1、12.3 角的平分线的性质,1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质，发展数学直觉. 2.提高综合运用三角形全等的有关知识的解决能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用.,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？,再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？,对折,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是DAB的平分线.你能说明它的道理吗？,【证明】在ACD和ACB中A
2、D=AB（已知）DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的对应角相等） AC平分DAB（角平分线的定义）,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,尺规作角的平分线,画法：,1.以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,2.分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,3.作射线OC,射线OC即为所求,为什么OC是的角平分线?,将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知：OC平分AO
3、B，点P在OC上，PDOA于D，PEOB于E，,求证: PD=PE.,证明: C平分, P是OC上一点（已知） DP=BP（角平分线定义） PDOA,PEOB （已知） ODP=OEP=90（垂直的定义） 在OPD和OPE中DOP=BOP （已证）ODP=OEP （已证）OP=OP （已知） OPDOPE(AAS) PDPE（全等三角形对应边相等）,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.,用符号语言表示为：,1= 2PD OA ，PE OB PD=PE.,角平分线的性质,如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为
4、120000）,D,C,s,【解析】 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.,O,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,证明: QDOA，QEOB QDOQEO90（垂直的定义） 在RtQDO和RtQEO中QOQO（公共边） QD=QE RtQDORtQEO（HL） QODQOE点Q在AOB的平分线上,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,(1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (2). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_),1
5、= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上.,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,1.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.,【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证BEDCFD,从而得到EB=FC.,2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处,【解析】选D.由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：A、B、C、D各一处.,3.（宁德中考）如图，已知AD是ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFD，需添加一个条件是：_，并给予证明.,c,解法一：添加条件：AEAF，在AED与AFD中， AEAF，EADFAD，ADAD， AEDAFD（SAS）. 解法二：添加条件：EDAFDA，在AED与AFD中，EADFAD，ADAD，EDAFDA，AEDAFD（ASA）.,1.角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定：,到角的两边的距离相等的点在角平分线上.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,