1、2024年湖北省武汉市青山区中考一模数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1实数2024的倒数是( )AB2024CD2下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”,其中是中心对称图形的是( )ABCD3“经过有交通信号灯的路口,遇到黄灯”这个事件是( )A确定性事件B随机事件C不可能事件D必然事件4下列运算正确的是( )ABCD5如图,是我们生活中常用的“空心卷纸”,其主视图为( )ABCD6关于反比例函数,下列结论正确的是( )A图象位于第一、三象限;B图象与坐标轴有交点;C若图象经过点,则必经过点;D图象上有两点,若,则7从写有数字的3张卡片中任意抽取两张,
2、摆成一个两位数,摆出的两位数是3的倍数的概率为( )ABCD8一次越野跑中,前a秒钟小明跑了,小刚跑了,小明,小刚此后所跑的总路程y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则图中b的值是( )A2050B2250C2890D30509如图,的弦在圆心O的两侧,的直径为4,弦为上一动点,若于点E,当点D从点C运动到点A的过程中,点E运动的路径长为( )ABCD10如图,二次函数和反比例函数的图象交于点,则关于x的方程的解有( )A1个B2个C3个D4个第卷(非选择题,共90分)二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)下列各题不需要写出解答过程,请将结论直接填写在答题卡的指定位
3、置11据统计,2023年湖北省人民政府发行惠购湖北岁末消费券,带动消费71.6亿元,“71.6亿”用科学记数法表示为_12如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若,则的度数为_13已知,非零实数满足:,则_14如图,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行至B处时,被河对岸D处的小明测得其仰角为无人机距地面的垂直高度用表示,点在同一条直线上,若,则河流的宽度为_m15如图,等边边长为分别是边上的一个动点,且,连接,交于点P,则的最小值为_16已知抛物线(为常数,且),其对称轴为直线下列结论:;若是抛物线上两点,若,则;若方程有四个根,则这四
4、个根的和为12;当时,若,对应y的整数值有4个,则其中正确的结论是_(填写序号)三、解答题(共8小题,共72分)下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17(本小题满分8分)求不等式组的整数解18(本小题满分8分)如图,在中,是外角的平分线,于点E(1)求证:四边形为矩形;(2)当满足什么条件时,四边形是一个正方形?请给出证明19(本小题满分8分)为宣传6月8日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计图表成绩频数分布
5、表组别分数/分频数组内学生的平均成绩/分Aa65B1075C1485D1895成绩扇形统计图请根据图表信息,解答下列问题:(1)一共抽取了_人,表中_,所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”_;(2)求所抽取的这些学生的平均成绩;(3)请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人?20(本小题满分8分)如图,为的直径,C是上一点,过点C的直线交的延长线于点于点E,交于点平分(1)求证:是的切线;(2)若,求图中阴影部分的面积21(本小题满分8分)如图,是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点,仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图 图1 图2(1)如图
6、1,在边上画点D,使平分,再在线段上画点E,使;(2)如图2,P是边上一点,先将绕点B逆时针旋转,得到线段,旋转角等于,画出线段,再画点Q,使两点关于直线对称22(本小题满分10分)某广场建了一座圆形音乐喷水池,在池中心竖直安装一根水管,安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水,且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同如图1,以池中心O点为坐标原点,水平方向为x轴,所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系x轴上的点为水柱的落水点,抛物线最高点距y轴 图1 图2(1)求图1中右边抛物线的解析式;(2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像,若想雕像不碰到水柱,请直接写出线段的取值范围;(3)圆形水池的直
7、径为,喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化,从而产生一组不同的线(如图2),若右侧抛物线顶点始终在直线上,当喷出的抛物线水柱最大高度为时,水柱会喷到圆形水池之外吗?请说明理由23(本小题满分10分)【问题提出】在等腰中,为中点,以D为顶点作,角的两边分别交于点,连接,试探究点D到线段的距离 图1 图2 图3【问题探究】(1)先将问题特殊化,如图2,当点E和A重合时,直接写出D到线段的距离(用含的式子表示);(2)再探究一般情形,如图1,证明(1)中的结论仍然成立;【问题拓展】如图3,在等腰中,为中点,以D为顶点作,角的两边分别交直线于点,连接若,直接写出的值(用含的式子表示)24(本小题满分12分
8、)已知,抛物线与x轴交于点与y轴交于点C 图1 图2(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线顶点为D,点P在抛物线上,若,求点P的坐标;(3)如图2,直线过点,交抛物线于两点(点E在点F左侧,且点E不与点A重合),直线分别交y轴于点请判断:是否为定值,如果是定值,求其定值,若不是,请说明理由参考答案及评分标准一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)题号12345678910答案DDBACCBACC10【解析】将分别代入和得到,原方程可化为,方程解的个数就是函数与交点的个数二次函数顶点坐标为,令反比例函数中,则故时,反比例函数在二次函数上方根据图象。二次函数与反比例函数有三个交点,原方
9、程有三个解二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11121314151616解:图象开口方向不确定,对称轴为直线,能得到:,但无法判断c的符号,是错误的;由题意知:,故正确,当时,当时,这四个根的和为12,正确;(i)当时,若随x的增大而增大,当时,当时,的整数值有4个,(ii)时,若随x的增大而减小,的整数值有4个,综上所述:或,错误三、解答题(共8小题,共72分)17解:解不等式,得,2分解不等式,得,4分故不等式组的解集为6分所以不等式组的整数解为:8分18(1)证明:,是外角的平分线,2分,四边形为矩形4分(2)解:答案不唯一,如:当时,四边形是一个正方形5分证明:,6分,四边形
10、为矩形,矩形是正方形故当时,四边形是一个正方形8分19解:(1)本次调查一共随机抽取学生:(人),则A组的人数(人),本次调查一共随机抽取50名学生,第位两个数都在C组,中位数落在C组,故答案为:;3分(2)抽取的这些学生的平均成绩为:(分),答:所抽取的这些学生的平均成绩是83.4分;6分(3)该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数约为:(人),答:该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人8分20(1)连接,平分,点C在圆O上,为圆O的半径,是圆O的切线;4分(2)在直角三角形中:又8分21画图如图(1)4分画图如图(2)8分 (1) (2)22(1)设右侧抛物线的解析式为
11、:,抛物线过两点且最高点距y轴1.5米3分(2)6分(3)水柱会落在圆形水池外,理由如下:把代入,当喷出的抛物线最大高度为时,设抛物线的解析式为:又上述抛物线过点当时,水柱会落在圆形水池之外10分23【问题探究】(1);3分(2)作于于N4分5分6分7分【问题拓展】10分连接,作于P,设,则易证由(2)得又 24(1)将代入得:,解得:;抛物线解析式为3分(2)如图,过点C作,交于点Q,由过点D作轴于点M,过点Q作轴于点N,则又又由题意可知:设,则联立:,解得:(舍去),7分(3)答:是定值,理由如下:设,联立:,整理得:,设,联立:,整理得:,解得:;,令,得,同理可得:;,又,为定值12分