条形统计图补充完整;(4)若该校有 1500 名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?20甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌,正面

6、分别标有数字2,3,5将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;(2)若两人抽取的数字和为 2 的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为 5 的倍数,则乙获胜这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释第 4 页(共 26 页)五、 (每小题 10 分,共 20 分)21某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的 2 倍,购买 240 元甲商品的数量比购买 300 元乙商品的数量多 15 件,求两种商品单价各为多少元?22如图,AB 是 O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与

7、O 相切于点D,CE AD,交 AD 的延长线于点 E(1)求证:BDC= A;(2)若 CE=4, DE=2,求 AD 的长六、 (每小题 10 分,共 20 分)23某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度他们在 C 处仰望建筑物顶端,测得仰角为 48,再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处,测得仰角为 64,求建筑物的高度 (测角器的高度忽略不计,结果精确到 0.1 米)(参考数据:sin48 ,tan48 ,sin64 ,tan642)24某片果园有果树 80 棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低

8、若该果园每棵果树产果y(千克) ,增种果树 x(棵) ,它们之间的函数关系如图所示(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实 6750 千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量 w(千克)最大?最大产量是多少?第 5 页(共 26 页)七、 (本题 12 分)25如图,ABC 与CDE 是等腰直角三角形,直角边 AC、CD 在同一条直线上,点M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点,点 P 为 AD 的中点,连接 AE、BD(1)猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系,请直接写出结论;(2)现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针

9、旋转 (0 90) ,得到图,AE 与MP、 BD 分别交于点 G、H请判断( 1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)若图中的等腰直角三角形变成直角三角形,使 BC=kAC,CD=kCE ,如图 ,写出 PM 与 PN 的数量关系,并加以证明八、 (本题 14 分)26如图,抛物线 y=ax2+bx 过 A(4,0) ,B (1,3)两点,点 C、B 关于抛物线的对称轴对称,过点 B 作直线 BHx 轴,交 x 轴于点 H(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点 C 的坐标,并求出 ABC 的面积;(3)点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当ABP 的面积为

10、6 时,求出点 P 的坐标;(4)若点 M 在直线 BH 上运动,点 N 在 x 轴上运动,当以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时CMN 的面积第 6 页(共 26 页)2016 年辽宁省丹东市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的每小题 3 分,共 24 分)13 的倒数是( )A3B C D3【考点】倒数【分析】利用倒数的定义,直接得出结果【解答】解: 3( )=1,3 的倒数是 故选:C22016 年 1 月 19 日,国家统计局公布了 2015 年宏观经济数据,初步核算,全年国内生产总值为 676000 亿元676

11、000 用科学记数法表示为( )A6.7610 6B6.76 105C67.610 5D0.67610 6【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,整数位数减 1 即可当原数绝对值10 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数【解答】解:将 676000 用科学记数法表示为 6.76105故选 B3如图所示几何体的左视图为( )A B C D【考点】简单组合体的三视图【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案【解答】解:从左边看第一层一个小正方形,第二层一个小正方形,第三层一个小正方形,故选:A

12、4一组数据 8,3,8,6,7,8,7 的众数和中位数分别是( )第 7 页(共 26 页)A8,6B7,6C7,8D8,7【考点】众数;中位数【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【解答】解:把这组数据从小到大排列:3,6,7,7,8,8,8,8 出现了 3 次,出现的次数最多,则众数是 8;最中间的数是 7,则这组数据的中位数是 7故选 D5下列计算结果正确的是( )Aa 8a4=a2B a2a3=a6C (a 3) 2=a6D (2a 2) 3=8a6【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方【分析】根据同底数幂相除,底数不变指数相减;同底数幂相乘,底数不变指数相

13、加;幂的乘方,底数不变指数相乘;积的乘方法则,把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解:A、a 8a4=a4,故 A 错误;B、a 2a3=a5,故 B 错误;C、 (a 3) 2=a6,故 C 正确;D、 (2a 2) 3=8a6,故 D 错误故选:C6二元一次方程组 的解为( )A B C D【考点】二元一次方程组的解【分析】根据加减消元法,可得方程组的解【解答】解:+,得 3x=9,解得 x=3,把 x=3 代入 ,得 3+y=5,y=2,所以原方程组的解为 故选 C第 8 页(共 26 页)7如图,在ABCD 中,BF 平分ABC ,交 AD

