1、2024年江苏省南京市中考数学5月模拟试题（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）12024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140 967万人，比上年末减少208万人140 967用科学记数法可表示为（）ABCD2整数a满足，则a的值为（）A3B4C5D63已知，则下列结论正确的是（）ABCD4如图，正五边形内接于，连接，则（）ABCD5若k为任意整数，则的值总能（）A被2整除B被3整除C被5整除D被7整除6如图，在中，D为的中点若点E在边上，且，则的长为（）A1B2C1或D1或2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上
2、）7的相反数是 ，9的平方根是 8若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 9因式分解： 10若，则 11一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于 cm212如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点都在边上，若，则 13已知点A在第二象限，点O为坐标原点，反比例函数的图像经过点A，则的取值范围是 14已知二次函数（是正整数）图像经过点，且与轴有两个不同的交点，则的最大值为 15如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点若，则半圆的直径为 16如图，正方形的边长为2，点在边上运动（不与点、重合），点在射线上，且，与相交于点，连
3、接、则下列结论：；面积的最大值为，其中正确结论的序号为 三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17计算 18解不等式组 并写出不等式组的整数解19人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题 年中国城镇人口和乡村人口的统计图(1)下列结论中，正确结论的序号是；2023年的总人口比2017年的总人口少；2017年我国乡村人口比上一年下降约；年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同(2)请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论20某博物馆开设了A，B，C三个安检通道甲、乙两人随机选择一个通道
4、进入博物馆，(1)甲从A 通道进入博物馆的概率是 ；(2)求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率21甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个?22如图，在中，点E，F分别在，上，连接，(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，当的长为 时，四边形是菱形23如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作.无人机悬停在P 处，测得前方水平地面上大树的顶端B 的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为已知点A，B，C，D，P 在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度 为，大树与建筑物的
5、距离为，求无人机在P 处时离地面的高度（参考数据： ，）24某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用)25如图，与相交于点E，连接，经过A，B，C三点的交于点F，且是的切线(1)连接，求证：；(2)求证：(3)若，则的半径为26已知二次函数 (1)求证：该函数的图像与x轴总有两
6、个公共点；(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且 求证 (3)若，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围27几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系在 中，P是上一点，点E 在直线的上方，连接，探究下列问题：【认识模型】（1）如图，连接，求证：；与满足的数量关系为；【运用模型】（2）已知，D 是的中点，且，如图，若P是的中点，连接，求证：；若 ，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1C【分析】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整
7、数，据此求解即可【详解】解：140 967=1.40967105，故选：C2C【分析】本题主要考查无理数的估算，确定即可求得结果【详解】解：，所以，只有选项C符合题意，故选：C3B【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可【详解】解：得，则，故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变4D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可【详解】，故选D【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键5B【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式【详解】
8、解：，能被3整除，的值总能被3整除，故选：B【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式6D【分析】由含的直角三角形的性质可求，利用勾股定理求得，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解【详解】解：在中，点D是的中点，如图，当时，如图，当时，取的中点H，连接，点D是中点，点H是的中点，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上）7 /0.5 【分
9、析】本题主要考查平方根，相反数的概念，关键是要牢记平方根，相反数的定义根据相反数，平方根的定义直接求解【详解】解：的相反数是；，9的平方根是故答案为：，8且【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件根据被开方数为非负数，以及分式中分母不能为0，列不等式组求解即可【详解】解：式子在实数范围内有意义，解得：且，故答案为：且9【分析】本题考查了因式分解先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可【详解】解：故答案为：10【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到，即可解答【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法
10、运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键11【分析】根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，由弧长公式求出圆心角，根据扇形的面积公式求解即可【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，圆锥展开图的弧长为解得圆锥的展开图是半径为4cm的半圆圆锥的侧面积为（cm2）故答案为：【点睛】本题考查了弧长公式，扇形的面积，等边三角形的性质，主视图等知识解题的关键在于明确圆锥展开图的半径与圆心角12【分析】根据题意得知，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】， 设则，.故答案为：【点睛】本题考查
11、了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求的正切值转化为求的正切值是解题的关键.13/【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可【详解】解：当反比例函数的图象与图象交于点A时，k的绝对值最大，此时点A的坐标为，若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是，故答案为：14【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，明白“在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围”是解题的关键根据已知条件得到关于，的方程