14、于点 F,CE 平分BCD,交 AD 于点E,AB=6 ,EF=2,则 BC 长为( )A8B10C 12D14【考点】平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出ABF= AFB,得出 AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由 EF 的长,即可求出 BC 的长【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,DC=AB=6 ,AD=BC,AFB=FBC,BF 平分ABC,ABF=FBC,则ABF=AFB,AF=AB=6,同理可证:DE=DC=6 ,EF=AF+DEAD=2,即 6+6AD=2,解得:AD=10 ;故选:B8如图,在ABC 中,AD 和 BE 是高, ABE

15、=45,点 F 是 AB 的中点,AD 与 FE、BE分别交于点 G、H,CBE= BAD有下列结论:FD=FE ;AH=2CD;BCAD=AE2;S ABC=4SADF其中正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 FD= AB,证明 ABE 是等腰直角三角形,得出 AE=BE,证出 FE= AB,延长 FD=FE,正确;第 9 页(共 26 页)证出ABC= C,得出 AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,BAD=CAD=CBE,由 ASA 证明 AEHBEC,得出 AH=BC

16、=2CD,正确;证明ABDBCE ,得出 = ,即 BCAD=ABBE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出 BCAD= AE2; 正确;由 F 是 AB 的中点, BD=CD,得出 SABC=2SABD=4SADF正确;即可得出结论【解答】解:在ABC 中,AD 和 BE 是高,ADB=AEB=CEB=90,点 F 是 AB 的中点,FD= AB,ABE=45,ABE 是等腰直角三角形,AE=BE,点 F 是 AB 的中点,FE= AB,FD=FE,正确;CBE=BAD,CBE+ C=90, BAD+ABC=90,ABC=C,AB=AC,ADBC,BC=2CD,BAD= CAD=CBE

17、,在AEH 和 BEC 中, ,AEHBEC(ASA ) ,AH=BC=2CD,正确;BAD=CBE,ADB= CEB,ABDBCE, = ,即 BCAD=ABBE, AE2=ABAE=ABBE,BCAD=AC BE=ABBE,BCAD= AE2;正确;F 是 AB 的中点,BD=CD,SABC=2SABD=4SADF正确;故选:D二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)9分解因式:xy 2x= x(y1) (y+1) 第 10 页(共 26 页)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式 x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解:xy 2x,=x(y 21) ,=

18、x(y1 ) (y+1) 故答案为:x(y1) (y+1) 10不等式组 的解集为 2x6 【考点】解一元一次不等式组【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可【解答】解: ,由得,x2,由 得,x6,故不等式组的解集为:2x6故答案为:2x611一个袋中装有两个红球、三个白球,每个球除颜色外都相同从中任意摸出一个球,摸到红球的概率是 frac25 【考点】概率公式【分析】先求出球的总数,再根据概率公式求解即可【解答】解:一个袋中装有两个红球、三个白球,球的总数=2+3=5,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率= 故答案为: 12反比例函数 y= 的图象经过点(2,3) ,则 k= 7

19、 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k 的一元一次方程,解方程即可得出结论【解答】解:反比例函数 y= 的图象经过点(2,3 ) ,k1=23,第 11 页(共 26 页)解得:k=7故答案为:713某公司今年 4 月份营业额为 60 万元,6 月份营业额达到 100 万元,设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x,则可列方程为 60(1+x)2=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每月的增长率为 x,根据 4 月份的营业额为 60 万元,6 月份的营业额为100 万元,分别表示出 5,6 月的营

20、业额,即可列出方程【解答】解:设平均每月的增长率为 x,根据题意可得:60(1+x) 2=100故答案为:60(1+x) 2=10014观察下列数据:2, , , , ,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第 11 个数据是 frac12211 【考点】规律型:数字的变化类【分析】根据题意可得:所有数据分母为连续正整数,第奇数个是负数,且分子是连续正整数的平方加 1,进而得出答案【解答】解: 2= , , , , ,第 11 个数据是: = 故答案为: 15如图,正方形 ABCD 边长为 3,连接 AC,AE 平分 CAD,交 BC 的延长线于点E,FA AE,交 CB 延长线于点 F,则 E

21、F 的长为 6sqrt2 【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得 AC 的长,由角平分线的性质和平行线的性质可得CAE=E,易得 CE=CA,由 FAAE,可得FAC=F,易得 CF=AC,可得 EF 的长【解答】解:四边形 ABCD 为正方形,且边长为 3,AC=3 ,AE 平分CAD,CAE=DAE,ADCE,DAE=E,第 12 页(共 26 页)CAE=E,CE=CA=3 ,FAAE,FAC+CAE=90,F+ E=90,FAC=F,CF=AC=3 ,EF=CF+CE=3 =6 ,故答案为:6 16如图,在平面直角坐标系中,A 、B 两点分别

22、在 x 轴、y 轴上,OA=3,OB=4,连接AB点 P 在平面内,若以点 P、A、B 为顶点的三角形与 AOB 全等(点 P 与点 O 不重合),则点 P 的坐标为 (3,4)或(frac9625,frac7225)或(frac2125,frac2825) 【考点】全等三角形的判定;坐标与图形性质【分析】由条件可知 AB 为两三角形的公共边,且AOB 为直角三角形,当AOB 和APB 全等时,则可知APB 为直角三角形,再分三种情况进行讨论,可得出 P 点的坐标【解答】解:如图所示:OA=3,OB=4,P1( 3,4) ;连结 OP2,设 AB 的解析式为 y=kx+b,则,解得 故 AB

23、的解析式为 y= x+4,则 OP2 的解析式为 y= x,联立方程组得 ,第 13 页(共 26 页)解得 ,则 P2( , ) ;连结 P2P3,( 3+0) 2=1.5,(0+4)2=2,E( 1.5,2) ,1.52 = ,22 = ,P3( , ) 故点 P 的坐标为(3,4)或( , )或( , ) 故答案为:(3,4)或( , )或( , ) 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分)17计算:4sin60+|3 |( ) 1+(2016) 0【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、乘法,然后从左向右依次计算,求出算

24、式4sin60+|3 |( ) 1+(2016) 0 的值是多少即可【解答】解:4sin60+|3 |( ) 1+(2016) 0=4 +2 32+1=2 +2 4第 14 页(共 26 页)=4 418在平面直角坐标系中,ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形) (1)将ABC 沿 x 轴方向向左平移 6 个单位,画出平移后得到的 A1B1C1;(2)将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90,画出旋转后得到的 AB2C2,并直接写出点B2、C 2 的坐标【考点】作图-旋转变换;作图 -平移变换【分析】 (1)利用点平移的规律写出点 A、B、C 的对应点 A1、B

25、1、C 1 的坐标,然后描点即可得到A 1B1C1;(2)利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C 的对应点 B2、C 2,从而得到AB 2C2,再写出点 B2、C 2 的坐标【解答】解:(1)如图,A 1B1C1 即为所求;(2)如图,AB 2C2 即为所求,点 B2(4,2) ,C 2(1, 3) 四、 (每小题 10 分,共 20 分)19为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项) 为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请第 15 页(共 26

26、页)根据图中提供的信息,完成下列问题:(1)此次共调查了多少人?(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;(3)请将条形统计图补充完整;(4)若该校有 1500 名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图【分析】 (1)根据体育人数 80 人,占 40%,可以求出总人数(2)根据圆心角=百分比360即可解决问题(3)求出艺术类、其它类社团人数,即可画出条形图(4)用样本百分比估计总体百分比即可解决问题【解答】解:(1)8040%=200(人) 此次共调查 200 人 (2) 360=108文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为 108 (

27、3)补全如图,(4)150040%=600(人) 估计该校喜欢体育类社团的学生有 600 人20甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;第 16 页(共 26 页)(2)若两人抽取的数字和为 2 的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为 5 的倍数,则乙获胜这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释【考点】游戏公平性;列表法与树状图法【分析】 (1)利用列表法得到所有可能出现的结果,根据概率公式计算即可;(2)分别求

28、出甲、乙获胜的概率,比较即可【解答】解:(1)所有可能出现的结果如图:从表格可以看出,总共有 9 种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人抽取相同数字的结果有 3 种,所以两人抽取相同数字的概率为: ;(2)不公平从表格可以看出,两人抽取数字和为 2 的倍数有 5 种,两人抽取数字和为 5 的倍数有 3 种,所以甲获胜的概率为: ,乙获胜的概率为: ,甲获胜的概率大,游戏不公平五、 (每小题 10 分,共 20 分)21某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的 2 倍,购买 240 元甲商品的数量比购买 300 元乙商品的数量多 15 件,求两种商品单价各为多少元?【考点】分式方