12、组，用表示和，根据与轴有两个不同的交点，求得的取值范围，再进一步分析求出的最大值【详解】解：把，代入，得：，整理得：，二次函数（是正整数）图像与轴有两个不同的交点，或，解得：或，又是正整数，的最大值为，故答案为：15【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算是解题的关键利用弧、弦、圆心角的关系，证明，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程求解，进而得出半圆的直径即可【详解】解：如图，点为圆心，
13、过点作交于点，连接、，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点，和是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于，和所对的圆心角也相等，又，设，则，整理得：，或，解得：，（负值舍去），半圆的直径，故答案为：16【分析】如图1中，在上截取，连接证明，即可判断；如图2中，延长到Q，使得，则，即可判断；设，则，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题可判断；从而可得答案【详解】解：如图1：在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确；如图2，延长到Q，使得， 在正方形中， ， ， ， ， ， ， ， ； 故错误，如图1；设，则， ， ，
14、时，的面积的最大值为； 故正确，故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得熟练掌握分式的运算法则是解题关键【详解】解：原式18，整数解为整数解为、0、1【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的
15、原则是解答此题的关键分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，则不等式组的解集为，所以其整数解为、0、119(1)(2)见解析【分析】本题主要考查了条形统计图：（1）根据条形统计图中的数据进行逐一判断即可；（2）根据条形统计图中的数据进行描述即可【详解】（1）解：2023年的总人口14.09亿人比2017年的总人口14亿人多，故错误；2017年我国乡村人口比上一年下降约，故正确；年我国城镇人口逐年增长，但增长率逐不同，故错误；综上，正确结论的序号是，故答案为：；（2）根据统计图可得，年我国
16、城镇人口逐年增长，年我乡村人口逐年减少，说明我国逐渐向城镇化靠拢；年我国总人口逐年增长，但2023年有所下降，说明我国出生率有所上升20(1)(2)甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可【详解】（1）解：进入博物馆总共有三个通道，即三种可能的结果，并且他们发生的可能性相等，而甲从A 通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果，其概率为：，故
17、答案为：；（2）根据题意列表如下：甲乙ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ，答：甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为21甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个【分析】本题考查分式方程的实际应用读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，根据题意，列出关于x的方程，求解并检验即可【详解】解：设甲机器人每小时检测零件x个，则乙机器人每小时检测零件个，根据题意有：，解得：，经检验是原方程的解，个答：甲机器人每小时检测零件
18、50个，乙机器人每小时检测零件40个22(1)证明过程见详解；(2)【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用（1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可；（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形（2）解：作于点G，作于点H，,四边形是矩形，,，,，,在中，设,，则,在中，解得：，当时，四边形是菱形23无人机在处时离地面的高度【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作，过点作，过点作，得，设，则，利用锐角三角函数的定义表示出，的长，最后列出关于
19、x的方程进行计算，即可解答【详解】解：过点作，过点作，过点作，则四边形，四边形均为矩形，由题意可知，设，则，在中，在中，则，解得：，即：无人机在处时离地面的高度24(1)(2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，点在该函数图象上，解得：，当时，y与x的函数
20、关系式为，当时，设y与x的函数关系式为，解得，即当时，y与x的函数关系式为，综上所述，y与x的函数关系式为；（2）当时，y随x的增大而增大，w随x的增大而增大，当时，w取得最大值，此时，当时，当时，w取得最大值，此时，当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元25(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）如图，连接，交于点，由切线性质可知，由，可推导，进而可知，由垂径定理可得，垂直平分，即可证明结论；（2）如图，连接，由（1）知，则，结合圆周角定理可证，进而可证明，得，即可证明结论；（3）如图，连接并延长交于点，连
21、接，结合题意知，由（2）可知，可得，由（2）知，则，继而可得，可知垂直平分，得，由此可得，设半径为，则，在中，列出方程即可求解【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，是的切线，即，即，由垂径定理可得，垂直平分，；（2）证明：如图，连接，由（1）知，则，又，又，即：；（3）解：如图，连接并延长交于点，连接，则，由（2）可知，由（2）知，则，即，又，垂直平分，在中，设半径为，则，在中，即：，解得：，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟悉相关图形的性质，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键26(1)见解析(2)见解析(
22、3)或【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可；（2）利用根与系数的关系得出，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证；（3）分对称轴在y轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图象列出不等式组求解即可【详解】（1）解：，又，即，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）解该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为，是的两个根，联立方程组，解得，把代入，得，整理得；（3）解：，都在该二次函数的图像上，抛物线的对称轴为，当，即时，画出草图，如下：或此时B的横坐标小于0，不符合题意，舍去；当，即时，画出草图，如下：，解得；或，解得，综上，或【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质
23、，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键27（1）见解析；（2）见解析；的最小值为【分析】（1）由相似三角形的性质可知，得，即可证明结论；根据相似三角形的性质可知，再结合三角形的内角和定理即可得结论；（2）先证，得，由中位线定理及斜边上中线等于斜边得一半可得，则，再根据相似三角形的性质可知，进而可得，即可证明结论；过点作交于点，连接，根据相似可得，进而可得，则四点共圆，得出，进而得出，在为半径的圆上，过点作于点，结合已知条件得出，根据，即可求解【详解】解：（1）证明：，则，；，故答案为：；（2）证明：， 则，；，是的中点，是的中点，则，则，；如图所示，过点作交于点，连接，四点共圆， ，在为半径的圆上，过点作于点，D 是的中点，即的最小值为【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，求一个点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键答案第21页，共22页学科网（北京）股份有限公司