29、程的应用【分析】设甲商品的单价为 x 元,乙商品的单价为 2x 元,根据购买 240 元甲商品的数量比购买 300 元乙商品的数量多 15 件列出方程,求出方程的解即可得到结果【解答】解:设甲商品的单价为 x 元,乙商品的单价为 2x 元,根据题意,得 =15,解这个方程,得 x=6,经检验,x=6 是所列方程的根,2x=26=12(元) ,答:甲、乙两种商品的单价分别为 6 元、12 元22如图,AB 是 O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与O 相切于点D,CE AD,交 AD 的延长线于点 E(1)求证:BDC= A;第 17 页(共 26 页)(2)若 CE=4, DE=2

30、,求 AD 的长【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质【分析】 (1)连接 OD,由 CD 是O 切线,得到 ODC=90,根据 AB 为O 的直径,得到ADB=90 ,等量代换得到BDC= ADO,根据等腰直角三角形的性质得到ADO= A,即可得到结论;(2)根据垂直的定义得到E=ADB=90,根据平行线的性质得到DCE= BDC,根据相似三角形的性质得到 ,解方程即可得到结论【解答】 (1)证明:连接 OD,CD 是O 切线,ODC=90,即ODB+BDC=90 ,AB 为O 的直径,ADB=90,即ODB+ADO=90 ,BDC=ADO,OA=OD,ADO=A,BDC=A;(2)CE

31、 AE,E=ADB=90,DBEC,DCE=BDC,BDC=A,A=DCE,E=E,AECCED, ,EC2=DEAE,16=2(2+AD) ,AD=6第 18 页(共 26 页)六、 (每小题 10 分,共 20 分)23某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度他们在 C 处仰望建筑物顶端,测得仰角为 48,再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处,测得仰角为 64,求建筑物的高度 (测角器的高度忽略不计,结果精确到 0.1 米)(参考数据:sin48 ,tan48 ,sin64 ,tan642)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】Rt ADB 中用 AB 表示出 BD

32、、Rt ACB 中用 AB 表示出 BC,根据 CD=BCBD 可得关于 AB 的方程,解方程可得【解答】解:根据题意,得ADB=64,ACB=48在 RtADB 中,tan64 = ,则 BD= AB,在 RtACB 中,tan48 = ,则 CB= AB,CD=BCBD即 6= AB AB解得:AB= 14.7(米) ,建筑物的高度约为 14.7 米第 19 页(共 26 页)24某片果园有果树 80 棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低若该果园每棵果树产果y(千克) ,增种果树 x(棵) ,它们之间的函数关系如

33、图所示(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实 6750 千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量 w(千克)最大?最大产量是多少?【考点】二次函数的应用【分析】 (1)函数的表达式为 y=kx+b,把点(12,74) , ( 28,66)代入解方程组即可(2)列出方程解方程组,再根据实际意义确定 x 的值(3)构建二次函数,利用二次函数性质解决问题【解答】解:(1)设函数的表达式为 y=kx+b,该一次函数过点( 12,74) , (28,66) ,得 ,解得 ,该函数的表达式为 y=0.5x+80,(2)根据题意,得,(0

34、.5x+80 ) (80+x)=6750,解得,x 1=10,x 2=70投入成本最低x2=70 不满足题意,舍去增种果树 10 棵时,果园可以收获果实 6750 千克(3)根据题意,得w=( 0.5x+80) (80+x) =0.5 x2+40 x+6400=0.5(x 40) 2+7200a=0.50,则抛物线开口向下,函数有最大值当 x=40 时,w 最大值为 7200 千克当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克第 20 页(共 26 页)七、 (本题 12 分)25如图,ABC 与CDE 是等腰直角三角形,直角边 AC、CD 在同一条直线上,点M、N 分别是斜边 AB、

35、DE 的中点,点 P 为 AD 的中点,连接 AE、BD(1)猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系,请直接写出结论;(2)现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 (0 90) ,得到图,AE 与MP、 BD 分别交于点 G、H请判断( 1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)若图中的等腰直角三角形变成直角三角形,使 BC=kAC,CD=kCE ,如图 ,写出 PM 与 PN 的数量关系,并加以证明【考点】相似形综合题【分析】 (1)由等腰直角三角形的性质易证ACE BCD,由此可得 AE=BD,再根据三角形中位线定理即可得到 PM=PN,由平行线的性质可得 P

36、MPN;(2) (1)中的结论仍旧成立,由(1)中的证明思路即可证明;(3)PM=kPN ,由已知条件可证明 BCDACE,所以可得 BD=kAE,因为点 P、M、N分别为 AD、AB、DE 的中点,所以 PM= BD,PN= AE,进而可证明 PM=kPN【解答】解:(1)PM=PN, PMPN,理由如下:ACB 和ECD 是等腰直角三角形,AC=BC,EC=CD,ACB= ECD=90在ACE 和BCD 中,ACEBCD(SAS) ,AE=BD,EAC= CBD,点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点,点 P 为 AD 的中点,PM= BD,PN= AE,PM=PM,NPD=EAC,M

37、PN= BDC,EAC+ BDC=90,MPA+NPC=90,MPN=90,即 PMPN;第 21 页(共 26 页)(2)ACB 和ECD 是等腰直角三角形,AC=BC,EC=CD,ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDACEBCDAE=BD,CAE= CBD 又AOC=BOE,CAE=CBD,BHO=ACO=90点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点,PM= BD,PMBD;PN= AE,PNAE PM=PNMGE+BHA=180MGE=90MPN=90PMPN (3)PM=kPN ACB 和ECD 是直角三角形,ACB=ECD=90ACB+BCE=EC

38、D+BCEACE=BCDBC=kAC,CD=kCE, =kBCDACEBD=kAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点,PM= BD,PN= AEPM=kPN八、 (本题 14 分)26如图,抛物线 y=ax2+bx 过 A(4,0) ,B (1,3)两点,点 C、B 关于抛物线的对称轴对称,过点 B 作直线 BHx 轴,交 x 轴于点 H第 22 页(共 26 页)(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点 C 的坐标,并求出 ABC 的面积;(3)点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当ABP 的面积为 6 时,求出点 P 的坐标;(4)若点 M 在直线 BH 上运动,点

39、N 在 x 轴上运动,当以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时CMN 的面积【考点】二次函数综合题【分析】 (1)利用待定系数法求二次函数的表达式;(2)根据二次函数的对称轴 x=2 写出点 C 的坐标为(3,3) ,根据面积公式求 ABC 的面积;(3)因为点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,设出点 P 的坐标(m, m2+4m) ,利用差表示ABP 的面积,列式计算求出 m 的值,写出点 P 的坐标;(4)分别以点 C、M、N 为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理求 CM或 CN 的长,利用面积公式进行计算【解答】解:(1)把点 A( 4,0

40、) ,B(1,3)代入抛物线 y=ax2+bx 中,得 解得: ,抛物线表达式为:y= x2+4x;(2)点 C 的坐标为(3,3) ,又 点 B 的坐标为(1,3) ,BC=2,SABC= 23=3; (3)过 P 点作 PDBH 交 BH 于点 D,设点 P(m,m 2+4m) ,根据题意,得:BH=AH=3,HD=m 24m,PD=m1,SABP=SABH+S 四边形 HAPDSBPD,第 23 页(共 26 页)6= 33+ (3+m 1) (m 24m) (m1) (3+m 24m) ,3m215m=0,m1=0(舍去) , m2=5,点 P 坐标为(5,5) (4)以点 C、M、N

41、 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴上方时,如图 2,CM=MN,CMN=90 ,则CBM MHN,BC=MH=2, BM=HN=32=1,M(1,2) ,N(2,0) ,由勾股定理得:MC= = ,SCMN= = ;以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴下方时,如图 3,作辅助线,构建如图所示的两直角三角形:Rt NEM 和 RtMDC,得 RtNEMRtMDC,EM=CD=5,MD=ME=2 ,由勾股定理得:CM= = ,SCMN= = ;以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴左侧时,如图 4,CN=MN,MNC=90,作辅助线,同理得:CN= = ,SCMN= =17;以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴右侧时,作辅助线,如图 5,同理得:CN= =,SCMN= =5;以 C 为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形;综上所述:CMN 的面积为: 或 或 17 或 5第 24 页(共 26 页)第 25 页(共 26 页)第 26 页(共 26 页)2016 年 7 月 13 日